二次函數內容發展主線上的連貫性考查

[摘 要] 2023年天津中考數學二次函數內容的試題，綜合了圖形與幾何相關知識，注重對二次函數基礎知識的考查，意在加深學生對函數本質的理解和性質的運用。試題重視函數與其他知識的內在聯系，關注數學知識內容的結構性和整體性，聚焦數學思想和方法，要求學生數形結合地研究函數問題，發展幾何直觀，提高解決問題的能力。試題命制關注課程標準倡導的新變化新要求，進行了積極的嘗試和探索。題目搭建了多種解題路徑，為培養學生創新意識、選拔培養創新人才提供了條件。對二次函數主題內容的教學，要突出主干內容，構建函數知識體系，感悟用函數知識解決問題的思想方法，不斷豐富學生的經驗，提升其分析問題和解決問題的能力。

[關鍵詞] 數形結合；思想方法；推理能力；創新意識

[中圖分類號] G424.74 [文獻標識碼] A

[文章編號] 1673—1654（2024）02—022—007

函數是研究運動變化過程中兩個變量之間的對應關系及變化規律的數學模型，是“數與代數”領域的重要內容。保持穩定，圍繞主線，考查能力，素養導向是中考數學試卷的特點。2023年天津中考數學試卷第（25）題，秉持《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）的理念和要求，考查二次函數的主干知識，強調知識的關聯，滲透數學思想方法，突出考查學生的思維能力和運用知識解決問題的能力，考查目標導向核心素養的發展，有效落實立德樹人的根本任務。在保持近年來命題思路的連續性和穩定性的同時，進行了有益的嘗試和探索，表現出一定的創新性。本文主要梳理題目蘊含的思想方法和解決策略，力求實現幫助學生啟迪思維、提升能力、培育素養的目的。

二次函數是函數主題的重要內容，其圖象更為復雜，性質也是多方面，是教學的重點和難點。要充分利用圖象，采用數形結合的研究方法研究二次函數的基本性質。二次函數與一元二次方程、不等式有著密切的聯系，可以相互轉化地解決問題。要利用二次函數部分的學習，進一步鞏固和加強函數的知識內容及函數思想，使之深植學生內心深處。在教學中發現，以下三個方面還存在不足：一是理解二次函數解析式與拋物線的對應關系，增強幾何直觀能力；二是以二次函數為工具揭示變化過程中的依賴關系及變化規律，發展抽象能力和推理能力；三是建立二次函數與其他數學知識間的聯系，提高學生綜合分析問題和解決問題的能力。

一、原題呈現

本題設計了求頂點坐標、拋物線與x軸的交點坐標以及滿足一定條件的動點坐標問題，低起點，高立意，拾級而上，把學生的思考步步引向深入，其中的兩次求動點M的坐標，函數解析式的系數由具體數值到一般字母，需要運用代數式表示、函數與方程思想、數形結合思想、代數運算及推理等才能解決問題。

二、試題評析

試題以拋物線為背景，并與特殊圖形相結合，深入探索圖象及圖形的性質。第（Ⅰ）問，先是在常數系數下求拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標，考查圖象的基本性質；接下來已知斜線段MN的長，求動點M的坐標，需要將斜線段的長轉化為坐標系中豎直線段或水平線段的長；第（Ⅱ）問是前面問題的延續和深入，已知線段的和求動點M的坐標。試題兼顧基礎性和綜合性，要求學生準確把握解決問題的思想和方法，特別是用代數式表示點的坐標、表示線段的長，將斜線段的長進行轉化，運用數形結合、方程的思想才能夠解決問題。

（一）基于課程標準，考查函數基礎知識

二次函數是按照“概念—圖象及性質—聯系—應用”的發展主線來進行的，圖象及性質是二次函數的核心內容，與方程、不等式的聯系，體現了數學知識結構的關聯和綜合?！稑藴剩?022年版）》提出了“會根據二次函數的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標；會用配方法將數字系數的二次函數表達式化為[y=a（x）-h2+k]的形式，能由此得出二次函數圖象的頂點坐標[1]”等有關要求。函數的圖象及性質、二次函數與方程之間的關系等基礎知識的掌握，為深入理解函數的本質和進一步學習其他函數打下堅實的基礎。

推理在數學中具有重要的地位，發展學生的推理能力是數學教學的重要任務之一。在“數與代數”領域存在大量培養推理能力的素材，《標準（2022年版）》提出了“了解代數推理[1]”的要求。代數推理以代數運算為基礎，側重數與式的運算、變形，具有一定的抽象性。初中階段的代數推理是將代數式（或關系）變形為特定的目標結構（或關系），或者用代數方法證明有關結論（或說理）[2]，具有計算和推理的雙重特征。從學生的掌握情況來看，學生對含有字母、特別是含多個字母的代數式、等式的恒等變形、等價變形還存在畏難情緒，消元、降次的思想方法、向特定目標結構變形的思維方向、運算能力還有些不足。本題對代數推理的有關要求，進行了嘗試和探索。

三、教學建議

縱觀近些年二次函數試題，多是代數與幾何的綜合問題，題目注重“數”與“形”的和諧統一，重視數形結合、分類討論、化歸與轉化、函數和方程等思想方法的運用。題目具有基礎性、探究性和挑戰性，全面考查學生分析問題和解決問題的能力。

本題的考查方式通常有三種：一是數字系數下考查二次函數的圖象及性質，如求拋物線的頂點坐標、對稱軸、最值、與坐標軸的的交點；二是字母系數下考查字母系數與圖象及性質的關系，更加關注二次函數的圖象與性質的本質屬性；三是與特殊的幾何圖形相融合，加強代數知識與幾何知識的聯系和綜合，借助數式的特性和圖形的特征，探究拋物線及圖形更多更深層次的性質[3]。教師要關注二次函數多樣性的考查角度，以實現“教―學―評”的一致性。試題堅持核心素養立意，凸顯育人導向。在教學工作中，應注意以下幾個方面。

（一）突出主干，注重本質

從現實世界實際問題出發，抽象出函數的概念，研究函數的圖象及性質，探究函數與其他內容的聯系，建立模型運用函數知識解決實際問題。學習二次函數，既要注重函數的圖象和性質，又要注重研究函數的思路和一般方法。學生掌握的不應僅是枯燥的內容，更應讓學生體會靈動的、閃光的思想和方法。二次函數的解析式、對稱軸公式、頂點坐標公式從數量的角度揭示了二次函數的代數特征，拋物線的頂點、對稱性、變化趨勢直觀表現了圖象的幾何特征，要讓學生從數量和圖形兩個角度及其相互聯系中深入理解二次函數的圖象及性質，深刻體會二次函數聯系、變化、對應的本質特征[4]。在學業水平考試評價中，一直堅持重點考查主干知識，考查學生的抽象能力、運算能力、推理能力、幾何直觀等，促進和發展學生的理性思維。

（二）建構體系，整合內容

二次函數、一元二次方程是“數與代數”領域的重要內容，它們彼此之間聯系密切，相互滲透。要發揮函數的統領作用，用函數的觀點居高臨下看方程和不等式，借助它們之間的相互變形與轉化來解決問題，要強化學生用數形結合思想分析問題的意識，為后續學習其他知識奠定基礎。教師要引導學生對函數、方程、不等式的有關內容加強聯系和對比，厘清知識間的區別和聯系，以知識結構框圖等方式，自主建構有邏輯的知識體系，透徹理解相關內容的整體性、關聯性。

（三）感悟思想，發展素養

數形結合地學習研究函數部分的有關內容，其目的是能運用數形結合的思想解決數學問題，它直接指向幾何直觀素養的培育和發展。讓學生經歷觀察、分類、具體化、歸納等過程，感悟從函數的數量關系及圖象的幾何特征來刻畫函數性質的方法。中考壓軸題多是函數與幾何知識的綜合題，更需將形的直觀與數的精確完美融合才能解決問題，將數量關系用“形”直觀表達，將圖形特征用“數”精確刻畫，使數形結合成為學生思考問題解決問題的重要方式和手段[5]。圖形（包括函數的圖象）自然地帶有幾何直觀，數形結合、幾何直觀，往往能夠在合情推理與邏輯推理間架起橋梁。從圖形出發，直觀形象地猜測結論，想象獲得結論的途徑，通過符合邏輯的計算和推理（包含代數推理），來證明結論的正確。

（四）內化經驗，提升能力

夯實必備知識和提升關鍵能力，是提高教學效果的重要手段。要讓學生經歷觀察、分析、比較、思考、歸納、推理等過程，反思解決問題的方法和過程，提煉和體會問題深處存在的規律，積累和豐富數學活動經驗，通過經驗的長期積累和內化，在問題解決的活動中提升解決問題的能力，逐步學會數學的觀察、思考與表達方式，形成帶有數學學科特征的價值觀、思維品質與關鍵能力。

學生的學習行為、解決問題的方式方法是教師教學行為的直接反映。教師在教學中要關注數學問題的研究思路、研究脈絡，學會分析，學會思考，教給學生在面臨新的問題時解決問題的方法。數學教學要以知識為載體，滲透數學思想，使學生學會在數學思想的指導下解決問題，良好的數學思維習慣和品質才能根植于學生的內心深處，培育數學核心素養和數學的育人目標才能實現。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版集團，2022：57-62.

[2]錢德春.關于初中代數推理的理解與教學思考[J].中學數學教學參考，2020，（4）中旬：2-3.

[3] 陳莉紅，劉洪居，曹經富.關注新變化 聚焦核心素養：2022年中考“函數”專題命題分析[J].中國數學教育（初中版），2023，（3）：36-49.

[4] 義務教育數學課程標準修訂組.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版集團，2022：155-162．

[5] 孫鋒，楊明.注重本質理解·強化應用意識·導向素養發展：2022年中考“函數”專題解題分析[J].中國數學教育（初中版），2023，（1/2）：32-41.

Coherence Examination on the Main Line of the Development of Quadratic Function Content：The Thinking Traits Reflected in Mathematics in the 2023 Tianjin High School Entrance Examination

Bai Shaoqiang

Tianjin Binhai New Area Teacher Development Center，Tianjin，300480

Abstract：Item 25 of the 2023 Tianjin High School Entrance Examination takes the content of quadratic functions as the carrier，integrating knowledge related to graphics and geometry，emphasizing the examination of basic knowledge of quadratic functions，deepening the understanding of the essence of functions and the application of their properties. It pays attention to the internal connection between functions and other knowledge，and pays attention to the structure and integrity of mathematical knowledge content. It focuses on mathematical ideas and methods，studying function problems through a combination of numbers and shapes，developing geometric intuition，and improving students' problem-solving abilities. We have actively attempted and explored the new changes and requirements advocated by the curriculum standards. At the same time，the design of the questions has established various problem-solving paths，providing conditions for cultivating students' innovative awareness and selecting and cultivating innovative talents. For the teaching of quadratic function theme content，we should highlight the main content，build a function knowledge system，comprehend the thinking methods of using function knowledge to solve problems，and continuously enrich students' experience，so as to enhance the ability to analyze and solve problems.

Key words：Combination of Numbers and Shapes，Method of Thinking，Reasoning Ability，Innovation Awareness

（責任編輯：陳暢）

作者簡介? 白紹強，中學高級教師，天津市濱海新區教師發展中心。天津，300480。