由一道中考試題引出的幾個優美性質及其應用

張樹芳+張寧

1試題及解答

如圖1，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個優美性質

性質1如圖2，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，連接OD、OE、DE.則

3應用例舉

利用以上性質，可簡解同類中考試題或競賽試題.

例1（2013年四川省綿陽市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；

（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因為△DEF是由△BEF沿EF對折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因為點D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因為∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設點E的坐標為（a，2），點F的坐標為（4，b）.由性質2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點E的坐標為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點F的坐標為（4，34），所以k=4×34=3.

點評本題主要考查反比例函數的性質、對稱變換的性質及相似三角形的判定和性質.作為一道中考試題，學生解題時可根據“點E是AB的中點”求出點E的坐標，然后利用反比例函數的性質得出點F的坐標.對于問題（2），可利用反比例函數的性質得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質求出a或b的值.從而確定出點E或點F的坐標，最后根據點E或點F的坐標確定k的值.這里利用性質2和性質3來求解，只想借此說明這幾條性質有一定的用處，這兩條性質雖然不要求學生能夠理解并運用它解決問題，但作為一線教師，應當知道并理解這幾條性質的實質.

圖6例2（2013年河南?。┤鐖D6，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE.

（1）求k的值及點E的坐標；

（2）若點F是邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，由性質3知，點E是AB的中點.

因為點B的坐標為（2，3），所以點E的坐標為（2，32）.因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過點E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡介張樹芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學二級教師，主要從事初等數學研究，自參加工作以來一直從事畢業班數學教學工作，有多名學生在全國初中數學競賽中取得優異的成績。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽人，中學一級教師，主要從事中考數學、競賽數學和幾何不等式研究。endprint

1試題及解答

如圖1，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個優美性質

性質1如圖2，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，連接OD、OE、DE.則

3應用例舉

利用以上性質，可簡解同類中考試題或競賽試題.

例1（2013年四川省綿陽市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；

（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因為△DEF是由△BEF沿EF對折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因為點D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因為∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設點E的坐標為（a，2），點F的坐標為（4，b）.由性質2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點E的坐標為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點F的坐標為（4，34），所以k=4×34=3.

點評本題主要考查反比例函數的性質、對稱變換的性質及相似三角形的判定和性質.作為一道中考試題，學生解題時可根據“點E是AB的中點”求出點E的坐標，然后利用反比例函數的性質得出點F的坐標.對于問題（2），可利用反比例函數的性質得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質求出a或b的值.從而確定出點E或點F的坐標，最后根據點E或點F的坐標確定k的值.這里利用性質2和性質3來求解，只想借此說明這幾條性質有一定的用處，這兩條性質雖然不要求學生能夠理解并運用它解決問題，但作為一線教師，應當知道并理解這幾條性質的實質.

圖6例2（2013年河南?。┤鐖D6，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE.

（1）求k的值及點E的坐標；

（2）若點F是邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，由性質3知，點E是AB的中點.

因為點B的坐標為（2，3），所以點E的坐標為（2，32）.因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過點E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡介張樹芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學二級教師，主要從事初等數學研究，自參加工作以來一直從事畢業班數學教學工作，有多名學生在全國初中數學競賽中取得優異的成績。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽人，中學一級教師，主要從事中考數學、競賽數學和幾何不等式研究。endprint

1試題及解答

如圖1，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）.

2由試題引出的幾個優美性質

性質1如圖2，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC交于點D、E，連接OD、OE、DE.則

3應用例舉

利用以上性質，可簡解同類中考試題或競賽試題.

例1（2013年四川省綿陽市）如圖5，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=kx（k>0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；

（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

圖5解析（1）略.

（2）證明：因為△DEF是由△BEF沿EF對折得到的，所以∠EDF=∠EBF=90°.因為點D在直線OC上，所以∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°.又因為∠GDE+∠GED=90°，所以∠CDF=∠GED.所以△EGD∽△DCF；設點E的坐標為（a，2），點F的坐標為（4，b）.由性質2知，AEAB=CFCB=a4=b2，所以k=2a=4b.所以點E的坐標為（2b，2）.所以AE=2b，DE=BE=4-2b，CF=b，DF=BF=2-b.所以DC=DF2-CF2=21-b.由△EGD∽△DCF知，DCDF=EGED，所以21-b2-b=24-2b，解得，b=34.所以點F的坐標為（4，34），所以k=4×34=3.

點評本題主要考查反比例函數的性質、對稱變換的性質及相似三角形的判定和性質.作為一道中考試題，學生解題時可根據“點E是AB的中點”求出點E的坐標，然后利用反比例函數的性質得出點F的坐標.對于問題（2），可利用反比例函數的性質得出k=2a=4b，然后借助于相似三角形的性質求出a或b的值.從而確定出點E或點F的坐標，最后根據點E或點F的坐標確定k的值.這里利用性質2和性質3來求解，只想借此說明這幾條性質有一定的用處，這兩條性質雖然不要求學生能夠理解并運用它解決問題，但作為一線教師，應當知道并理解這幾條性質的實質.

圖6例2（2013年河南?。┤鐖D6，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）.雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE.

（1）求k的值及點E的坐標；

（2）若點F是邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式.

解析（1）因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過BC的中點D，由性質3知，點E是AB的中點.

因為點B的坐標為（2，3），所以點E的坐標為（2，32）.因為雙曲線y=kx（k>0）的圖像經過點E，所以k=2×32=3.

（2）由（1）知，BD=1，BE=32，BC=2.

作者簡介張樹芳，女，1986年生，寧夏海原人，中學二級教師，主要從事初等數學研究，自參加工作以來一直從事畢業班數學教學工作，有多名學生在全國初中數學競賽中取得優異的成績。張寧，男，1979年生，寧夏彭陽人，中學一級教師，主要從事中考數學、競賽數學和幾何不等式研究。endprint