從世界杯足球賽說起

張宇清+田獻增

2014年巴西世界杯足球賽點燃了大眾對足球的熱情，茶余飯后人們都在關注世界杯，關注每一個精彩的射門.用數學的觀點審視，足球的射門十分講究角度，雖然角度越大，射中率越高，但角度太正，射出的球卻毫無威脅，會被門將輕松“沒收”.要想攻破門將的“十指關”，射門的角度必須“刁鉆”.2014年淄博市的中考數學，就為數萬名考生奉獻了一道和射門角度有關的“壓軸”大餐.本題一是在通過熱點問題考察學生綜合運用數學的核心知識（平面直角坐標系、圓周角定理、圓的切線的性質、垂徑定理、三角形外角定理、勾股定理、相似三角形、解直角三角形、三角函數、方程等）分析問題、解決問題的同時，還借助動態情境考察學生的分類思想、方程思想、模型思想以及重要的數學方法——構造法.二是從選拔學生的角度看，具有很高的區分度.從某種意義上講，這道題還為初高中銜接教學提供了一個經典的范例.是近幾年難得一見的好題之一.

1原題呈現

如圖1，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點.

（1）使∠APB=30°的點P有個；

（2）若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標；

（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由；若沒有，也請說明理由.

2試題分析

題目本身并未提到足球，但看到原題，我首先想到的卻是足球射門，如果我們約定在球場所在平面進行研究，把線段AB看成是足球門的話，點P則代表足球運動員，第（1）問就是問球場內使得入射角度∠APB=30°的點P有多少個？第（2）問就是運動員沿著y軸帶球，求使得入射角度∠APB=30°的點P的坐標，第（3）問則看成運動員沿著y軸帶球，何時入射角度最大？這樣，我們就可以構造輔助圓來解題.要構造出30°的圓周角，我們可以利用定理“同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半”，通過構造60°的圓心角來完成.有了輔助圓，問題就會迎刃而解.第一問利用定理“同弧或等弧所對的圓周角相等”，不難發現有無數個點P使∠APB=30°；第二問就是求輔助圓與y軸的交點；第三問則要重新構造一個與y軸相切的輔助圓，切點就是所求點P.

3試題解答

解法1（1）無數個.

（2）如圖2，以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，則點C的坐標為（3，23），以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P1，P2，此時∠AP1B=∠AP2B=30°，⊙C的半徑為4，過點C作y的垂線CD，垂足為D，因為CP2=4，CD=3，所以DP2=42-32=7.所以P2（0，23-7），P1（0，23+7）.

同理，當P點在y軸負半軸上時，可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.

（3）當過點A，B的⊙D與y軸相切于點P時，∠APB最大.如圖3，⊙D的半徑為3，

連接DA，作DE垂直于x軸，垂足為E，得DE=DA2-AE2=32-22=5，所以P（0，5）.

當點P在y軸負半軸上時，可得P（0，-5）.

理由：在y軸正半軸上任取一點M（不與點P重合），連接MA，MB，MB交⊙D于點N，連接NA，則∠APB=∠ANB，因為∠ANB是△AMN的外角，所以∠ANB>∠AMB，所以∠APB>∠AMB.若點P在y軸的負半軸上，同理可證得∠APB>∠AMB.

對于（2）、（3）下面給出解法2（2）如圖4，過點A作PB的垂線，垂足為C，設OP=b，在Rt△AOP和Rt△BOP中，由勾股定理可得：PA=OP2+OA2=b2+1，

PB=OP2+OB2=b2+25，

在Rt△APC中，∠APC=30°，所以AC=12b2+1，由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，

即12b2+14=bb2+25，整理得b4-38b2+25=0.

解得b2=19±421，所以b=23±7，

所以P1（0，23+7），P2（0，23-7）.

由對稱性可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.

（3）只需把第（2）問中的“∠APC=30°”換成“∠APC=α的值”0°<α<90°，

由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，

所以AC=AB·POPB=4bb2+25.

因為sinα=ACAB=4bb2+25b2+1=4bb2+25b2+1

=4bb4+26b2+25=4b2+26+25b2=

4b-5b2+36≤46=23，當b-5b2=0，即當b=±5時，因為0°<α<90°，sinα取得最大值，此時，∠APC=α的值最大.所以P（0，5）或P（0，-5）.

4深入研究

4.1規律探究

其實，足球的入射角度問題，和物體的最大視角問題屬于同一個數學模型.最大視角問題，也稱米勒問題.1471年，德國數學家米勒提出了雕塑問題：假定有一個雕塑高AB=3米，立在一個底座上，底座的高BC=22米，一個人注視著這個雕塑并朝它走去，這個人的水平視線離地17米，問此人應站在離雕塑底座多遠處，才能使看雕塑的效果最好，所謂看雕塑的效果最好是指看雕塑的視角最大，問題轉化為在水平視線EF上求使視角最大的點.在米勒的家鄉哥尼斯堡，該問題又被稱作雷奇奧莫塔努斯極大值問題，最終都是由當時的另一位數學家羅斯（Ad·Lorsch）用幾何方法（輔助圓）解決的.他根據直線和圓的位置關系，分析發現：圖5如圖5：過A、B兩點，作一圓與EF相切于點M，此時視角最大.要求EM的長，可以轉化為求弦的弦心距.根據圖中的數據可以求得該圓的半徑是2米，然后根據勾股定理即可求解.數學家羅斯（Ad·Lorsch）的解法，就是我們的解法1.endprint