基于“六何”認知鏈的“抽象函數”的研究與思考

練育宏　趙偉

【摘 要】 用“六何”認知鏈呈現“抽象函數”的研究過程，以整體視角把握知識結構，讓研究對象經歷“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”的認知過程，可以加深學生對研究對象本質的理解，進而促進學生深度學習，提升相應核心素養.

【關鍵詞】 六何；抽象函數；深度學習；核心素養

2019版中國高考評價體系中的“四翼”突出了對學科基礎性的考查，要求高考應圍繞學科主干內容，加強對基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題怪題和繁難試題，引導教學重視教材，夯實學生學習基礎，給學生提供深度學習和思考的空間［1］.“抽象函數”相關問題在近幾年高考中頻繁亮相.試題題干簡潔、指向明確、緊扣基本概念、內涵豐富、解答方式多樣，是突出“基礎性”考查的有效載體，也是“反機械刷題”、促進學生深度學習、培養理性思維的很好素材.本文從“六何”角度深度剖析“抽象函數”，意在引導學生的關注點從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”的轉變［1］.

1 “六何”有序結構的理論基礎

“六何”有序結構是由周瑩教授基于系統論和連貫理念提出的一種策略，能夠系統地體現教學的連貫性、自然性以及完整性［2］.“六何”即 “從何”“是何” “與何” “如何” “變何” “有何”.“從何”包括知識、經驗起點以及章導言與前言， 這是新知識的問題發現與提出，突出新知識研究的必要性，也是激發學生學習興趣的著力點; “是何”包括 “是什么”這一事實性知識，是對新知識本質屬性的深入探究與理解; “與何”包括從關聯的角度看知識間 “有何聯系”， 促進知識的融會貫通; “如何”包括教材呈現的例題、習題的數量及難度，強調理解和應用的認知過程; “變何”強調問題的變式拓展，通過問題的提出和變式，幫助學生觸類旁通，拓寬思維層面; “有何”包括 “有何收獲”，是對學習過程中能力、 素養、知識水平等方面的挖掘與凝練［3］.作為課堂教學的一種有序結構也可以應用于研究某一數學對象，用“六何”結構研究問題，既要關注問題的破解策略，又要關注問題的“來龍去脈”，用“整體觀”“全局觀”把握知識結構，從而避免研究問題“只見樹木，不見森林”的現象.

2 從“六何”看抽象函數

“六何”可看成由對知識來龍去脈及總結反思的發問而構成的認知鏈，這種認知鏈并不是簡單的單向進行，而是多種開端，多種組織方式， 可以根據實際情況，靈活運用．下面從“六何”的視角展開對“抽象函數”的研究，供各位同仁參考.

2.1 追溯“從何”

抽象函數從何而來？實際上可看成從初等函數中抽象概括出來的，也就是說很多抽象函數都是有“原型”的，部分梳理如下：

左列初等函數中依據其運算（公式）特征，抽象出右列中的等式，而具備右列等式的函數不一定唯一，左列中的函數只是滿足右列等式的一個特例而已.以上對應也說明了抽象函數并不“抽象”，它具有豐富的“背景”與“內涵”，多數初等函數是抽象函數方程的解.

2.2 抽象“是何”

一般不給出具體解析式，只給出函數具備的特殊條件或特征的函數即為抽象函數.此類問題具有較強的抽象性、綜合性、技巧性等特征，能較好地考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算等核心素養.基于此，此類問題也成為近年新高考的熱點.

2.3 連接“與和”

抽象函數的形式多樣，在教材中實際上也有多處體現，特別是描述一類函數的共同的特性，如：描述函數奇偶性時，用等式f（－x）±f（x）=0來刻畫，描述函數周期性時，用等式f（x+T）=f（x）（T≠0）來刻畫，當然，還可以從定義出發演變出多種形式.

2.4 把握“如何”，探究“變何”

在近幾年考題中抽象函數問題一般以什么面孔呈現，究竟怎么考，考什么呢？下面舉例說明.

2.4.1 開放問題

例1 （2022新高考全國Ⅱ卷題8改編）若函數f（x）的定義域為R，寫出一個同時具有下列性質①②的函數f（x）= ．

3 研究啟示

3.1 重視基本概念教學，關注深度考查

近年新高考試題中，特別強調對于基本概念與性質的深入理解.深化基礎性的考查要求不意味著降低題目的難度，也不局限于對知識概念的簡單記憶和再認識，而是體現知識的應用過程，更加靈活深入地考查基本概念，在考查基礎性的同時發揮高考選拔功能［4］.因此在平時教學中，要強調對基礎知識、基本概念的深刻理解與運用，突出對學科本質的體現.例2中，由f（2x+1）為奇函數得f（－2x+1）=－f（2x+1）（奇偶性定義的本質體現）；結論1中，由f（2a－x）=f（2b－x）得T=2|a－b|（周期性定義變形）；例3中，由f′（2－x）=f′（2+x）得f（2+x）+f（2－x）=c（導數法則的逆向考查）；結論6中，由f（－x）－f（0）=－［f（x）－f（0）］得f（x）－f（0）為奇函數（奇偶性定義的逆向考查）.故例2、例3及其變式其本質是對奇偶性、周期性定義的深度考查.

基本概念與原理是數學解題的起點，基礎知識的領悟程度，直接影響到知識的應用能力.對于基本概念的教學盡量做到以下幾點.

1.注重概念的生成過程，特別是一些有啟示作用的推導思想與方法；

2.注重概念的多元表征，即通過一組等價命題對概念形成網絡和表象，讓學生從整體上把握相關知識；

3.注重概念的辨析教學，如：關鍵字詞的理解，條件的強（弱）化帶來的影響，四種命題能否成立，能否作一般性推廣等；

4.注重概念的前后聯系，對于與其它概念聯系緊密的知識，可將其關系呈現出來，以便學生形成知識網絡.

3.2 活用“六何”研究問題，關注知識來龍去脈

“六何”認知鏈研究策略，是從問題意識的角度創建的一種認識方法論，主要體現知識的來龍去脈的問題性、層序性、操作性和完整性［5］.“六何”并不一定是單向進行，可以是多種開端，多種組織方式，它們之間相互聯系、相互交融、密不可分的，如：在研究某一個問題下的子問題時，可以又是一個“六何”的小循環，“是何”“與何”以及“如何”“變何”之間一般具有互為補充、互相滲透的關系.用“六何”視角看問題可以讓學生經歷知識發生、發展、高潮、結束的認知過程，以整體視角把握知識結構，加深對問題本質的理解.

“抽象函數”相關問題作為近年新高考的熱點，學生往往因其表現形式的抽象導致解決起來感到茫然與困難，實際上它的背景以及解決手段并不“抽象”.“從何”追溯來源、了解背景，也為“如何”提供了豐富的模型；“是何”抽象特征、把握本質；“與何”揭示聯系、促進融通，也為“如何”提供解決的基本工具；“如何”學以致用、深化理解；“變何”探究變化與拓展、促進發散，也是對“是何、如何”的深度理解與靈活運用；“有何”回顧反思、促進內化，全方位總結這類問題所涉及的“基礎知識”，破解的“基本方法”，蘊含的“基本思想”，最終達到考查學生“基本素養”的目的.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 莫倩華，肖寶瑩，周瑩.基于“六何”有序結構的高中數學教材對比研究——以人教A版、湘教版《古典概型》為例［C］//全國數學教育研究會.全國數學教育研究會2016年國際學術年會論文集.廣州：中國高等教育學會教育數學專業委員會，2016：12.

［3］ 張程，周瑩.基于“六何”有序結構的高中數學新舊教材對比分析——以人教A版“函數概念”為例［J］.中小學課堂教學研究，2021（12）：28.

［4］ 翟嘉祺，任子朝，趙軒.高考深化基礎性考查研究［J］.中學數學教學參考，2022（31）：4-7+12.

［5］ 魏小軍，莫倩華，周瑩.基于“六何”認知鏈的“正弦定理”教學設計［J］.數學學習與研究，2018（18）：12.

作者簡介 練育宏（1974—），江蘇揚州人，中學高級教師；現任揚州市江都區教研室高中數學教研員，揚州市數學學科帶頭人，曾獲揚州市江都區教育功臣、揚州市高中教育先進個人、揚州市數學優秀奧賽教練員、揚州市十佳教研員、揚州市名師工作室優秀指導教師等榮譽稱號；發表論文20余篇，并有多篇文章被人大復印報刊資料《高中數學教與學》全文轉載；主持省級課題2項，參與省級課題2項.

趙偉（1983—），男，江蘇揚州人，中學一級教師；現任揚州市江都區邵伯高級中學教科室副主任、高三年級組主任，曾榮獲江都區十佳班主任稱號，多次被評為區教育局優秀工作者；研究方向為數學教育.