欣賞數學智慧之美妙

陳飛伶+張維忠

數學是一種文化，是人做出來的，數學教育要恢復其本來面貌，揭示其人文背景，讓學生親近數學，喜歡數學，欣賞數學[1].讓學生欣賞數學是數學新課程改革的出發點之一，要讓學生學會欣賞數學，培養學生的內驅力、數學能力和數學文化素養，讓學生了解數學的源與流，體會數學的真善美.而數學的美，不僅體現在美觀，更在于“美妙”.數學中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學設計，讓學生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數學元素，讓學生在活動中欣賞數學智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術，在日本得到發展形成一種文化，并走向了世界.20世紀50年代，折紙藝術在西方引起轟動，“現代折紙藝術之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發這次“折紙潮”.他創立了國際折紙研究會，并于20世紀60年代成為折紙藝術和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當今，折紙不僅僅是一種藝術形式，它在科學上也有廣泛的應用.例如，汽車安全氣囊的設計、降落傘的折疊等等.

折紙在數學課堂的使用已經并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現許多理想的學習成果.例如，折紙幫助學生實現空間可視化和更好的交流；幫助學生發現數學不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當的折紙模型（像盒子）可以幫助學生探索重要的數學觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創建我們自己的教具，使學習具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術品，這個藝術方面特點可以幫助教師激發學生發現數學具有的美學價值.

2課堂構想——折紙盒子過程

教學流程

（1）課堂導入

（2）提出問題

現在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關系呢？

（3）實驗活動

引導學生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現在已經把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標記折痕.標記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側面.這四個側面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側面重復步驟7和8.紙盒的模型應該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結論

引導學生討論結果.現在假設構建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導學生使用基本的歐幾里得幾何構造和構造的盒子得出以下結論：盒子正方形底部的長度=x8，構造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經過教師的啟發誘導，讓學生發現折紙過程中蘊含的數學元素.學生通過計算會發現盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學生出乎“意料之外”的結果！但通過學生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進一步強調，數學中的許多結果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學生結果，讓學生自己作圖，自己發現這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學生親自動手體驗，發現數學智慧的美妙，欣賞數學的美妙！同時，教師可以讓學生課外尋找體現數學智慧美妙的例子，共同建設一個美妙的數學花園，共同欣賞數學的美妙！

學生也會發現，在看不見數學的地方竟然也用上了數學，它具有不可思議的有效性.這種數學智慧，也體現了一種美麗的創新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數學，萬古也長如夜.數學的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數學，但又看不見數學.因為許多數學的運算和結果已經變成固定的工程標準和程序.

3進一步的思考

教師需要充分挖掘數學美妙智慧的素材，并在教學中緊密聯系教材或選擇符合學生認知水平的例子來展示數學智慧的美妙，讓學生震撼：數學真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數學的這種美妙的智慧能充分調動學生學習數學的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當好處的平衡……”.學生學習數學的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學生感受到造物主安排之巧妙，數學家創造數學之深邃，數學學習領悟之歡快.

數學是美妙的，數學的智慧是美妙的！教師需要有一雙數學的慧眼，打開學生的視野，帶領學生發現、品味、欣賞數學的美妙！杜甫詩云：“會當凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數學的本真品味，才能全面提升學生的數學素質.

參考文獻

[1]張奠宙、趙小平.會做數學，也要會欣賞數學[J].數學教學，2008（8）.

[2]張奠宙.談課堂教學中如何進行數學欣賞[J].中學數學月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學科教學（數學）專業碩士研究生，師從張維忠教授.endprint

數學是一種文化，是人做出來的，數學教育要恢復其本來面貌，揭示其人文背景，讓學生親近數學，喜歡數學，欣賞數學[1].讓學生欣賞數學是數學新課程改革的出發點之一，要讓學生學會欣賞數學，培養學生的內驅力、數學能力和數學文化素養，讓學生了解數學的源與流，體會數學的真善美.而數學的美，不僅體現在美觀，更在于“美妙”.數學中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學設計，讓學生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數學元素，讓學生在活動中欣賞數學智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術，在日本得到發展形成一種文化，并走向了世界.20世紀50年代，折紙藝術在西方引起轟動，“現代折紙藝術之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發這次“折紙潮”.他創立了國際折紙研究會，并于20世紀60年代成為折紙藝術和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當今，折紙不僅僅是一種藝術形式，它在科學上也有廣泛的應用.例如，汽車安全氣囊的設計、降落傘的折疊等等.

折紙在數學課堂的使用已經并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現許多理想的學習成果.例如，折紙幫助學生實現空間可視化和更好的交流；幫助學生發現數學不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當的折紙模型（像盒子）可以幫助學生探索重要的數學觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創建我們自己的教具，使學習具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術品，這個藝術方面特點可以幫助教師激發學生發現數學具有的美學價值.

2課堂構想——折紙盒子過程

教學流程

（1）課堂導入

（2）提出問題

現在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關系呢？

（3）實驗活動

引導學生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現在已經把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標記折痕.標記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側面.這四個側面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側面重復步驟7和8.紙盒的模型應該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結論

引導學生討論結果.現在假設構建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導學生使用基本的歐幾里得幾何構造和構造的盒子得出以下結論：盒子正方形底部的長度=x8，構造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經過教師的啟發誘導，讓學生發現折紙過程中蘊含的數學元素.學生通過計算會發現盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學生出乎“意料之外”的結果！但通過學生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進一步強調，數學中的許多結果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學生結果，讓學生自己作圖，自己發現這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學生親自動手體驗，發現數學智慧的美妙，欣賞數學的美妙！同時，教師可以讓學生課外尋找體現數學智慧美妙的例子，共同建設一個美妙的數學花園，共同欣賞數學的美妙！

學生也會發現，在看不見數學的地方竟然也用上了數學，它具有不可思議的有效性.這種數學智慧，也體現了一種美麗的創新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數學，萬古也長如夜.數學的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數學，但又看不見數學.因為許多數學的運算和結果已經變成固定的工程標準和程序.

3進一步的思考

教師需要充分挖掘數學美妙智慧的素材，并在教學中緊密聯系教材或選擇符合學生認知水平的例子來展示數學智慧的美妙，讓學生震撼：數學真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數學的這種美妙的智慧能充分調動學生學習數學的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當好處的平衡……”.學生學習數學的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學生感受到造物主安排之巧妙，數學家創造數學之深邃，數學學習領悟之歡快.

數學是美妙的，數學的智慧是美妙的！教師需要有一雙數學的慧眼，打開學生的視野，帶領學生發現、品味、欣賞數學的美妙！杜甫詩云：“會當凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數學的本真品味，才能全面提升學生的數學素質.

參考文獻

[1]張奠宙、趙小平.會做數學，也要會欣賞數學[J].數學教學，2008（8）.

[2]張奠宙.談課堂教學中如何進行數學欣賞[J].中學數學月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學科教學（數學）專業碩士研究生，師從張維忠教授.endprint

數學是一種文化，是人做出來的，數學教育要恢復其本來面貌，揭示其人文背景，讓學生親近數學，喜歡數學，欣賞數學[1].讓學生欣賞數學是數學新課程改革的出發點之一，要讓學生學會欣賞數學，培養學生的內驅力、數學能力和數學文化素養，讓學生了解數學的源與流，體會數學的真善美.而數學的美，不僅體現在美觀，更在于“美妙”.數學中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學設計，讓學生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數學元素，讓學生在活動中欣賞數學智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術，在日本得到發展形成一種文化，并走向了世界.20世紀50年代，折紙藝術在西方引起轟動，“現代折紙藝術之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發這次“折紙潮”.他創立了國際折紙研究會，并于20世紀60年代成為折紙藝術和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當今，折紙不僅僅是一種藝術形式，它在科學上也有廣泛的應用.例如，汽車安全氣囊的設計、降落傘的折疊等等.

折紙在數學課堂的使用已經并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現許多理想的學習成果.例如，折紙幫助學生實現空間可視化和更好的交流；幫助學生發現數學不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當的折紙模型（像盒子）可以幫助學生探索重要的數學觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創建我們自己的教具，使學習具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術品，這個藝術方面特點可以幫助教師激發學生發現數學具有的美學價值.

2課堂構想——折紙盒子過程

教學流程

（1）課堂導入

（2）提出問題

現在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關系呢？

（3）實驗活動

引導學生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現在已經把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標記折痕.標記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側面.這四個側面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側面重復步驟7和8.紙盒的模型應該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結論

引導學生討論結果.現在假設構建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導學生使用基本的歐幾里得幾何構造和構造的盒子得出以下結論：盒子正方形底部的長度=x8，構造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經過教師的啟發誘導，讓學生發現折紙過程中蘊含的數學元素.學生通過計算會發現盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學生出乎“意料之外”的結果！但通過學生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進一步強調，數學中的許多結果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學生結果，讓學生自己作圖，自己發現這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學生親自動手體驗，發現數學智慧的美妙，欣賞數學的美妙！同時，教師可以讓學生課外尋找體現數學智慧美妙的例子，共同建設一個美妙的數學花園，共同欣賞數學的美妙！

學生也會發現，在看不見數學的地方竟然也用上了數學，它具有不可思議的有效性.這種數學智慧，也體現了一種美麗的創新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數學，萬古也長如夜.數學的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數學，但又看不見數學.因為許多數學的運算和結果已經變成固定的工程標準和程序.

3進一步的思考

教師需要充分挖掘數學美妙智慧的素材，并在教學中緊密聯系教材或選擇符合學生認知水平的例子來展示數學智慧的美妙，讓學生震撼：數學真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數學的這種美妙的智慧能充分調動學生學習數學的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當好處的平衡……”.學生學習數學的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學生感受到造物主安排之巧妙，數學家創造數學之深邃，數學學習領悟之歡快.

數學是美妙的，數學的智慧是美妙的！教師需要有一雙數學的慧眼，打開學生的視野，帶領學生發現、品味、欣賞數學的美妙！杜甫詩云：“會當凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數學的本真品味，才能全面提升學生的數學素質.

參考文獻

[1]張奠宙、趙小平.會做數學，也要會欣賞數學[J].數學教學，2008（8）.

[2]張奠宙.談課堂教學中如何進行數學欣賞[J].中學數學月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學科教學（數學）專業碩士研究生，師從張維忠教授.endprint