固本培元 提升數學運算能力

☉孔 紅

運算是同學們理解數學、運用數學的基礎。但是在現階段的小學教學課程中，還缺乏針對性的數學運算能力培養，這就導致同學們在解決運算問題時，還缺乏系統完善的運算思想和方法。因此，本文首先在算理理解和變式訓練兩方面論述基礎運算能力的培養，之后從模型建構和最優思想兩方面論證數學運算蘊含的數學思想，進而全面系統地提升學生的數學運算綜合素養。

一、動手實驗，理解算理

運算能力并不是簡單的數學計算過程，而是綜合運用各項數學理論進行數學推理和運算的能力，這就要求教師引導學生對數學理論計算原理進行深入的探究，理解算理提出的背景，推演算理的過程以及算理應用的場合。實現這一要求的最好方式就是動手實驗，在實驗計算的過程中讓學生深刻理解算理，加強算理應用的能力。

比如，在講解“異分母加減法”這一小節時，為了幫助同學們更好地理解異分母加減法的運算，結合具體的運算實驗，教同學們在這個過程中理解運算的原理。題目如下：“寫出1/xy+2/xz+6/yz 的計算過程?！痹谇蠼膺@一問題時，首先讓同學們將這一問題向已經學過的相似內容進行聯想，思考之后，同學們認為可以將這種問題轉化為同分母的分數，其次再進行加減法運算。所以計算的第一步就是對分母進行處理，將所有的分母轉化為同一種數學數字或者數學表達式，這就是異分母分式計算算理的第一步——通分。通分之后，算式當中包含的所有的分式分母相同，此時就可以結合同分母分式的計算方法，將原式轉化為分子為三個整式的加減法運算z+2y+6x，而分母轉化為同一個算式xyz，原式等于（z+2y+6x）/xyz，從而完成了計算。我們可以從這一算例總結得出異分母運算的方法原理：將異分母的算式通過通分運算，轉化為分母相同的分式，之后分母不變，分子則按照相應的符號位進行加減法運算。

由此可見，通過動手實驗的方式，同學們可在實驗的過程中結合已經掌握的知識，對新的問題進行推導，完成算例。這一過程可幫助同學們更好地理解運算原理的推導，在對原理有深刻理解的基礎上，加強利用該算理進行數學計算的能力。因此，教師在課堂教學中要創設親自動手推演的機會，讓同學們通過動手實驗提升運算能力。

二、原型累積，強化感受

運算的形式多變，一道題可以演變出很多新穎的題目，但是不管形式如何變化其中的數學本質原型都是相同的。為了讓學生獲得運算中的思維能力，多積累運算原型，在多變的形式中體驗運算的本質，強化學生對數學運算過程的直觀感受，從而鞏固學生對數學運算原理的理解，提升其數學運算能力。

例如，在學習乘法運算相關內容時，結合學生的認知特點，以一些相同的數相加的運算作為引子，引導學生將相同數的連續加運算轉換成連加數乘以加數的方式，從而得到加法向乘法轉換的數學原型。這是一種簡單的原型，也是乘法最基礎的運算。乘法還可以用來計算圖形面積，長×寬也是一種乘法的原型。乘法還可以用來說明倍數的關系，如“A 盒中有15 個小球，45 個大球；B 盒中有10 個小球，20 個大球?！?5×3=45，可以說明A 盒中的大球個數是小球的3 倍；10×2=20，可以說明B 盒中大球個數和小球個數成2 倍的關系。這也是乘法的一種運算，學生可以從不同方面體驗乘法的意義。同樣，乘法和除法是相通的，在積累了乘法的原型后，進行適當改變就可以讓學生體驗到除法的各種運算意義。如“有30 袋牛奶，要分給10 個小朋友，問一個人能得到幾袋？”30÷10=3，這就是除法的一種運算原型，說明了在進行平均分配的時候，除法是這樣運用的。通過這種形式，他們能在原型以及變形的題目中，對運算規律有更多的認識。

不論是加減運算，還是乘除運算，它們都有著自己的運算原型。掌握了運算的原型，進行豐富的變化，不僅能讓學生有豐富的體驗，還能感受到運算的聯系和本質。原型的積累，一方面給學生提供了解題的思路，另一方面提供了題型多種變化的媒介，對教學來說是一種極大的便利。

三、變式練習，舉一反三

數學運算能力的培養，從深層次來講，是對某一種方法或者某一種理論的應用能力進行培養，最好的方法就是變式訓練——結合一個典型的例題，幫助學生吃透這種數學運算方法的原理，之后通過變式練習對該方法的運用進行鍛煉和檢驗。因此，教師要充分地把握原型例題的本質特征，通過改變其他結構成分展開變式訓練，幫助學生鞏固數學運算原理。

比如，在求解應用題：“東東看一本150 頁的故事書，第一天看了40 頁，第二天看了32 頁，還有多少頁沒看？”在這一問題中根本的計算其實是很簡單的，最重要的是對題意的理解，要在題干描述中提煉出所要用到數學元素，在這種描述中可以得出原本的頁數第一天減少了40 頁，第二天減少了32 頁，所以這是一個減法計算的運用，被減數和減數分別是150、42 和30，之后得出數學計算方法為150-40-32=78頁。對這一問題在題干描述方法上進行變式可以得到：“東東看一本150 頁的故事書，第一天看了40 頁，第二天看了和第一天同樣多，還有多少頁沒有看？”雖然第二個問題換了一種表達方式，但是其根本上還是考察學生通過閱讀題干獲取其中蘊含的數學關系變化的能力，通過分析學生可以得出在第二種描述中，第一天總頁數減少了，而第二天和第一天減少的頁數一樣多，所以第二天減少的頁數也是40，這樣就可以列出數學運算式為150-40-40=70，所以在第二個問題中兩天后東東還剩70 頁未讀。

變式訓練是幫助同學們徹底掌握一種運算方法和解題思路的最佳方法，在變式訓練中數學運算的根本特征并沒有發生改變，改變的是問題的表述、條件和結論等一些非本質特征，這樣就可以在保證數學運算原理不變的前提下幫助同學們深刻地理解其中的數量關系和運算原理，提高數學運算能力。

四、演繹歸納，建構模型

模型思想是數學學科中重要的一種學習方法和解題思路。在數學運算中，建模思想是基于概括和歸納，對某一類題進行抽象總結，得出一種統一的解題方案的過程，歸納總結數學算法在這一類題型當中的運算原理。［1］因此，教師要引導學生在解題的過程中手腦結合，既要動手計算，也要動腦思考，演繹歸納同類題型的運算方法，得到解題模型。

比如，在講解“植樹問題”時，教師可結合一道典型的例題引導學生進行模型建構：“現有一條長為12 米的小路，我們要在小路的一邊種樹，每隔4 米種一棵，有幾種不同的種法？”在這一問題中并沒有對樹的種法有特殊的限定，因此我們先要進行分類討論，題目說明了每隔4 米種一棵，但是并沒有說明在路的兩端是否要種樹。所以可以分為三類：兩端都種，只種一端和兩端都不種。分類完成之后，開始考慮具體的解題方法，解決植樹問題最好的方法，就是數形結合。在草稿紙上按照一定的比例可以一厘米表示一米，繪制完成之后可以通過圖示直接觀察得出三種情況下分別可以植樹4、3、2 棵。之后是模型的建構，對該問題抽象之后將植樹抽象為在任意一段長度固定的位置上間隔固定的距離取點，之后按照取點時是否包含兩端的點進行分類討論，利用數形結合的方法解題，從而完成了植樹問題解題模型的建構，再次變式之后還可以用來解決在種植棵樹固定的前提下植樹間隔距離，同樣是采用這一個完整的解題模型進行分類討論。

通過演繹歸納的手段建立解題模型，同學們可以迅速地掌握如何在這一類題型中提煉出最重要的數學元素，按照固定并且有效的解題思路進行快速的運算。因此，教師一定要注重學法的指導，避免學生出現動手不動腦的現象，引導其挖掘題目當中的思想和方法，概括出這類題目的要點，歸納總結出算法原理以完成數學模型的構建。

五、滲透思想，擇選最優

限制同學們運算能力發展的一個主要因素是運算量的大小，同學們普遍認為有些題目的運算量太大導致計算失誤，然而實際上是因為這些題型所考察的內容是同學們對某種數學思想的熟悉程度，同學們并沒有選擇與之匹配的計算思想，而是生硬地計算才是導致運算量巨大的原因，所以滲透思想，選擇最優解法對提高運算能力有著十分重要的作用。

比如，在講解“雞兔同籠”問題時，同學們往往會采用設兩個未知數的方法求解，這就導致運算量很大。比如：“雞兔同籠，有頭36，有腳120，求雞兔數?！痹O兩個未知數的話則需要列出兩個方程x+y=36、2x+4y=120，之后兩個方程聯立分別求出x 和y的值。然而這一類型的題目有一種更加簡單快速的求解方法，可以極大地減輕運算量。求雞的數量時，假設籠子內全部是兔子，那么可以計算這種假設下籠子內的腳數是36×4=144，然而實際上只有120 只腳，少了的24 只腳就是因為不全是兔子所以會少，每有一只雞則會少兩只腳，因此用24 除以2 就可以計算出籠子內有雞12 只。同理，要想求籠子內兔子的數量，設籠子內全部是雞，那么應該有36×2=72 只腳，多出來48 只腳，每有一只兔子會多兩只腳，所以有48÷2=24 只兔子。使用這種計算方法與設兩個未知數聯立方程求解相比，極大地減少了學生的運算量。

選擇與問題相匹配的數學運算方法和思想，對于減輕實際的數學計算量有著至關重要的作用，甚至有可能因為計算方法選擇的差異導致出現錯誤的結果。因此，在教學過程中滲透多樣的數學思想和解題方法是培養提升學生數學運算能力的重要的一個環節，只有明確了在面對問題時應該選擇哪種最優的解題方法，才能切實地提升學生的運算能力［2］。

六、結構串聯，優化認知

運算是對數學知識的靈活運用，是一種能夠在解決問題的過程中，針對要求的不同，合理地選擇適當的數學運算方法進行求解的應用能力。因此，認清學科的基本結構都是關鍵的環節，對數學知識間的關聯有足夠的認知是必要的基礎。運算結構的串聯，不僅需要教師吃透教材內容，熟知教材體系，還要求教師有縱橫聯系知識點的能力。

例如，在講解“減法”和“加法結合律”的運算相關知識時，在教學過程中引導學生將兩者結合，從而構建這兩者間的結構體系。針對一道學生經常做 錯 的 題 目：“76-22-14= ？如何使用加法結合律對上述減法進行改寫？”有些同學在考慮了結合律的基礎上給出的答案是“76-（22-14）”，而正確的是“76-（22+14）”。這顯然是不理解運算的結構，不清楚運算的規律導致的。在進行知識串聯的時候，教師應該注意學生的理解，一定要正確引導學生構建正確的認知體系。再如，學到“多位數乘一位數”的運算的時候，教師可以聯系之前學過的一位數乘一位數、兩位數乘一位數的運算規則，讓學生進行自主思考，并加以引導，為他們構建起正確的乘法運算體系。如運算134×5=？的時候，涉及進位的規則，4×5=20，這個2 需要和3×5 的15 中的5 相加，這是第一次進位；第二次進位是3×5 的得數中的十位與1×5 的得數相加。在這個過程中，應用到了一位數乘一位數的規則，并有兩位數乘一位數的進位規則。將新的知識與學過的知識串聯起來，溫故知新，在熟悉的知識的基礎上學習新的知識，這有利于他們構建知識體系。

由此可知，體系的建立對學生運算能力的提高十分關鍵。形成系統的運算認知，讓學生不僅學會某一種運算、某一種法則，而且還要學會在整體結構框架下實現知識結構的串聯，從而優化對數學算理的認知，促進運算能力的提升。

綜上所述，提高學生的數學運算能力，幫助其掌握運算要領，做到靈活選擇數學方法求解應用問題，這對提高學生的學習成績和數學應用能力是至關重要的，教師要注重運算能力的培養，在運算中滲透數學方法和數學思想，以切實提高學生的數學運算能力。