高階結構對無標度網絡上合作行為演化的影響

謝逢潔　姚欣　王思一

摘要： 為研究高階結構對無標度網絡上合作行為演化的影響，構建基于囚徒困境博弈的網絡博弈模型。在無標度網絡上引入二階高階結構，定義含成對博弈的三角形面博弈，用高階結構參數聯系成對博弈收益與面博弈收益，并通過仿真實驗分析高階結構對合作行為演化的影響。結果表明，當高連接度個體優先合作并獲得高收益時，會促使其他連接度個體也選擇合作，博弈個體間一旦形成穩定的“全合作”三角形策略結構，就能顯著提高每個合作者收益，進而促進合作行為的產生。

關鍵詞： 二階高階結構；無標度網絡；合作行為；演化博弈

中圖分類號： O157.5;N94文獻標識碼： A

The Effect of Higher-order Structure on the Evolution of Cooperative Behavior on Scale-free Networks

XIE Fengjie， YAO Xin， WANG Siyi

（School of Modern Posts， Xian University of Posts and Telecommunications， Xian 710061， China）

Abstract：In order to study the influence of higher-order structures on the evolution of cooperative behavior on scale-free networks， a network game model based on the Prisoner′s Dilemma game is constructed. A second-order higher-order structure is introduced on the scale-free network， a triangular face game containing pairwise games is defined， and the higher-order structure parameters are used to link the pairwise game payoffs with the face game payoffs， and the influence of the higher-order structure on the evolution of cooperative behavior is analyzed through simulation experiments. The results show that when individuals with high connectivity prioritize cooperation and obtain high payoffs， other individuals with high connectivity will be prompted to choose cooperation， and once a stable "all-cooperative" triangular strategy structure is formed among individuals， the payoffs of each cooperator can be significantly increased， which in turn promotes the emergence of cooperative behaviors.

Keywords： second-order higher-order structure; scale-free networks; cooperative behavior; evolutionary game

0 引言

理解自利個體如何在現實社會中形成廣泛的合作是演化博弈論研究的一個核心問題。學者們主要從不同的理論視角出發解釋合作行為的產生，包括親緣選擇、直接互惠、間接互惠、團隊選擇和網絡結構［1］。在不同的理論視角中，囚徒困境博弈是最常見的描述個體間博弈行為的模型［2］，被學者們廣泛采用，產生了豐碩的研究成果。

網絡結構對群體合作行為影響的研究始于1992年發表于《Nature》的論文“Evolutionary games and spatial chaos”。在這篇論文中，Nowak和May［3］研究了囚徒困境博弈在方格網上的演化，發現合作者在方格網上可以通過結成緊湊的聚集，抵御背叛策略的入侵，從而維持穩定的合作。隨后，許多學者進一步研究了各種規則格子對合作行為產生的影響，發現規則格子對合作行為的作用效果與格子的排列細節［45］，個體行為的多樣性［68］，差異化的博弈配對［9］，以及博弈群體的人口密度有著緊密關系［10］。在規則格子中，一個個體以某種規則的排列與其他個體進行交互作用，且每個博弈個體有著相同數量的連接關系。然而，在現實社會中，個體之間的交互作用數量很顯然不是完全相同的，規則格子無法很好地刻畫現實社會中個體之間差異化的交互作用。

隨著復雜網絡理論的興起，描述個體差異化連接關系的無標度網絡［11］受到研究者們的廣泛關注。相應地，無標度網絡對合作行為的影響成為研究熱點［1217］。研究發現，相比規則格子上的同質性交互作用，無標度網絡上的異質性交互作用使得群體的合作水平大幅度提高。此后，無標度網絡的集聚性［13，1819］、社區結構［2021］、匹配性［2223］等對合作行為的影響探索也取得了極為豐碩的研究成果。在無標度網絡對合作行為的影響研究中，雖然學者們采取的網絡形式多種多樣，但都有一個共同的前提假設，即個體的博弈行為基于個體之間的成對連接關系。具體來說，如果一個個體在網絡中有n個連接關系（即n個鄰居），則與每個鄰居進行博弈，其收益是與每個鄰居進行博弈所得收益的加和。個體之間的成對連接關系是構成各種網絡形式的基礎，但多變的網絡形式卻不是簡單的成對連接關系所能描述的，而是涉及到更復雜的局部結構［2425］。在現實情況中，個體不僅與每個鄰居進行博弈，鄰居間的交互關系也會對博弈結果產生影響。一個博弈個體面對n個相互獨立的鄰居和面對n個具有一定關系的鄰居，其博弈收益和策略選擇是不同的。

在復雜網絡動力學行為的最新研究中，Iacopini等［26］通過一個高階傳染病模型來描述不同規模的群體間的互動，發現流行病的傳播閾值和流行程度與只考慮個體成對關系時不同。Wang等［27］發現在社會交流過程中不僅涉及單個節點的互動，還涉及它們所屬派系之間的互動；基于此，他們使用高階結構（單純復形）來描述這種現象，然后采用離散微觀馬爾可夫鏈的方法對基于單純形的社會交流過程進行建模，從而得到了信息爆發的潛在臨界條件。在研究由發送者和接收者構成的信號傳遞的動態演化過程中，Kumar［28］發現當用高階結構刻畫信息接收者之間的群體互動時，即使謊言對接收者有利，對發送者不利，誠實策略也依然可以維持，這與僅考慮成對交互作用時的場景是不相同的。這說明高階結構不僅能夠刻畫包括成對關系在內的更為復雜的局部結構關系［2933］，還對復雜網絡動力學行為產生了顯著的影響。

基于以上思考，本文借鑒高階結構的理論與方法，以群體合作行為演化為研究對象，將二階高階結構和無標度網絡相結合，構建一種同時考慮成對交互作用和三角形面交互的演化博弈模型，并通過仿真實驗探究二階高階結構對無標度網絡上合作行為產生的影響，研究結果彌補了群體之間僅考慮成對博弈關系時的不足，同時也揭示了現實社會中自利個體形成廣泛合作的一個新的關鍵因素。

1 模型構建

1.1 高階結構的定義

高階結構的定義基于單純形模型和單純形復合體［26］。單純形模型將網絡中個體間的關系刻畫為一個單純形。一個k維單純形σ是k+1個節點的集合，σ=p0，…，pk。以3個節點為例，其所構成的三角形就是一個2維單純形，或稱為“完全”三角形p0，p1，p2，由邊p0，p1，p0，p2和p1，p2組成。根據單純形的基本定義，0維單純形如同網絡中的節點，1維單純形如同網絡中的邊，2維單純形對應三角形面，3維單純形是四面體，如圖1a所示。不同維度的單純形構成單純形復合體，如圖1b所示。在單純形復合體K中，如果σ∈K，那么σ的子集同樣是單純復合體K的子集。這意味著n維單純形復合體包含著更低維度的單純形結構。比如，3維單純形復合體不僅包含3維單純形，還包含2維和1維單純形。

網絡的高階結構與單純形復合體相對應，n階高階結構與n維單純形復合體相對應。二階高階結構則指網絡中2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。三階高階結構指網絡中3維單純形（四面體）、2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。

1.2 基于高階結構的囚徒困境演化博弈模型

1.2.1 基于二階高階結構的個體博弈交互作用

個體之間的博弈交互作用在無標度網絡上展開。無標度網絡采用Barabási和Albert的BA無標度網絡模型生成，其方法見文獻［11］，個體位于所生成的無標度網絡的節點上。在以往的研究中，個體的博弈行為基于無標度網絡上個體間的成對連接關系展開。本文首次考慮高階結構下的群體博弈交互作用，提出個體基于“二階高階結構”的演化博弈模型，即個體不僅基于成對連接關系進行博弈，還基于三角形面關系進行博弈。

1.2.2 個體的博弈收益

個體采用囚徒困境模型進行博弈。在囚徒困境博弈中，雙方共同合作則各自獲得收益R；雙方共同背叛則各自獲得收益P；如果一方選擇合作策略，另一方選擇背叛策略，則合作者獲得收益S，背叛者獲得收益T，其大小順序為T>R>P>S。本文沿用現有研究中普遍采用的單參數博弈矩陣，即令T=b>1，R=1，S=-0.01，P=0，其中b代表背叛者的誘惑參數［15］。博弈的收益矩陣Α為

個體的博弈基于無標度網絡上的二階高階結構展開，即個體之間基于成對交互作用和三角形面交互作用進行博弈。圖2給出基于二階高階結構進行博弈時，個體在網絡中與其鄰居之間可能形成的博弈交互作用情境。圖2中不同顏色的圓點表示不同策略的博弈個體，實線連接表示相同策略個體之間的成對博弈，虛線連接表示不同策略個體之間的成對博弈，黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。

在圖2a～2e中，個體與其鄰居間不存在三角形面的關系。這時，個體基于成對連接關系與鄰居展開博弈。在圖2f～2h中，個體與其兩個鄰居形成了三角形面。這時，如果個體的兩個鄰居的策略不同，即鄰居未形成統一的策略，則個體僅基于成對連接關系與每個鄰居進行博弈，如圖2f所示；反之，如果個體的兩個鄰居的策略相同，即鄰居形成了統一策略，則個體不僅要基于成對連接關系與每個鄰居進行博弈，還需基于三角形面與兩個鄰居進行博弈，如圖2g～2h所示，2.1小節將會討論三角形面博弈對個體策略結構產生的影響。

根據以上博弈交互作用的描述，設si為個體i在一次博弈中采取的策略向量，令策略向量si=1，0表示個體采取合作策略C，策略向量si=0，1表示個體采取背叛策略D。則個體i在第t次博弈時的總博弈收益可表示為

其中，Ωi為第t次博弈時刻與個體i有連接關系的鄰居集合；sTi是與個體i進行博弈的個體j在t時刻的策略向量的轉置；A為式（1）中所描述的博弈矩陣。ΩGi為Ωi集合中與個體i形成圖2g和2h博弈情境的鄰居集合?！苆∈ΩisiAsTj表示成對連接關系博弈所獲收益，G∑g∈ΩGisiAsTg表示三角形面博弈所獲收益。參數G刻畫了二階高階結構對個體博弈收益的影響程度，稱為高階結構參數，其值越大，說明高階結構的作用越強。當高階結構參數G=0時，公式（2）回到了未引入三角形面博弈的情形，即僅存在成對交互作用，不考慮高階結構的作用，通過參數G的改變，把成對交互作用和三角形面交互統一起來。

1.2.3 個體的博弈策略更新規則

策略的動態演化采用現有研究中廣泛使用的復制動力學機制。所有博弈個體在一次博弈后同時更新策略，策略的更新以博弈收益為基礎。當個體i進行策略更新時，個體i隨機從其鄰居中選擇一個個體j作為比較對象，將兩者博弈后的總收益Ui和Uj進行比較。如果Ui>Uj，則以一定概率p選擇個體j的當前策略作為個體i的下一步策略。概率p的計算方式為［13，15，18］：

2 理論分析

2.1 二階高階結構對群體策略行為選擇的影響

為了深入分析1.2.2節中個體基于三角形面博弈的交互情境，圖3給出網絡中個體間形成三角形面交互作用博弈的微觀機制，其中黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。由圖3可見，基于二階高階結構形成的三角形面交互作用博弈情境總共有4種，即三角形面博弈情境D，D，D、C，D，D、C，C，C以及D，C，C。

對于博弈情境D，D，D，每個D策略個體都能與其他兩個D策略個體之間形成三角形面博弈，但由于策略結構D，D的收益為0，則任何一個個體獲得的三角形面博弈收益都為0。對于博弈情境C，D，D，雖然C策略個體與其他兩個D策略個體之間形成三角形面博弈，但C，D策略結構中C策略個體的收益為0，則其獲得的三角形面博弈收益為0。對于博弈情境C，C，C，每個C策略個體都能與其他兩個C策略個體之間形成三角形面博弈并獲得2GR的面博弈收益。對于博弈情境D，C，C，D策略個體與其他兩個C策略個體之間形成三角形面博弈并獲得2Gb的面博弈收益。

當高階結構參數G增大時，高階結構更大程度地提高博弈情境C，C，C中C策略個體的收益和博弈情境D，C，C中D策略個體的收益。但這兩個博弈情境的不同之處在于，高階結構參數G越大，博弈情境C，C，C中每個C策略個體的收益都得到顯著提高，而博弈情境D，C，C中只有D策略個體的收益得到顯著提高。其結果是，博弈情境C，C，C三角結構非常穩定，而博弈情境D，C，C中的兩個C策略個體很可能在策略調整的時候模仿D策略，進而使得D，C，C三角形面博弈轉變為D，D，D三角形面博弈，使得D策略個體的收益變為0。在這樣的情境下，D，D策略結構中的D策略個體一旦與C，C，C三角形策略結構中的C策略個體有連接關系，就有極大的概率改變D，D策略結構為C，C策略結構，從而表現出D，D策略結構數量下降，整個群體的合作者比例提高。

因此，個體在微觀層面形成合作的三角形策略結構C，C，C是高連接度個體保持合作行為并獲得高博弈收益的根源所在，進而影響到其他連接度個體學習高連接度個體的合作行為，使得群體表現出更高水平的合作狀態。

2.2 三階高階結構對群體策略行為選擇的影響

為了進一步將2.1中結論推廣到二階以上的高階結構，圖4給出網絡中個體間形成四面體交互作用博弈的微觀機制，圖4中的每個四面體是由4個大小相同的三角形組成，其中黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。白色的圓點表示個體采取合作策略，黑色的圓點表示個體采取背叛策略。虛線箭頭代表從四面體空間中指向節點i，以此來計算節點i的收益。

由圖4可見，基于三階高階結構形成的四面體交互作用博弈情境總共有5種，即四面體博弈情境D，D，D，D、D，C，C，C、C，D，D，D、C，C，D，D、C，C，C，C。

對于博弈情境D，D，D，D，每個D策略個體與其他3個D策略個體之間形成四面體并進行博弈，而四面體是由4個策略結構均為D，D，D的三角形面組成，所以個體所獲收益是個體與其鄰居組合成的所有三角形面博弈收益和3個D，D策略結構博弈收益的加和。由于每個D，D，D策略是3個D，D策略結構組成，而策略結構D，D的收益為0，則任何一個個體所獲得的三角形面博弈收益都為零；因此，每個D策略個體基于四面體博弈所獲收益為0。同理，博弈情境D，C，C，C中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為6Gb+3b和2GR+2R。博弈情境C，D，D，D中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為b和0。博弈情境C，C，D，D中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為2Gb+2b和R。博弈情境C，C，C，C中每個C策略個體所獲收益為6GR+3R。

當高階結構參數G增大時，其更大程度提高博弈情境D，C，C，C中C策略個體和D策略個體的收益、博弈情境C，C，D，D中D策略個體的收益、博弈情境C，C，C，C中C策略個體的收益。但這些博弈情境有很大不同，首先，高階結構參數G越大，博弈情境D，C，C，C中C策略個體和D策略個體的收益都會越高，但D策略個體收益的提高幅度大于C策略個體收益的提高幅度。由于四面體上的博弈個體為了追求自身利益最大化，在下次博弈前會選擇對自己有利的策略。所以C策略個體在下次博弈之前會更大可能選擇D策略，會出現C，C，D，D、C，D，D，D、D，D，D，D3種博弈情境，如圖5b、5e、5f。其次，對于C，C，D，D博弈情境，高階結構參數只會改變D策略個體的收益。因此，在下次博弈開始之前，C，C，D，D博弈情境中的兩個C策略個體會很大可能采取D策略，并使博弈情境演化成C，D，D，D或D，D，D，D，如圖5c和5g。但C，D，D，D博弈情境并不穩定，最終也會演化成D，D，D，D，如圖5d和5f。所以D，C，C，C、C，C，D，D博弈情境最終都會演化成D，D，D，D，使每個D策略個體獲得0收益。相反，C，C，C，C博弈情境中的每個C策略個體的收益會隨著高階結構參數的增大而增加，相比于D，C，C，C和C，C，D，D，博弈情境C，C，C，C所形成的四面體博弈情境非常穩定。因此，當D，D，D，D博弈情境中有某一個個體與C，C，C，C博弈情境連接時，D策略個體為了追求更高收益而選擇模仿鄰居的策略，最終選擇合作行為。

綜上，個體在微觀層面形成的四面體博弈情境C，C，C，C是高連接度個體保持合作行為并獲得高博弈收益的原因所在，從而影響其他鄰居個體的合作行為策略選擇，使得群體表現出更高的合作狀態。

3 仿真實驗設計及結果

3.1 仿真實驗設計

基于以上模型描述，本文使用MATLAB編程，用Monte Carlo方法研究無標度網絡上二階高階結構對囚徒困境博弈合作行為演化的影響。仿真實驗總的個體數N設定為5 000。

首先，個體位于1.2.1節BA無標度網絡模型生成的無標度網絡的節點上。在重復博弈的初始時刻，每個個體隨機選擇合作策略（C）或背叛策略（D）作為自己初次博弈的策略。將某個博弈時刻t合作者在整個群體中所占的比例稱為合作者密度pct，則有pct=nct/N（其中nct為t時刻合作者的數量）。那么，在重復博弈的初始時刻（t=0），合作者密度pct≈0.5。每個個體在獲得初始策略后，根據1.2.2節的博弈情境選擇交互作用鄰居進行博弈，按照公式（2）獲得自己博弈的總收益；然后，根據1.2.3節中公式（3）所描述的策略更新規則進行策略調整，并將調整后的策略作為自己下一次博弈時使用的策略。

所有個體在每次博弈后對自身策略的調整使得合作者密度在下一次博弈前發生改變。隨著重復博弈的進行，合作者密度pct將隨仿真時間呈現出動態變化的過程，并逐漸達到一個動態平衡狀態。通過多次實驗發現，博弈次數為5 000時合作者密度基本達到穩定的動態平衡狀態，故取重復博弈次數（即仿真的取樣時間）為5 000次（步）。以最后500次的合作者密度的平均值作為群體達到動態平衡狀態時的合作者密度，記為合作者均衡密度PC，故PC=∑5 000t=4 501pct/500。為了確保數據的有效性，仿真結果中的所有數據是相同高階結構參數G和博弈參數b條件下50次實驗結果的平均值。

3.2 仿真實驗結果

圖6給出背叛誘惑參數b=2.2時，群體合作者密度pct在不同的高階結構參數G條件下的動態演化過程。圖7給出在不同的背叛誘惑參數b條件下，群體合作者均衡密度PC與高階結構參數G的關系。

由圖6可以看出，當背叛誘惑參數b=2.2時，初始合作者密度從pct≈0.5開始，先是迅速地下降至pct≈0.24左右，然后逐漸上升，最后在t=5 000時已經達到動態平衡，且合作者密度pct在更大的高階結構參數G下表現出更高的水平。進一步，由圖7可以看出，對于所有的背叛誘惑參數b，合作者均衡密度PC均在更大的高階結構參數G條件下表現出更高的水平。尤其是當b>2.5后，高階結構提高合作者均衡密度的效果愈發顯著。高階結構參數G=10對應的合作者均衡密度PC水平比高階結構參數G=0時（無高階作用）的合作者均衡密度PC水平提高了25%左右。以上實驗結果表明，高階結構有利于個體抵抗背叛誘惑，產生更高水平的群體合作，并在背叛誘惑很大的情況下發揮更強的促進個體合作的作用。

4 結果分析及討論

為了更好地理解以上實驗結果，本節通過分析群體中不同連接度個體在最終演化時刻的合作者密度、博弈收益、以及鄰居的策略結構，來揭示高階結構促進群體合作行為的內在機理。

4.1 高階結構對不同連接度個體合作行為的影響分析

仿真實驗中的無標度網絡有著相同的度分布，圖8給出背叛誘惑參數b=2.2時，在不同高階結構參數G下，無標度網絡上連接度為k的個體在最終演化時刻（t=5 000）的合作者密度PCk。選擇b=2.2進行分析的原因在于，在該背叛誘惑條件下，合作者均衡密度PCk在不同的高階結構參數G下有著明顯的差異（見圖8），能夠更好地呈現不同連接度個體在最終演化時刻的合作者密度PCk。PCk的計算方法為：對于給定的仿真參數，在群體一次演化博弈的最后時刻，統計連接度為k的個體數量nk和合作者數量c（k），那么PCk=∑lclk/∑lnlk（其中，l表示對于給定參數所進行的重復實驗次數，l=20）。

由圖8可見，對連接度水平較低（k<20）的博弈個體，高階結構參數G明顯提高了不同連接度個體的合作者密度PCk；對于連接度水平高（k>30）的博弈個體，更高的高階結構參數G使得更多連接度的個體達到完全合作狀態，即PCk=1；對連接度在20至30之間的博弈個體，更高的高階結構參數G對應著更高水平的合作者密度PCk?？梢钥闯?，隨著高階結構參數G的不斷增大，群體中個體進行博弈交互作用的鄰居數量在不斷增多，不同連接度的個體抵御背叛的能力均在不斷加強；所以高階結構均對其合作策略的選擇起到明顯的促進作用。

4.2 高階結構對不同連接度個體博弈收益的影響分析

采用和圖8實驗相同的參數條件，進一步比較在不同的高階結構參數條件下，無標度網絡上連接度為k的合作者與背叛者的平均總收益。平均總收益的計算方法如下：對于給定的仿真參數，在群體一次演化的最后時刻，統計連接度為k的合作者數量nClk以及背叛者數量nDlk，并且加和連接度為k的合作者的總收益UClk和背叛者的總收益UDlk。則當前連接度下合作者的平均總收益為UCk=∑lUClk/∑lnClk，背叛者的平均總收益為UDk=∑lUDlk/∑lnDlk。圖9給出無標度網絡上連接度為k的合作者和背叛者在最終演化時刻的平均總收益。各子圖給出不同高階結構參數G條件下的結果。

由圖9的每個子圖可以看出，無論高階結構參數G的取值大小，隨著連接度k的增大，群體中個體的博弈收益均呈上升趨勢，這說明個體的連接度越高，獲得更高博弈收益的優勢越大。此外，隨著高階結構參數G的增大，越來越多的高連接度個體選擇合作策略，且其獲得更高博弈收益的優勢越來越明顯。具體而言，當高階結構參數G=0時，群體中有著最高博弈收益的個體既有合作者也有背叛者，最高博弈收益水平為226；當高階結構參數G=2時，群體中連接度在200以上的個體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為463；當高階結構參數G=5時，群體中連接度在100以上的個體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為754；當高階結構參數增大至G=10時，只有連接度很低的個體選擇背叛行為，其他連接度個體均選擇合作行為，最高博弈收益水平為1 334。這說明，高階結構參數G對群體合作行為影響的關鍵是影響了群體中高連接度個體對合作行為的選擇，并使得博弈收益水平顯著提高。而高連接度個體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會學習高連接度個體的合作行為，進而使得其他連接度個體也更多地選擇合作行為。

4.3 高階結構對個體鄰居策略結構的影響分析

采用和圖8實驗相同的參數條件，進一步分析在不同高階結構參數G下，無標度網絡上連接度為k的個體的鄰居策略結構。根據1.2.2小節所描述的博弈交互作用情境，只有當某個個體的兩個鄰居的策略相同，即鄰居形成了統一策略，個體才會基于三角形面與兩個鄰居進行博弈。本節分析在博弈的最終演化時刻，連接度為k的個體鄰居所形成的C，C策略結構和D，D策略結構的平均數量。具體計算方法如下：對于給定的仿真參數，在群體一次演化的最后時刻，統計連接度為k的博弈個體數量nlk，并對該連接度下所有個體的鄰居所形成的C，C策略結構數量nCClk和D，D策略結構數量nDDlk分別進行加和。對于連接度為k的個體，其鄰居中C，C策略結構的平均數量為numCCk=∑lnCClk/∑lnlk，其鄰居中D，D策略結構的平均數量為numDDk=∑lnDDlk/∑lnlk。圖10給出無標度網絡上連接度為k的個體鄰居在最終演化時刻所形成的D，D策略結構和C，C策略結構的平均數量，各子圖給出不同高階結構參數G條件下的結果。

由圖10可以看出，隨著高階結構參數G的增大，連接度為k的個體的鄰居所形成的D，D策略結構數量越來越少。具體而言，在連接度大于100的范圍內，當高階結構參數G=0時，一共有10個連接度的個體鄰居形成了D，D策略結構；當高階結構參數G=2時，僅有3個連接度的個體的鄰居形成了D，D策略結構；當高階結構參數增大到G=5和G=10時，沒有任何連接度的個體的鄰居形成D，D策略結構。而在連接度小于50的范圍，對比高階結構參數G=5和G=10條件下的結果，可以看出G=10條件下更少連接度的個體的鄰居形成D，D策略結構。這些分析結果說明，高階結構有效降低了網絡中D，D策略結構的數量，進而驗證了2.1小節得出的結論。

5 結語

本文將高階結構引入復雜網絡演化博弈的研究中，在原有的成對連接關系博弈的基礎上考慮三角形面博弈。對個體博弈交互作用及博弈收益重新定義，以一個高階結構參數刻畫高階結構對群體合作行為產生的影響，搭建起本研究和以往研究的關系。

1）通過理論分析給出二階高階結構對群體策略行為選擇的影響，并將結論在三階高階結構上進行推廣。結果表明，博弈群體在二階高階結構和三階高階結構的作用下均表現出更高的合作水平，一旦個體間形成了C，C，C三角形策略結構或C，C，C，C四面體策略結構，就可以顯著提高每個C策略個體的收益，使得策略結構的穩定性極高。相反，雖然D，C，C策略結構和D，C，C，C策略結構中的D策略個體能夠獲得比C，C，C策略結構和C，C，C，C策略結構中的C策略個體更高的博弈收益，但D，C，C策略結構和D，C，C，C卻極不穩定，很快會轉變為D，D，D策略結構和D，D，D，D策略結構。D，D，D三角形策略結構和D，D，D，D四面體策略結構在收益獲得方面沒有任何優勢，從而會在策略演化過程中學習周圍的合作者，選擇合作行為。

2）在仿真實驗驗證中發現，在更強的高階結構作用下，不同連接度的個體均表現出更強的抵御背叛行為的能力，主要原因是高階結構作用顯著影響了群體中高連接度個體對合作行為的選擇，并使其博弈收益水平明顯提高。高連接度個體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會學習高連接度個體的合作行為，進而使得其他連接度個體也更多地選擇合作行為。

在本文構建的理論模型中，高階結構參數對合作策略或背叛策略沒有任何偏好。但理論分析和實驗結果表明，高階結構有效地提高了群體的合作水平，從而給出了一個新的理解現實世界自利個體間產生合作行為的關鍵因素。這為進一步深入研究更高階的網絡結構（如單純形復合體）對群體合作行為演化的影響提供了思路。

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（責任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－10－03；修回日期： 2022－11－26

基金項目： NSFC－云南聯合基金（U2102221）；陜西省自然科學基礎研究計劃項目（2023－JC－QN－0261）；陜西省教育廳研究計劃項目（23JK0675）

第一作者： 謝逢潔（1974－），女，重慶人，博士，教授，主要研究方向為復雜網絡理論及其應用。

通信作者： 王思一（1994－），女，陜西漢中人，博士，講師，主要研究方向為演化博弈論及其應用。