初高銜接視角下的三角函數問題研究

方偉 易良斌

[摘 要] 三角函數是初等數學中一類特殊的函數.運用三角函數解決問題既溝通了函數與幾何，又無形中滲透抽象能力和幾何直觀的數學核心素養.文章以中考題為例，研究三角函數在解題中的關鍵作用，并得出一些結論和反思.

[關鍵詞]核心素養；三角函數；中考鏈接

2022年4月，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“新課標”）正式頒布.“新課標”指出，初中階段需要培養學生的9個數學核心素養，而抽象能力和幾何直觀是其中兩個重要的部分.抽象能力指的是從較復雜的數學題目中抽象出若干個基本模型，從而把較復雜的問題分解成幾個較簡單的問題，利用基本模型的結論解決問題.借助幾何直觀，可以建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型.

三角函數是初等數學中一類特殊的函數，它是函數與幾何之間的紐帶.在解決涉及三角形、四邊形、圓、全等、相似等知識的綜合題型中往往可以運用三角函數的相關性質.在直角三角形中利用三角函數構建邊長之間的比例關系，往往成為解決問題的關鍵所在，從而把代數與幾何有效地結合起來.幾何中解決線段的計算問題時可以借助方程這個代數工具.本文以2022年麗水卷第10題和杭州卷第23題為例，在核心素養的視角下，對中考中有關三角函數的試題進行分析和研究.

試題再現

解題分析

此題是2022年麗水中考選擇題的壓軸題，題干和圖形都不是很復雜，但僅利用已有圖形并不能夠立即解決.解決此題的基本思路是通過添加有效的輔助線構造基本圖形，再從較復雜的圖形中抽象出幾個基本的幾何模型，建立形與數的聯系，找到等量關系列方程計算.主要有以下三種基本思路：

第一種思路，利用已知條件中的平行，延長線段構造相似的基本圖形，根據相似三角形的性質和判定，假設未知數列方程計算線段長度.

第三種思路，通過連接線段構造相似的等腰三角形，或通過作垂線段構造相似的直角三角形，再利用相似三角形對應邊成比例列方程計算線段長度.

1.構造相似的基本圖形

解法一基本思路：如圖2，作垂線段AH得到BH=EH，由中垂線的性質可知，AB=AE=4.由平行和角平分線得到等角∠EAP=∠P，再得等邊AE=PE.向外延長線段AF和BC交于點P構造相似的基本圖形，可得△AFD與△PFC相似且相似比為2∶1，推導出另一對相似三角形（△AGF與△AEP）的相似比為2∶3，從而利用相似比計算FG的長度.

解法二基本思路：如圖3，向外延長線段AE和DC，它們交于點P，補全三角形，利用已知平行構造相似三角形.由平行和角平分線得到等角∠GAF=∠GFA，得到等邊AG=FG.假設AG=FG=x，在相似比未知的情況下利用相似三角形對應邊成比例列比例式進行線段計算.這里可用于列方程的相似三角形有三對，分別是△PEC與△PGF，△ABE與△PFG，△PGF與△PAD.

2.構造直角三角形，巧用三角函數

杭州中考鏈接

把近6年杭州中考題中考查三角函數的題目進行統計可以發現，2016年填空題（第11題，4分），2017年選擇題（第10題，3分），2018年解答題（第23題第（2）問，4分），2019年選擇題（第9題）和填空題（第14題）共7分，2020年選擇題（第4題）和填空題（第14題）共7分，2021年填空題（第11題，4分），2022年選擇題（第10題）和解答題（第23題最后一問）共7分.

除2021年出現回落以外，在有關三角函數題目的命題上出現以下幾個明顯特征：從選擇題、填空題到解答題都有涉及；分值從3分或4分漲到7分；難度從簡單逐漸過渡到中等再到復雜；考查的知識點從涉及單一知識點過渡到與其他知識點結合.例如2022年杭州中考題的最后一問：

研題反思

1.巧用三角函數，突破解題難點

從上文的分析中可以發現，三角函數在中考命題中的地位在不斷提高.三角函數在浙教版初中教材中只在九年級下冊第一章出現，但是在高中教材中有大量三角函數的延伸知識.中考作為初高銜接的橋梁，增加三角函數的試題分值和難度也在情理之中.三角函數是在直角三角形中利用兩邊長的比值與角度之間的一一對應關系而構建的一種特殊函數.它能夠有效地溝通形與數，滲透幾何直觀的核心素養.三角函數定義中體現的線段之間的比值，與相似三角形的對應邊成比例不謀而合.有關相似的壓軸題通常是幾何知識的綜合應用，而三角函數在解題思路中往往起著關鍵性的紐帶作用.構造合適的直角三角形，活用等角的三角函數值相等，巧用同角三角函數的基本關系往往能夠突破問題的難點.

2.落實核心素養，提高綜合能力

“新課標”指出，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態度和價值觀.從這兩道中考題中可以發現，在“雙減”政策的引領下，雖是選擇題和解答題的壓軸題，但難度并不是很大，有多種思路解法.學生只要抓住解題的關鍵條件，添加合適的輔助線就能夠找到解題方法.這兩道題在菱形和正方形的基本框架之下，學生會覺得圖形比較熟悉，但題型的條件設置和問法又比較新穎，學生會感到陌生，可以說是恰到好處的壓軸.學生用數學知識分析問題，從已知條件得到一些中間結論，把幾何圖形分解成若干個基本模型，再用數學思維解決問題，通過數形結合列方程求解，充分利用三角函數建立起幾何與代數之間的聯系.整個過程無形中滲透并落實了數學核心素養，也提高了學生應對問題的數學綜合能力.

3.調整教學模式，重視方法滲透

“新課標”指出，課程內容組織重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑.重視數學結果的形成過程，處理好過程與結果的關系；重視學生直接經驗的形成，處理好直接經驗與間接經驗的關系.在“新課標”的引領下，教師在平時教學中可以從以下幾方面進行完善：第一，在設計課堂教學環節時，要注重各教學模塊之間的聯系，幫助學生建構知識網絡體系，引導學生學會綜合運用所學知識應對較難問題.第二，要時刻關注學生在解決問題的過程中哪個關鍵點或者哪個知識卡殼了，有目的性、有針對性地引導學生不斷突破難點，并提供鞏固難點的變式練習，將難點逐漸轉化成熟練點.第三，不要一味地灌輸，要留有足夠的時間和空間讓學生思考探索不同的思路方法，引導學生主動討論探究發現新解法，幫助學生不斷鞏固舊知并獲取新方法.學生通過自主探究發現的知識方法更能夠保持長久記憶，被動接受的方法比較容易遺忘，這就是直接經驗與間接經驗的區別.第四，要注重解題方法的歸納小結，解題思路的整理延伸，幫助學生厘清問題主線，形成解題的思維框架.