有關“認識不等式”若干問題問答

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）倡導旨在培養學生智慧的“過程教育”——關注數學結果的形成、應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后反思的過程.但調研發現大多數教師的課堂教學不符合“過程教育”要求.基于“過程教育”的浙教版課標教材八年級上冊“31認識不等式”的教學應該怎樣操作？本文以問答的形式呈現這節課的幾個節點問題及參考答案，供讀者參考、研究.

問：數學結果是課程內容的主要組成部分.這節課涉及哪些數學結果？其研究背景及地位與作用分別是什么？

答：數學結果包括數學中的事實、概念、性質、定理、公式、法則、規律、方法、問題與結論等.根據數學結果的含義，從不等式的概念體系中可以析出其涉及的數學結果有：生活中的不等關系及蘊含的生活常識；描述不等關系的三種語言，不等式的概念（包括名稱、定義、屬性、示例）及定義不等式的基本步驟；列不等式的方法，簡單不等式在數軸上的表示方法；用不等式解決有代表性的問題.其邏輯關系可用圖1表示.圖1不等式是在認識代數式、一次方程等知識的基礎上提出來的；它是刻畫現實世界數量不等關系的重要數學模型；盡管不等式是在小學階段初步認識基礎上的再認識，但小學階段對不等式的認識比較膚淺，有進一步認識的必要.“認識不等式”是系統認識不等式的起點；其涉及的表示數量不等關系的三種語言之間的相互轉化的技能是進一步認識不等式的基本技能；具體到抽象和特殊到一般的研究方法對認識數學有指導作用.

問：數學結果的形成、應用的過程和蘊含的數學思想方法也是課程內容的有機組成部分.這節課的認知過程和認知條件分別是什么？其認知價值及認知障礙分別有哪些？

答：認知過程是指獲得有關數學結果（或解決問題）的步驟.認知條件是指認知所需要的必要條件（學習中不可缺少的條件——學習新知識必須具有的先決條件）和支持性條件（對學習起“催化劑”作用的條件——數學認知策略、數學思想方法、數學活動經驗、態度等）.認知價值是指認知過程和蘊含的數學思想方法對發展學生智力、能力和個性的影響.認知障礙是指學生在認知過程中可能會遇到的困難.例如，運用學習任務分析理論，獲得不等式概念的認知過程和認知條件的分析結果可用圖2表示.圖2從圖2可以看出：獲得不等式概念的基本步驟是：①從“現實情境”中抽象出若干具體不等式；②觀察具體不等式的特征；③歸納不等式的本質特征；④用文字和符號定義不等式.獲得不等式概念的必要條件是：具有產生不等式所需要的生活常識和數學常識，具有列式的經驗.獲得不等式概念的支持性條件是：多角度觀察研究對象特征的經驗，特殊到一般的歸納思想，定義研究對象的經驗.盡管不等式可以看成是來自生活現實的數學抽象，也可以看成是數學自身邏輯的產物，但從文字、符號、圖形表示不等關系情境中產生不等式能反映描述數量不等關系有三種方式.類似地分析獲得其他數學結果的認知過程和認知條件，可以析出“認識不等式”的認知價值有：從“現實情境”中抽象出具體不等式的過程、定義不等式的過程、表示數量不等關系的三種語言之間的相互轉化的過程、用獲得的數學結果解決有代表性問題的過程等，有能力發展點、個性和創新精神培養點；其蘊含的生活常識、轉化思想、符號表示思想、歸納思想、數形結合思想、演繹思想等對發展學生的智力有積極的影響.盡管學生有將生活問題轉化為數學問題的經歷與經驗，但認識描述不等關系有三種語言及三種語言的優缺點可能部分學生會遇到困難；盡管學生有定義研究對象的經歷與經驗，但感悟定義的步驟及蘊含的數學思想可能部分學生會遇到困難；盡管學生有列式的經歷與經驗，但認識不等號的意義（特別是關鍵性詞語的含義）可能部分學生會遇到困難；盡管學生有在數軸上表示數的經歷與經驗，但在數軸上表示簡單不等式可能部分學生會遇到困難；盡管學生有用獲得的數學結果解決問題的經歷與經驗，但感悟用獲得的數學結果解決問題的策略、方法和技巧等可能部分學生會遇到困難.

問：學習結果是教學目標的基本成分.這節課涉及哪些學習結果？

答：依據《課標（2011年版）》倡導的學習結果分類理論，從涉及數學結果的邏輯結構和獲得數學結果的認知結構中可以析出其“結果性”學習成果有：事實性知識——不等式的名稱，表示不等式的符號；概念性知識——不等式的概念；程序性知識——列不等式的方法，定義不等式的步驟，用數軸表示不等式的方法；元認知知識——研究不等式采用的特殊到一般和具體到抽象的思維策略，產生不等式蘊含的抽象思想或演繹思想，定義不等式蘊含的歸納思想，文字語言轉化為符號語言蘊含的符號表示思想，用數軸表示不等式蘊含的數形結合思想，用獲得的數學結果解決有代表性問題蘊含的演繹思想等.知識技能——能在具體情境中識別不等式，會根據題意列出不等式，會在數軸上表示簡單的不等式；理解概念——能陳述不等號的意義，能知道將文字語言或圖形語言轉化為符號語言是滿足運算的需要，能知道將文字語言或符號語言轉化為圖形語言是滿足直觀解釋的需要；運用規則——會運用列不等式的方法和用數軸表示不等式的方法解決有代表性的問題；解決問題——能在探索不等式的數軸表示中生成用數軸表示不等式的方法.其“過程性”學習成果可能有：在經歷產生并感悟不等式過程中的個性化體驗；在參與定義不等式活動中的個性化表現；在探索不等式的數軸表示中的個性化想法；在參與嘗試知識應用活動中的個性化表現；在獲得數學結果之后的反思過程中的個性化體驗及對學習不等式意義的感觸等.

問：教學結構是實現教學目標的通道.這節課應構建怎樣的教學結構？

答：一定的教學結構反映了一定的教學思想，基于“過程教育”的教學結構應當是邏輯連貫的，并且要符合數學的發展規律、學生學習數學的認知規律和教育的規律.按這個觀點，這節課的教學結構可用圖3表示.圖3這是一個以數學知識發生發展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數學活動過程.這個“簡單、自然、動態、和諧”的教學結構，能使學生經歷完整的數學思考過程，對促進學生認知與情感的變化與發展有積極的影響.endprint

問：依據“過程教育“，“經歷產生并感悟不等式的過程”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生獨立用符號來表示下列數量關系.

（1）PM25是指大氣中直徑小于或等于25微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.設某種可入肺顆粒物的直徑為a微米，怎樣用符號來表示a與25之間的關系？

（2）汽車在低速或超速下行駛，排出的有害廢氣會遠遠大于正常行駛的車輛.圖4是高速公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行駛的速度不得低于60km/h.設汽車的速度為v（km/h），怎樣用符號來表示v與60之間的關系？

（3）據科學家測定，太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t（℃），怎樣用符號來表示t與6000之間的關系？

（4）如圖5，a是數軸上的一點，怎樣用符號來表示a的取值范圍？

（5）如果代數式x+5x-3有意義，怎樣用符號來表示x的取值范圍？

（6）如圖6，在Rt△ACB中，∠C=90°，怎樣用符號來表示圖中角與角之間的數量關系和邊與邊之間的數量關系？請你給出盡可能多的結果！

其次，教師組織學生進行匯報交流，同時教師進行必要的激勵與評價.

第三，教師引導學生反思：表示數量不等關系有幾種方式？為何要將文字語言、圖形語言轉化為符號語言？你對這類數量不等關系式有何感觸？接下來，教師在學生合作研討的基礎上進行總結性講解.

以前我們遇到的大多是量與量之間的相等關系，但在現實生活或在數學中還存在量與量之間的不等關系，并且現實生活中遇到的大多是量與量之間的不等關系.描述數量不等關系有三種語言：文字語言、符號語言、圖形語言.盡管文字語言比較通俗，但文字語言不能參與運算；盡管符號語言可以參與運算，但符號語言比較抽象；盡管圖形語言也不能參與運算，但圖形語言比較直觀.在數學中經常要進行三種語言之間的轉化，特別是將文字語言、圖形語言轉化為符號語言以滿足運算的需要，有時也要將符號語言轉化為圖形語言以滿足直觀解釋的需要.這節課主要學習數量不等關系的表示及其相互之間的轉化.（揭示課題）

解析：盡管不等式可以看成是來源于生活世界，也可以看成是數學自身邏輯的產物，但從文字、符號、圖形表示數量不等關系的情境中來產生不等式能反映描述數量不等關系有三種語言.這個經歷性數學活動的內容不僅包括具體不等式，也包括有價值的生活常識和數學常識及列不等式的方法；教學采用了教師價值引導下的學生獨立學習基礎上的匯報交流和匯報交流基礎上的教師總結性講解的方法——既有認知過程前半段：創設有價值的情境、經歷列不等式的過程、交流與評價所列的不等式，以產生符合題意的不等式；也有認知過程后半段：產生具體不等式之后的反思，以滿足學生感悟數量不等關系的現實存在性、描述數量不等關系有三種語言及三種語言之間需要相互轉化.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能建立新舊知識之間的內在聯系和激發學生的學習興趣，并對發展學生列不等式的技能和養成獨立學習基礎上合作交流的學習習慣有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與定義不等式的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師引導學生觀察并歸納數學關系式“a≤25，t≥6000，x≠3，∠A<90°，AB>AC”的共同特征.

其次，教師在學生歸納上述數學關系式的共同特征的基礎上給出不等式的定義：像“a≤25、t≥6000、x≠3、∠A<90°、AB>AC”，用符號“≤”、“≥”、“≠”、“<”、“>”連接而成的數學式子，叫做不等式.這些用來連接的符號統稱不等號.

第三，教師引導學生反思：定義不等式的基本步驟是什么？接下來，教師在學生合作研討的基礎上進行總結性講解.

定義不等式的基本步驟：

①在“現實情境”中抽象出具體的不等式；

②觀察并歸納具體不等式的共同特征；

③用文字和符號定義不等式.

在這個過程中蘊涵的數學思想有：轉化思想、歸納思想、符號表示思想等.

解析：盡管不等式概念的教學要求是了解，但教材對不等式概念的定位從小學“白描”層次上升到了“歸納”層次，并且定義不等式的步驟對以后學習其他研究對象有指導作用.這個參與式數學活動的內容不僅包括不等式的概念，也包括定義不等式的步驟和蘊含的數學思想；教學采用了教師價值引導下的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：觀察具體不等式的特征，歸納具體不等式的共同特征，用文字和符號定義不等式，以形成不等式的概念；也有認知過程后半段：獲得不等式概念之后的反思，以感悟定義不等式的步驟及蘊含的歸納思想及進一步需要研究的問題.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷獲得不等式概念的思維“站點”，并對發展學生的觀察與歸納能力及反思意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“探索不等式的數軸表示”的教學怎樣操作？

答：首先，教師提出引導性問題：不等式y>3的含義是什么？你能給出盡可能多的滿足這個不等式的一些數嗎？這些數在數軸上的對應點大致在哪里？教師在學生自主實踐與陳述的基礎上借助圖7進行講解與示范.

其次，教師提出探究性問題：有時要將符號語言轉化為圖形語言以作出直觀解釋，例如，在數軸上怎樣表示不等式y>3？并在學生合作嘗試表示的基礎上進行示范并解釋：在數軸上可用如圖8所示的方式來表示y>3.

第三，教師進行總結性講解：一般地，x

解析：用數軸來表示不等式體現了數形結合思想，它也是不等式領域中的基本技能.這個探索性數學活動的內容不僅包括在數軸上表示具體的不等式，也包括在數軸上表示簡單不等式的過程和蘊含的數學思想；教學采用了教師價值引導與學生自主建構相結合的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：引導學生探索不等式的數軸表示，以積累用數軸來表示簡單不等式的經驗；也有認知過程后半段：獲得用數軸表示簡單不等式之后的總結性講解，以掌握用數軸表示簡單不等式的方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷獲得用數軸表示簡單不等式方法的實質性思維過程，并對學生感悟數形結合思想、發展在數軸上表示不等式的技能、養成合作研討的學習方式及增強反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與根據數量關系列不等式的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生分別用符號來表示下列數量關系.

（1）y的2倍與6的和比1小.

（2）x2減去10不大于10.

（3）a，b，c為一個三角形的三條邊長，兩邊之和大于第三邊.

（4）y的2倍不小于1與y的和.

（5）a與b的差的平方是非負數.

其次，教師組織學生交互反饋，同時教師進行激勵與評價.

第三，教師引導學生反思：根據數量關系列不等式的關鍵是什么？

教師在組織學生合作研討的基礎上進行列表總結（如表1）：

關鍵詞大于小于不大于不小于超過低于不超過不低于比…大比…小至多至少非負數不等號><≤≥≥0解析：根據數量關系列不等式是不等式領域中的基本技能，其關鍵是要理解問題中涉及的關鍵詞的含義（或不等號的意義）.這個探索性數學活動的內容不僅包括列具體的不等式，也包括根據數量關系列不等式的關鍵；教學采用了有代表性問題引導下的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：根據數量關系列不等式，以發展列不等式的技能；也有認知過程后半段：解決問題之后的反思，以明確涉及關鍵詞的含義.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷列不等式的實質性思維過程，并對學生理解不等號含義、發展列不等式技能和培養學生合作交流習慣及反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與嘗試知識與技能應用的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生合作解答下列問題.

（1）判斷：下列數學關系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分別用適當的不等號來填下列各題中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，則-x-y.

（3）列不等式：分別用符號來表示下列數量關系.

①x的4倍小于3；②y減去1不大于2；③x的2倍與1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在數軸上表示不等式：分別在數軸上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教師引導學生反思：

（1）判斷數學關系式是不是不等式的依據是什么？

（2）列不等式體現了什么思想？

（3）用數軸表示不等式的過程中體現了什么思想？

第三，教師引導學生解決問題：一座小水電站的水庫水位在12～20m（包括12m，20m）時，發電機能正常工作.設水庫水位為x（m）.

（1）怎樣用不等式表示發電機正常工作的水位范圍？把它表示在數軸上.

（2）當水位在下列位置時，發電機能正常工作嗎？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教師在組織學生合作解答的基礎上追問：解題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

解析：用獲得的數學結果解決具體問題是整節課認知過程的后半段，這節課的智慧技能主要是：“知識技能”、“運用規則”.這個參與式數學活動的內容不僅包括解決具體問題，也包括解決問題的過程和蘊含的解題依據和解題的策略、方法及技巧.教學采用了教師價值引導下的學生合作解答基礎上的教師反思性追問的方法——既有認知過程前半段：引導學生經歷獨立學習基礎上的交流與評價的過程，以進一步發展三種語言之間的轉化技能；也有認知過程后半段：合作解答之后的反思性追問，以進一步明確蘊含的思想方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能進一步發展學生的辨別能力、三種語言之間的轉化技能，并對培養學生良好的學習習慣和反思意識有積極的影響.

以上幾個問題雖不十分系統，回答可能也不全面.但對改變當前“只教不研”的現象和幫助教師認識與實踐“過程教育”有積極作用，對發展教師的實踐性智慧也有積極影響.

作者簡介鄔云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中學高級教師，浙江省數學特級教師，從事數學教育教學研究.endprint

解析：用數軸來表示不等式體現了數形結合思想，它也是不等式領域中的基本技能.這個探索性數學活動的內容不僅包括在數軸上表示具體的不等式，也包括在數軸上表示簡單不等式的過程和蘊含的數學思想；教學采用了教師價值引導與學生自主建構相結合的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：引導學生探索不等式的數軸表示，以積累用數軸來表示簡單不等式的經驗；也有認知過程后半段：獲得用數軸表示簡單不等式之后的總結性講解，以掌握用數軸表示簡單不等式的方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷獲得用數軸表示簡單不等式方法的實質性思維過程，并對學生感悟數形結合思想、發展在數軸上表示不等式的技能、養成合作研討的學習方式及增強反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與根據數量關系列不等式的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生分別用符號來表示下列數量關系.

（1）y的2倍與6的和比1小.

（2）x2減去10不大于10.

（3）a，b，c為一個三角形的三條邊長，兩邊之和大于第三邊.

（4）y的2倍不小于1與y的和.

（5）a與b的差的平方是非負數.

其次，教師組織學生交互反饋，同時教師進行激勵與評價.

第三，教師引導學生反思：根據數量關系列不等式的關鍵是什么？

教師在組織學生合作研討的基礎上進行列表總結（如表1）：

關鍵詞大于小于不大于不小于超過低于不超過不低于比…大比…小至多至少非負數不等號><≤≥≥0解析：根據數量關系列不等式是不等式領域中的基本技能，其關鍵是要理解問題中涉及的關鍵詞的含義（或不等號的意義）.這個探索性數學活動的內容不僅包括列具體的不等式，也包括根據數量關系列不等式的關鍵；教學采用了有代表性問題引導下的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：根據數量關系列不等式，以發展列不等式的技能；也有認知過程后半段：解決問題之后的反思，以明確涉及關鍵詞的含義.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷列不等式的實質性思維過程，并對學生理解不等號含義、發展列不等式技能和培養學生合作交流習慣及反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與嘗試知識與技能應用的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生合作解答下列問題.

（1）判斷：下列數學關系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分別用適當的不等號來填下列各題中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，則-x-y.

（3）列不等式：分別用符號來表示下列數量關系.

①x的4倍小于3；②y減去1不大于2；③x的2倍與1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在數軸上表示不等式：分別在數軸上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教師引導學生反思：

（1）判斷數學關系式是不是不等式的依據是什么？

（2）列不等式體現了什么思想？

（3）用數軸表示不等式的過程中體現了什么思想？

第三，教師引導學生解決問題：一座小水電站的水庫水位在12～20m（包括12m，20m）時，發電機能正常工作.設水庫水位為x（m）.

（1）怎樣用不等式表示發電機正常工作的水位范圍？把它表示在數軸上.

（2）當水位在下列位置時，發電機能正常工作嗎？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教師在組織學生合作解答的基礎上追問：解題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

解析：用獲得的數學結果解決具體問題是整節課認知過程的后半段，這節課的智慧技能主要是：“知識技能”、“運用規則”.這個參與式數學活動的內容不僅包括解決具體問題，也包括解決問題的過程和蘊含的解題依據和解題的策略、方法及技巧.教學采用了教師價值引導下的學生合作解答基礎上的教師反思性追問的方法——既有認知過程前半段：引導學生經歷獨立學習基礎上的交流與評價的過程，以進一步發展三種語言之間的轉化技能；也有認知過程后半段：合作解答之后的反思性追問，以進一步明確蘊含的思想方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能進一步發展學生的辨別能力、三種語言之間的轉化技能，并對培養學生良好的學習習慣和反思意識有積極的影響.

以上幾個問題雖不十分系統，回答可能也不全面.但對改變當前“只教不研”的現象和幫助教師認識與實踐“過程教育”有積極作用，對發展教師的實踐性智慧也有積極影響.

作者簡介鄔云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中學高級教師，浙江省數學特級教師，從事數學教育教學研究.endprint

解析：用數軸來表示不等式體現了數形結合思想，它也是不等式領域中的基本技能.這個探索性數學活動的內容不僅包括在數軸上表示具體的不等式，也包括在數軸上表示簡單不等式的過程和蘊含的數學思想；教學采用了教師價值引導與學生自主建構相結合的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：引導學生探索不等式的數軸表示，以積累用數軸來表示簡單不等式的經驗；也有認知過程后半段：獲得用數軸表示簡單不等式之后的總結性講解，以掌握用數軸表示簡單不等式的方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷獲得用數軸表示簡單不等式方法的實質性思維過程，并對學生感悟數形結合思想、發展在數軸上表示不等式的技能、養成合作研討的學習方式及增強反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與根據數量關系列不等式的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生分別用符號來表示下列數量關系.

（1）y的2倍與6的和比1小.

（2）x2減去10不大于10.

（3）a，b，c為一個三角形的三條邊長，兩邊之和大于第三邊.

（4）y的2倍不小于1與y的和.

（5）a與b的差的平方是非負數.

其次，教師組織學生交互反饋，同時教師進行激勵與評價.

第三，教師引導學生反思：根據數量關系列不等式的關鍵是什么？

教師在組織學生合作研討的基礎上進行列表總結（如表1）：

關鍵詞大于小于不大于不小于超過低于不超過不低于比…大比…小至多至少非負數不等號><≤≥≥0解析：根據數量關系列不等式是不等式領域中的基本技能，其關鍵是要理解問題中涉及的關鍵詞的含義（或不等號的意義）.這個探索性數學活動的內容不僅包括列具體的不等式，也包括根據數量關系列不等式的關鍵；教學采用了有代表性問題引導下的先“放”后“收”的適度開放的方法——既有認知過程前半段：根據數量關系列不等式，以發展列不等式的技能；也有認知過程后半段：解決問題之后的反思，以明確涉及關鍵詞的含義.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能使學生經歷列不等式的實質性思維過程，并對學生理解不等號含義、發展列不等式技能和培養學生合作交流習慣及反思的意識有積極的影響.

問：依據“過程教育”，“參與嘗試知識與技能應用的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師要求學生合作解答下列問題.

（1）判斷：下列數學關系式哪些是不等式？

①3>2；②x<2x+1；③3x2+2x；④x=2x-5；⑤a+b≠c.

（2）填空：分別用適當的不等號來填下列各題中空格.

①23；②-8-3；③-a20；④若x≠y，則-x-y.

（3）列不等式：分別用符號來表示下列數量關系.

①x的4倍小于3；②y減去1不大于2；③x的2倍與1的和大于x；④a的一半不小于-7.

（4）在數軸上表示不等式：分別在數軸上表示下列不等式.

①x>-3；②x≥-2；③x<15.

其次，教師引導學生反思：

（1）判斷數學關系式是不是不等式的依據是什么？

（2）列不等式體現了什么思想？

（3）用數軸表示不等式的過程中體現了什么思想？

第三，教師引導學生解決問題：一座小水電站的水庫水位在12～20m（包括12m，20m）時，發電機能正常工作.設水庫水位為x（m）.

（1）怎樣用不等式表示發電機正常工作的水位范圍？把它表示在數軸上.

（2）當水位在下列位置時，發電機能正常工作嗎？

①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.

教師在組織學生合作解答的基礎上追問：解題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

解析：用獲得的數學結果解決具體問題是整節課認知過程的后半段，這節課的智慧技能主要是：“知識技能”、“運用規則”.這個參與式數學活動的內容不僅包括解決具體問題，也包括解決問題的過程和蘊含的解題依據和解題的策略、方法及技巧.教學采用了教師價值引導下的學生合作解答基礎上的教師反思性追問的方法——既有認知過程前半段：引導學生經歷獨立學習基礎上的交流與評價的過程，以進一步發展三種語言之間的轉化技能；也有認知過程后半段：合作解答之后的反思性追問，以進一步明確蘊含的思想方法.這種關注“兩段”的認知過程符合“過程教育”，能進一步發展學生的辨別能力、三種語言之間的轉化技能，并對培養學生良好的學習習慣和反思意識有積極的影響.

以上幾個問題雖不十分系統，回答可能也不全面.但對改變當前“只教不研”的現象和幫助教師認識與實踐“過程教育”有積極作用，對發展教師的實踐性智慧也有積極影響.

作者簡介鄔云德，男，1956年生，浙江奉化市人，中學高級教師，浙江省數學特級教師，從事數學教育教學研究.endprint