數學概念教學：遮蔽與澄明

李祎 李渺

摘 要：就數學而言，概念定義不同于概念本身，也未必能揭示出概念本質。在數學學習中，背會定義并不意味著掌握了概念。因此，在數學教學中，不能把概念教學混同于定義教學，不能用背誦定義代替概念理解，而要處理好數學概念與數學定義的關系，包括處理好過程與結果、內容與形式的關系。

關鍵詞：數學教學；數學概念；數學定義

本文系教育部人文社會科學研究項目“數學深度學習的認知理論分析、測評模型建構與教學實證研究”（編號：22YJA880021）的階段性研究成果。

數學教學中普遍存在“重解題教學，輕概念教學”的現象，對此，許多學者呼吁重視數學概念教學，并已逐步引起一線教師的重視。但是，深入一線調研不難發現，許多教師把概念教學混同于定義教學，用定義背誦代替概念理解，用定義的外在結果與形式遮蔽概念的內在過程與實質，從而導致學生“學而不會”“會而不懂”。因此，澄明數學概念與數學定義的關系，并在教學中正確地處理兩者之間的關系，對于提高數學概念教學的質量至關重要。

一、 概念定義不同于概念本身

概念是反映客觀事物本質屬性的思維產物。所謂本質屬性，就是該類事物共有和特有的穩定屬性。也可以說，本質屬性就是事物變化之中保持不變的屬性。數學是研究數量關系和空間形式的科學。因此，數學概念就是從數量關系和空間形式兩方面反映和揭示客觀事物本質屬性的思維產物。

建立一個數學概念，可以極大地壓縮和簡化語言。比如，定義了“平行四邊形”，即可用它來代替“兩組對邊分別平行的四邊形”。因此，數學概念的建立，加快了數學思維的速度，有助于數學思維向縱深發展——其實，數學命題的獲得，也具有類似的功能。正如哲學家金岳霖先生所言：“如果不引入任何新概念，只是由原始概念和公理來建立一門理論，盡管在理論上可行，在實際上卻是難以想象的麻煩?！?sup>［1］據此也能回答數學教學中一個爭論不休的基本問題：是注重掌握知識（包括掌握其實和教材知識沒有嚴格界線的所謂的“二級結論”），還是注重發展思維？這個問題本質上就是孔子說的“學和思”關系的問題。從解決問題（致用）的角度看，知識和思維是相輔相成的（知識是思維得到的結果，思維是知識產生的過程），要辯證地處理掌握知識和發展思維的“度”。

每個概念都有它的內涵和外延，數學概念也不例外。概念的內涵是對概念“質”的描述，往往具有內隱性、抽象性；概念的外延是對概念“量”的刻畫，往往具有表象性、直觀性。掌握數學概念就要明確其內涵和外延，概念定義就是揭示概念內涵或外延的邏輯方法。揭示數學概念內涵的定義叫內涵式定義，揭示數學概念外延的定義叫外延式定義。因此，數學定義不同于數學概念，數學定義是借助文字語言或符號語言對數學概念的質或量的外在表達。

對數學概念下定義采用的基本方式是“種差+屬概念”，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一屬概念下其他種概念之間的差別。比如，以四邊形為屬概念，可以分別對平行四邊形和梯形下定義。但是，同一數學概念，可以有不同的定義方式。比如，平行四邊形既可以定義為“兩組對邊分別平行的四邊形”，也可以定義為“一組對邊平行且相等的四邊形”。

需要說明的是，“種差+屬概念”并非對數學概念下定義的最好方式。比如，實數是有理數的“屬”，有理數是整數的“屬”，整數是自然數的“屬”。若按照這種方式定義，應該先定義實數，再定義自然數，即自然數是“用以計量事物的件數或表示事物的次序的實數”。但這不僅與數的發展歷史相背，也不符合學生的認知規律。

正因為此，教材中的不少數學概念最初都沒有嚴格的定義，只是通過描述性方法讓學生認識概念的特征，把握其內涵所揭示的實質或外延所涉及的范圍。隨著學生知識的豐富和能力的提升，有些數學概念才逐步給出嚴格的定義。所以，對數學概念下定義，要綜合考慮學科上的邏輯要求和學習中的認知規律，處理好“邏輯序”“歷史序”和“認知序”，對不同階段的學生采用不同的定義方法，通過循序漸進的方式讓學生逐步完善對數學概念的認識。

二、 概念定義未必能揭示出概念本質

首先，必須明確的是，數學中并非每一個概念都可以給出明確、嚴謹的定義。美國學者赫爾斯將概念分為易下定義的概念（welldefined）與難下定義的概念（illdefined）。^［2］易下定義的概念是本質性特征明顯，易用某種方式揭示出其特征的概念；難下定義的概念是本質性特征不明顯，不易用某種方式揭示出其特征的概念。數學中的原始概念，如點、直線、平面等，便是難下定義的概念，只能用描述性語言對其進行刻畫。有些數學概念可以給出嚴格的定義，如面積、體積等的公理化定義，但考慮到學生的可接受性，在中小學教材中并未給出嚴格的定義，只是給出一些解釋性說明或描述性刻畫，如將面積概念描述為“物體的表面或圍成的圖形的表面的大小”等。

其次，即使是可以下定義的數學概念，概念的定義也未必能反映出概念包含的全部本質屬性。這是因為，一方面，有些數學概念的定義采用的是外延式定義法，僅根據定義難以把握概念的本質。比如，實數的定義“把有理數和無理數統稱為實數”便屬于這種情況。另一方面，數學概念的本質屬性往往不是單一的，對其下定義時，只能給出其最顯著、最基本的本質屬性，其他本質屬性要通過推理才能獲得。比如，“對邊相等”也是平行四邊形的本質屬性，但這一屬性并未在其定義“兩組對邊分別平行的四邊形”中直接顯現。此外，有些數學概念本質的把握，還必須結合知識產生的實際問題背景，僅依靠定義分析是不夠的。比如，完全依靠定義“在一個特定的隨機試驗中，稱每一個可能出現的結果為一個基本事件”，就難以獲得對“基本事件是絕對的還是相對的”的認識。^［3］

最后，數學概念的定義具有人為性，定義方式不當則難以反映出概念的本質屬性。比如，在小學，通常是這樣定義“角”的概念的：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角。這里把“角”定義為一種圖形，未能反映出角的本質。角的本質并非體現在可見的“圖形”上，而是體現在不可見的“張口大小”上。而且“射線”也并非體現角的本質的關鍵屬性，“線段”未嘗不可。因此，對“角”的定義要進行優化改進。比如，可以改進為“從一個頂點出發的兩條射線或線段所張開的口的大小”。史寧中教授曾指出，角的大小是由角所對應的單位圓的弦長或弧長決定的，我們畫角時所標記的小弧線，可以理解為具有單位圓的弧長的特質，它旨在揭示角是由具有公共端點的兩條線所夾的部分決定的。^［4］這一解釋借助“長度”來刻畫“角度”，揭示了這兩個幾何量的內在聯系，深刻反映了角的本質，頗具新意。又如，小學教材中“比”的概念有這樣的定義：我們把兩個數相除又叫作兩個數的比。顯然，這一定義經不起推敲，學生很容易質疑：既然兩個數相除就是這兩個數的比，為何還要多此一舉，引出比的概念呢？因此，將“比”定義為除法運算，未能揭示出“比”的本質。其實，“比”的產生源于度量的需要。生活中，有些量是可以直接度量的，如長度、角度、面積、體積、質量等；但有些量卻難以直接度量，如形狀、濃度、速度、價格等?！氨取本褪峭ㄟ^比值對難以直接度量的量進行度量而建立起來的一個概念，具體又分為同類量之比（如形狀、濃度）和異類量之比（如速度、價格）。為了揭示“比”概念的本質，臺灣數學教材中引入了“對等關系”，認為“比是兩個量的對等關系”。所謂“對等關系”，是指兩個數量之間由于某種原因而產生的一種配對關系。這種關系可以分為“組合關系”“母子關系”“交換關系”“密度關系”等。而為了方便比較和運算，將對等關系量化后的結果稱為“比值”。這里的對等關系及其量化的過程，本質上就是度量的過程。

三、 背會定義并不意味著掌握了概念

正因為概念定義未必能揭示出概念本質，也就導致背會定義并不意味著掌握了概念。然而，這只是問題的一方面。更重要的是，即使概念定義能反映出概念本質，數學定義也僅是通過語言對數學概念的形式表達。雖然概念本質的揭示離不開語言形式的表達，但是僅靠語言進行說文解字、記憶背誦是不夠的。因為作為概念外殼的語言無法自動顯現概念的意義，無法自動呈現概念的本質；概念的意義和本質只能通過思維來理解和建構。

目前，在中小學數學教學中，特別是在低年級教學中，教師過分倚重定義的敘述，只注重揭示概念的外部特征，將教學重點簡化為關鍵詞的記憶，讓學生齊聲朗讀和背誦定義的現象屢見不鮮。

例如，初中數學教材普遍將方程定義為“含有未知數的等式”，但這一干巴巴的定義并沒有反映出方程的本原思想。比如，據此定義，x=0應認定為方程，但很顯然，它并不具有方程的本原意義——方程的本意是為了求出未知數。又如，據此定義，2x－x=x也應認定為方程，但很顯然，該式作為一個恒等式，反映的是一種數學運算，這里的“=”與方程中的“=”，意義已完全不同。還有的教材對“方程”采用了其他定義方式，如“方程是具有等式的開語句”“方程是求指定字母的值，使已給等式成立的問題”等。然而，無論采用何種定義方式，在張奠宙先生看來，“教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復舉例，咬文嚼字地學習，朗朗上口地背誦，沒有實質性的意義。絕對沒有學生因為背不出這句話而學不會方程的?！?sup>［5］事實上，在學習方程的過程中，學生能否記住方程的定義并不重要，關鍵還在于理解引入方程概念的意義，學會如何列方程和解方程。因此，掌握數學概念的本質，既需要靜態分析其定義形式，更需要在產生、發展等活動中揭示其內涵。不介紹數學概念產生的背景、意義，僅字斟句酌地分析概念要素、咬文嚼字地告知注意事項，偏重讓學生記憶概念外部形式的方式，往往不能使學生對概念產生實質性理解。

要能夠運用導數概念成功解決某些實際問題或非良構型問題，必須理解導數概念產生的背景和意義、解決問題的思路和方法。即要解決“某一點”的問題（瞬時變化率），但停留在“這一點”無法求出，因此對“這一點”進行否定（給增量），否定的結果是得到“另一點”，并由此得到一個小區間；在這個區間上先求出近似值（平均變化率），再對“另一點”進行否定（令增量趨于0），由此把平均變化率轉化為瞬時變化率。經過兩次辯證否定，原問題成功得以解決。無論是求切線斜率還是求瞬時速度，都不難發現，需要解決的問題類型相同，解決問題的思路和方法相同，得到的數學模型結構相同。由此，抽象概括出導數概念。事實上，只有在數學活動中，以過程體驗取代形式記憶，以內涵理解取代語言分析，才能真正避免“會而不懂”的現象。

在該定義中，什么是“穩定”？“穩定”是否意味著“隨著試驗次數的增加，頻率越來越接近概率”？是否意味著“頻率的極限就是概率”？單靠定義很難作出判斷和回答。事實上，依據大學概率統計知識可知，“穩定”并非說頻率的極限就是概率，而是頻率依某種收斂意義趨于概率，即滿足大數定律。大數定律表明，隨機試驗次數n越大，頻率與概率發生較大偏差的可能性越小，但仍然有可能發生。概率的統計定義，反映了隨機事件發生頻率的隨機性和規律性特點。對這一特點的深刻理解，僅靠概念的文字表征和定義記憶顯然是不夠的。

四、 概念教學需要處理好過程與結果的關系

“一個定義，幾項注意”，過分重視定義的文字敘述，對定義咬文嚼字、字斟句酌，忽視概念建立的背景和意義，有意無意縮減思維過程，用結果分析代替過程領悟，這樣的數學概念教學往往會導致“食而不化”的現象，是低質量的。數學概念是人們對事物的數形特征認識到一定階段的思維產物，數學概念的定義體現了人們對此認識的結果，理解數學概念還離不開對其認識過程的把握。

首先，要讓學生了解數學概念產生的背景和意義，體會數學概念的來龍去脈，掌握數學概念所涉及的前后知識之間的內在聯系。比如，初中階段，銳角三角函數的概念是教學難點之一，主要表現在：之前研究的都是三角形中角或邊之間的直接關系，而這里研究的是角與邊之間的間接關系；之前研究的都是三角形中角或邊之間的大小關系，而這里反映的是角與邊的比值之間的一種對應關系。在課堂觀察中我們發現，許多教師不講解概念產生的背景、過程，只是讓學生記住概念的形式定義，致使學生無法真正理解概念的本質，教學難點也未能得到有效突破。其實，對銳角三角函數概念的探究，應從三角形相似講起。即由兩個三角形相似，得到對應邊成比例，發現比值是不變量；再讓一個角固定下來（如取直角），研究其中一個角與邊的比值之間的關系，這時發現它們之間存在某種對應關系：角一旦確定，邊的比值也唯一確定，而且可以具體地求出來（如取特殊角）；邊的比值只與角的大小有關，而與三角形的大小無關。只有像這樣在知識的前后聯系中學習概念，才能真正克服對概念定義的機械記憶，有效促進對概念內涵的實質性理解。

其次，要讓學生經歷從具體概念到定義性概念的發展過程。著名教育心理學家加涅把概念分為具體概念和定義性概念。所謂具體概念，是指其關鍵特征通過對概念例證的觀察而獲得的概念；所謂定義性概念，是指通過下定義的方式來習得的概念。^［6］然而，對一個具體的數學概念而言，兩者往往并不是非此即彼的關系，而是先通過對例證的觀察形成具體概念，再通過下定義得到定義性概念。因此，讓學生經歷數學概念的生成過程的重要含義之一，就是讓學生經歷從具體概念到定義性概念的思維建構過程。比如，對函數單調性的概念，初中通過對函數圖像的觀察和感知，獲得函數圖像上升或下降的直觀特征，并用定性的文字語言描述這種特征（如“x增大時，y隨之增大”），這時學生掌握的是關于單調性的具體概念；高中則在此基礎上，通過符號語言的定量刻畫，給出單調性的嚴格定義，這里要求學生掌握的便是關于單調性的定義性概念。高中階段的教學中，不僅要讓學生明白單調性特征符號化的意義，還要讓學生經歷圖像特征符號化的過程，不能直白地分析或記憶單調性概念的形式定義。從具體概念到定義性概念，體現了數學概念發展的認識論特征，揭示了數學概念學習的認知規律。但在課堂觀察中我們發現，在從函數圖像特征的描述向形式化的符號表示轉化的過程中，教學的過程性特征還體現得不夠充分，許多教師把教學重心放在細枝末節的強調、解題程序的歸納和證明技巧的訓練上。這是極為不妥的。

最后，要讓學生認識到數學概念是過程與結果的辯證統一。美國學者杜賓斯基等創立了數學概念學習的APOS理論模型，認為學生學習數學概念要經歷活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）四個階段。^［7］“活動”和“過程”階段體現了概念的過程性特征，而“對象”階段就是對過程的內化和壓縮，通過賦予形式化的定義及符號，使其成為思維中的具體對象，在以后的學習中以此為對象進行新的活動。就這一意義而言，任何數學概念都是過程和結果的統一體。比如，對于函數的概念，從過程來看，它表示從自變量到因變量的一種對應過程，即f：x→y；從結果來看，作為一個數學對象，它可以直接參與數學運算，如f（x）+g（x）等。又如，對于對數的概念，從過程來看，對數log_ab是在a^N=b中求指數N的一種運算，通過運算可以求得結果，如log₂8=3；從結果來看，對數logab本身就是一個實數，可以作為操作對象直接參與運算。因此，在某課堂小結環節，面對教師“對數是什么”的提問，有的學生回答“對數是一個數”，有的學生回答“對數是一種運算”。這看似截然不同的兩種回答，其實揭示了對數概念是過程與結果的辯證統一的特征。這里，“唯結果”或“唯過程”的回答都是形而上學的、錯誤的，其根源正如馬克思所言：“在看出有差別的地方看不見統一?！?sup>［8］

五、 概念教學需要處理好內容與形式的關系

內容與形式是辯證法的一對基本范疇。內容是事物內在諸要素的總和，形式是這些內在諸要素的表現形式。^［9］任何事物既有內容，也有形式；內容決定形式，形式服務于內容。對于數學概念而言，其名稱、定義等語言是其外殼，反映了其形式；這些語言所表達的意義才揭示了其實質，反映了其內容。數學概念的學習和掌握，需要從以下幾個方面處理好內容與形式之間的關系：

首先，對于數學概念而言，并非其形式定義越嚴謹、越精確，越有利于把握其內容實質，還必須考慮到學生的可接受性。比如，基本初等函數的嚴格定義是采用公理化方法的，但這樣的定義對中學生而言，顯然是不合適的。特別是抽象程度較高的數學概念，學生接受起來比較困難。這時，為了更好地幫助學生掌握概念的實質，需要適度淡化概念的形式定義。比如，為了讓學生理解導數和定積分的本質，避免極限概念成為學生認識的“攔路虎”，高中數學教材對這兩個概念的定義采取了非嚴格的處理，即舍棄嚴謹的εδ語言，用“趨近于”“無限變小”等通俗易懂的語詞對變化過程進行描述。這有利于學生把更多精力放在理解導數和定積分的本質上，正是新課程理念所主張的“注意適度形式化，即允許適度非形式化，以強調本質”理念的體現。

其次，要避免對概念定義中的非實質性內容進行糾纏。早在30多年前，陳重穆教授和宋乃慶教授就曾指出，中小學數學教師在教學中，在形式上和細微處孜孜以求，出現了形式和煩瑣的傾向，沖淡了實質，不利于學生能力的培養。^［10］然而時至今日，仍有人尚未深刻領會這一理念，喜歡在一些無關大體的細枝末節上糾纏，沒有把有限的時間和精力真正用在刀刃上。比如，教學軸對稱概念后，抓住定義中“對稱軸為直線”這一非本質內容進行辨析和訓練，如讓學生判斷“圓的直徑是圓的對稱軸”這句話是否正確等。其實，軸對稱的本質是“對折后兩邊能完全重合”，至于對折時沿著的是線段還是直線，無關緊要。又如，前文提到的角的概念，有些教師在教學中強調角的兩邊必須為射線。顯然，“射線”并非角的本質屬性。若將這一定義當成“真理”來較真，甚至可以得出三角形的三個角不能稱作角的荒謬結論（因為三角形的邊是線段）。同樣的道理，要盡量避免對涉及形式與實質的問題進行爭辯。

最后，要防止用概念的具體形式記憶來代替概念實質性理解。心理學研究表明，數學概念的心理表征在多數情況下并非相應的形式定義，而是由多種成分組成的復合物，其中包括豐富的、鮮活的各種概念意象。^［11］特別是面向中小學生的教材，考慮到學生的可接受性，對一些數學概念并未給出嚴格定義，只是通過具體事例或現象給出了描述性定義，這樣就容易出現概念教學不到位的現象，即用個體的概念意象來代替對概念本質的理解。比如，對前文提到的基本事件概念（即基本事件是相對的還是絕對的），教材先舉例，再給出描述性定義。但若學生的理解一直停留在“擲一枚硬幣或骰子”的認識，當遇到“連續擲兩枚骰子，求向上的點數之和為偶數的概率”的問題時，對能否把“（奇，偶），（奇，奇），（偶，奇），（偶，偶）”當成基本事件，就會存在理解障礙。因此在教學中，要注重概念意象與概念本質的有機整合，切勿用概念的具體形式來代替對概念實質的理解。實際上，概念意象的形成只有建立在對概念本質的正確理解上才會更可靠，概念本質的把握是因為有了概念意象的支撐而變得更加豐滿。

參考文獻：

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［11］ 王秀明，王家鏵，李忠海.寓“ 理解”于數學概念［J］.數學教育學報，2005（2）：26-28.

（李?祎，福建師范大學數學與統計學院，教授，博士生導師。主要研究方向：數學教育。李?渺，湖北工程學院數學與統計學院，教授。主要研究方向：數學教育。）