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——對“用數對確定位置”教學的若干思考

□ 章 穎

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》在“空間與圖形”的第三學段（5～6年級）中指出：“能用有序數對（限于自然數）表示點的位置，理解有序數對與方格紙上點的對應關系?！痹谌粘Ｉ钪写_定位置有多種途徑和方式，而在數學學習中一般用數對來確定位置，那如何讓學生感受到用數對確定位置的必要性和簡潔性？在日常生活中確定位置往往沒有“原點”的概念，那又如何讓學生感受到“原點”作為數對核心要素之一的必要性？

基于上述思考，以人教版教材五年級上冊“用數對確定位置”為例，從現實生活中的情境引出用數對確定位置，讓學生體會數對與平面上點的一一對應關系，初步感知平面直角坐標系的表示方法以及思想，初步感受這種表示方法帶來的便利，促進學生高階思維的發展。

一、通過沖突與碰撞，感受數對產生的必要性

如何確定數對中兩個數的位置，用怎樣的方式描寫數對，每個學生都有獨特的理解，教學時可以利用學生的思維碰撞，感受數對產生的必要性，減少生活中“先行后列”的方法帶來的負遷移。

【教學片段1】

師（出示圖1）：張亮同學舉手提問，你能幫老師找到他坐在哪里嗎？

圖1

（根據學生的回答，教師板書：

師：這么多方法中，你喜歡用哪種方法？請說說理由。

生：我喜歡“→2↑3”，因為它能看出是先從左往右數，再從前往后數。

生：我喜歡“3，2”“2，3”，因為它們很方便，很簡明。

生：我覺得“××的××邊”不好，因為有時一個人的某一邊會有很多其他同學。

師：同學們很會思考，為了記錄的統一，數學上規定，先豎著看在第幾列，再橫著看在第幾行，記作（2，3）。

學生通過交流，發現同一位置有多種表述，如果沒有統一的標準，不利于人們之間的交流，從而感受數對產生的必要性及其簡潔性。

二、通過抽象與對比，感受確定原點的重要性

“用數對確定位置”是用有序數對來刻畫二維空間中某一點的位置，即在平面直角坐標系中研究點的位置是如何用數對來刻畫的。雖然小學階段所用的是“方格紙”坐標系，但它也是真正坐標系的雛形。因此它必須要具備坐標系的三個關鍵要素：原點、方向、單位長度。在唯一確定的直角坐標系中，每個有序數對與平面上的每個點會建立一一對應關系。在教學中教師可以創設直角坐標系與實際情境圖的對比，讓學生感受三要素的重要性和便捷性，通過對比，讓學生的認知水平從原有的一維數軸拓展到二維平面直角坐標系。

【教學片段2】

師：現在我們把張亮的位置抽象成一個點，把它標記在方格紙中。你覺得它的位置怎樣表示比較合適？

生:（2，3）。

師：2和3分別表示什么意思呢？

生：2 表示從左往右數第2 列，3 表示從下往上數第3個。

師：我們把第一行都放在橫軸上，第一列都放在縱軸上，你能把橫軸和縱軸的數字補充完整嗎？（根據學生的補充將橫軸、縱軸補完整，如圖2）

圖2

師：橫軸和縱軸都是從1開始的。你還記得數軸是從幾開始計數的嗎？

生：從0開始。

師：那橫軸、縱軸是從0 開始計數好，還是從1開始計數好？

生：我覺得從1 開始就可以，因為生活中的座位都是從1 開始計數的，電影院也是從1 排1 號開始的。

生：我覺得從0開始計數好，因為如果1組1號向教室門的方向走，那他的位置就是零點幾了，從1開始沒法表示。

生：我覺得也是從0開始計數好，和數軸統一。

生：我也贊同從0 開始計數，你看地球儀上有經線和緯線，有時就有零點幾度，如果從1 開始計數那就表示不出來了。

師：的確，生活中有很多情況都是從0開始的，比如航海時的位置、在地圖上確定位置等。教室的座位圖我們也可以從0開始計數。如果從0開始計數，你覺得哪里代表0比較合適？

生：前門進來要空一些位置才開始擺課桌椅，所以0和1之間的距離正好是教室走廊這邊的墻和課桌之間的距離。

師：好，那我們就根據大家的建議，把這幅圖補充完整。這幅圖現在就和以前學習的數軸統一起來了，我們把橫軸和縱軸的交叉點（0，0）叫作原點（如圖3）。

圖3

在學生建構直角坐標系的過程中，自然引出橫軸、縱軸、原點這些基本要素，使學生在潛移默化中感悟了坐標系的思想?！坝脭祵Υ_定位置”不是單純地在生活中確定位置，而是為認識直角坐標系奠定基礎。因此，教師可以舍去用數對表示“塊”的內容，直接從“情境圖”抽象到“格點圖”，再從“格點圖”抽象到“坐標系”。在這一過程中，通過形來研究數的特點，通過數來呈現物體的位置，在用方格紙和數對表示點的位置這兩種方法之間架起數與形的橋梁，讓學生了解數對與方格紙上的點存在一一對應關系。

三、通過探究與感悟，感受數形結合的直觀性

在方格紙中找到數對相應點的位置，對學生來說不難掌握，那么為什么要建立數對與方格紙上的點之間的關聯呢？其深層次的目的是讓學生直觀地理解直角坐標系，在學習有序數對的過程中為進一步學習平面直角坐標系做好鋪墊，為日后研究解析幾何奠定基礎。

【教學片段3】

教師出示數對（6,3）、（5,5）、（3,4）、（1,3）、（3,3）、（3,2）。

師：這里有一些數對，你們能很快找出它們的位置嗎？

師：哪些點在同一條直線上呢？

生：我發現（6,3）、（1,3）、（3,3）都在第3行（如圖4）。

圖4

生：我發現（3,4）、（3,3）、（3,2）也在同一條直線上，只不過它們都在同一列，它們都在第3列上（如圖5）。

圖5

師：如果連接（5,5）和（3,3）會得到怎樣的線段？

生：一條斜線（如圖6）。

圖6

師：這條斜線有什么特征？

生：如果延伸的話，這條直線剛好是從原點（0,0）出發的，而且線上每個數對的兩個數字都相等，比如（2,2）、（4，4），等等。

生：我能用一個數對把它們都表示出來，就是（x，x），只要數對中的兩個數是一樣的，這個數對上的點就一定在這條斜線上。

通過這樣的活動，學生很自然地感受到點的連線是變化多端的，每一個點都對應一個數對，它們之間是一一對應的，同時通過點所表示的線段，體會數對中行、列的變化與圖形變化之間的緊密聯系。用有序數對所對應的點組成圖形，其實質是用“數”來描述“形”，通過“數”與“數”之間的連接，畫出各種方向的直線，這充分體現了數形結合的直觀性。

四、通過聯系與對比，感受直角坐標系應用的廣泛性

直角坐標系在小學階段應用廣泛，如在圖形變換、函數思想、行程問題等領域經常出現。因此，可以在練習中加入與這些領域有關聯的元素，既豐富練習的形式，又增強練習的層次，還有助于培養學生的高階思維，讓學生感受數學知識的內在聯系。

【教學片段4】

教師出示練習1（如圖7），讓學生獨立完成。

圖7

師生校對第（1）題和第（2）題的答案。

師：誰來說說你有什么發現？

生：我發現三角形ABC和三角形HIG的形狀、方向都一樣，只是位置變化了。

生：我發現三角形ABC和三角形HIG每個頂點用數對表示時，第1 個數發生了變化，第2 個數都一樣。

生：對的。數對中第1個數表示的是橫軸上的位置，它變了，表示在橫軸上發生了移動；而第2個數表示的是縱軸上的位置，它沒變，說明這個圖形只是平移了。

師：同學們真會觀察，我們發現把一個圖形連續翻轉兩次相當于把這個圖形進行平移，圖形的大小、形狀都沒有改變，只是位置發生了改變。

小學階段圖形變換主要有三種方式：平移、旋轉和軸對稱。這三種變換方式之間有著密切的聯系，將這種聯系放在直角坐標系中就顯得直觀可視。因此，這一環節通過先讓學生畫軸對稱圖形，再引導他們觀察、思考數對的變化，使學生更容易理解翻轉與平移的關系。

數對除了能幫助學生發現圖形變換之間的關系，當把數對放入直角坐標系時，還能幫助學生直觀形象地了解一些基本的函數知識，發現函數中蘊藏著的變與不變。

【教學片段5】

教師出示練習2（如圖8），讓學生獨立完成。

圖8

師生校對第（1）和第（2）題的答案。

師：誰能來說說第（3）題中○和□有怎樣的關系？

生：我發現題目中每個數對的第2個數都比第1個數大2，也就是□=○+2。

生：我覺得還可以倒過來說，○=□-2。

生：其實就是這個點的數對，縱軸上的數比橫軸上的數大2。

師：看來數對還能表示直線上任意一點的變化。

這一環節通過逐個確定點的數對，促使學生在確定數對的過程中探索出變量之間的變化規律，體會變量中蘊藏著的關系，初步感悟函數思想。

總之，在教學過程中，教師自身要深入理解數對的本質含義，引導學生用數對的變化認識圖形的變化，幫助學生感悟通過幾何建立直觀表象、通過代數得到數學表達的過程；引導學生用數對解決平面直角坐標系中的問題，幫助學生感悟坐標系是聯系代數與幾何的橋梁，理解坐標系中的數對與平面上的點一一對應的關系；引導學生用數對解決現實問題，幫助學生感悟數形結合的精妙，提升學生的空間觀念和幾何直觀。