初中數學發生教學法的探索與實踐

德國生物學家?？藸枺‥.Haeckel）（1843—1919）在1866年提出了生物發生律，即“個體發育史重蹈種族發展史”.如果將此原理類推于教育將得出：個體知識的發生過程遵循人類知識的發生過程.具體到數學教育，即“個體對數學知識的理解過程遵循數學知識的發生發展過程.”

把歷史作為教學線索，不明確地談論歷史，用歷史來啟示教學，這就是發生教學法.其基本思想是：在學生具備足夠的動機后、在心理發展的適當時候講授某個主題.應當保護和發展學生對未知事物獵奇的天性，積極引導學生經歷知識的發生過程[1].運用發生教學法進行教學，一般遵循以下步驟：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發展過程中的關鍵環節；（3）掌握一個環節發展到下一個環節的原因是什么？遇到的困難和障礙是什么？（4）重構歷史環節，使其適合于課堂教學；（5）設計出一系列由易到難、環環相扣的問題.可以是歷史上的問題，也可以是改編的問題.下以人教版七年級數學第一章“有理數”第一節“正數和負數”為例，介紹發生教學法的具體實施過程.

1全面了解正數和負數的歷史

中國是最早認識和使用負數的國家.戰國時期李悝（約公元前455—前395年）在《法經》中說到“衣五人終歲用千五百不足四百五十”.即：5個人一年開支1500錢，入不敷出，差450錢.“不足”就是負數的概念和記號.約公元一世紀中國的數學專著《九章算術》中記載了“糧食入倉為正，出倉為負；收入的錢為正，付出的錢為負”.同時在解方程組的過程中出現“不夠減”的情形時，給出了“正負術”.公元三世紀，魏晉時期的數學家劉徽對負數給出了很自然的解釋：“兩算得失相反，要令正負以名之.”[2]即：在運算中，遇到具有相反意義的量，不但需要正數，還需要引入負數以作區分.

公元七世紀，印度學者婆羅摩芨多（598—665）在《婆羅摩歷算書》里給出了正數、負數和零的概念，分別被他稱作“財產”、“債務”和“薩雅”.公元十二世紀，印度數學家婆什迎羅（1114—1185）在《算法本源》中，全面討論了負數，把負數叫做“負債”或“損失”.他承認方程x2-45x=250有兩個根：x=50或x=-5，他接著說：“第二個根并不用，因為它是不足的，人們并不支持負根.”

在西方，最早描述負數的是公元三世紀的希臘數學家丟番圖，他在《算術》中稱方程4x+20=4是沒有意義的.在解方程中，若遇到負根，他就放棄這個方程，認為是不可解的.

阿拉伯人吸納了古希臘和古印度的數學理念，發展成為自己的文明，但在負數的認知上卻要比中國和印度人晚得多.公元十世紀阿拉伯學者艾布·瓦發的算術手稿中，在講述一種兩位數乘法的簡捷算法時，引用了負數概念.

在近代西方，意大利的卡丹（1501—1576）在其《大術》中雖然承認方程的負根，但他把正數稱為“真實的數”，而把負數稱為“虛假的數”.法國的韋達（1540—1603）不承認負數，把負數叫做“不合理的數”.英國的沃利斯（1616—1703）在《無窮算術》中盡管承認負數，但他認為負數，這是不可思議的.1637年笛卡爾（1596—1650）在《幾何》中首次研究方程有正負根的條件，并規定了正負號的法則.法國的阿納德（1612—1694）表示：如果-1∶1=1∶（-1），而-1<1，那么一個小的數與一個大的數的比，怎么可能等于一個大的數與一個小的數的比？直到十九世紀，還有一些西方數學家不理解“小于一無所有”的數.

負數地位的最后確立是由德國數學家維爾斯特拉斯（1815—1897）和意大利數學家皮亞諾（1858—1932）完成的.1860年維爾斯特拉斯把有理數定義為整數對，即當m、n為整數時，nm（m≠0）定義為有理數；當m、n中一個為正整數，一個為負整數時，nm就是負有理數.這樣負數就建立在整數的基礎上.40年后，皮亞諾在《算術原理新方法》中用自然數建立了整數：如果a，b是自然數，則“a-b”定義為一個整數.若a>b，“a-b”為正整數；若a

縱觀整個正數和負數的發展歷程，我們知道正數和負數產生的根源是實際生活和算術運算封閉性的需要，這為本節課的情境設計提供了發生依據.同時應該弄清面對實際問題，為什么東方人承認和接受負數比西方人早，這個問題從深處講應該是東西方文化傳統差異的問題，這也是正數和負數發展歷程中的一個關鍵環節.承認和接受了負數后，面臨的問題應該是正數和負數的表示，對零的重新認識.對零的重新認識也許是學習過程中的一個障礙.

2東西方對負數認知的差異性

東方引入負數的目的是為了解決實際或算術中的“出倉”或“不足”等問題.負數僅僅是解決問題的一種工具，而不是作為抽象的數來進行研究的.中國的古代數學家很多是平民百姓，他們有機會接觸實際的商業和貿易過程，對“負債”、“支出”等問題有切實的體會，對他們而言負數是現實生活的原型，并不是抽象的.印度數學受到我國古代數學的影響，在解決實際生活中的經濟和數學問題時，對負數有豐富的認知和發展.中國和印度接受負數和應用負數都比較早.

西方認識負數主要來源于古希臘數學，而古希臘從事數學和哲學研究的人，很少有現實的經濟實踐活動，幾乎沒有負數的實際應用.自亞里斯多德開創了以“三段論”為核心的演繹邏輯以后，一切推理都以形式邏輯作為基礎.西方人認為數是獨特的或絕對的存在物，他們首先看到的是“物”，這在數學中表現為“數”，他們的邏輯是這樣的：1表示有一個，2表示有兩個，……，0表示什么都沒有，“什么都沒有”就已經是最少了，而負數比零還小，也就是說：比“什么都沒有”還少，這怎么可能呢？在認識負數的過程中，由于缺乏幾何原型，直觀上沒有基礎，建立負數的邏輯結構又做不到.由于受古希臘數學影響較大，西方在長達一千多年的時間里不接受負數，直到十三世紀對負數才有一些初步的認識.

可以從東西方的哲學思想和思維方式上來分析這個問題.中國傳統哲學主要是儒家哲學，它講究道德文化，對事物多停留在許多感性和經驗性的認識階段.西方繼承了從古希臘開始的科學與哲學傳統，注重抽象的理性思維與邏輯思維.中國古代數學家對負數的認知和記法是西方國家無法比擬的，相對而言，雖然西方數學家對負數的認識較晚和難以接受，但是沒有放棄對負數的理性研究，最終建立了負數的基礎理論.東西方文化的差異導致了負數不同的發展方向，體現了兩種文化獨特的數學價值取向，這是多元文化給予數學的多樣貢獻.多樣化與一體化的辯證統一也應被看作數學發展的一個基本規律[3].

3正數和負數的表示及與零的關系

公元三世紀，中國魏晉時期數學家劉徽第一次給出了區分正負數的方法.他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數，用黑色的小棍表示負數；有時用正放的小棍代表正數，用斜放的小棍代表負數.十三世紀，數學家李冶在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數.此外，在古算中曾用過很多文字表示負數，如不足、出、賣、付、弱來表示負數.我國最早采用正號“+”、負號“-”是從清末開始的.

公元七世紀，印度學者婆羅摩笈多通過畫小點或小圈來表示負數.十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾第一個提出用減號“-”表示負數.從此，負數符號“-”逐漸得到人們的認識，并沿用至今.

沒有零的符號，就沒有完整的位置制記數法.零的記號，最早在印度出現[4].公元前2500年左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用，當時的0在印度表示空的位置.約在6世紀初，印度開始使用命位記數法.印度人認識到0除了在各數之間起空位作用外，還有它獨立的存在性—0本身被看作是一個數，它表示“沒有”這個量.也就是說，“沒有”這個抽象概念第一次被賦予一個有形的記號0表示.這一步是思維的一個很大的跨越.公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字.

0在中國古代叫做金元數字，我國古代用算籌記數，也采取空位表示零.古書中缺字常用“□”表示，數字里的空位也用“□”表示，以后由于書寫時常用行書，“□”也就容易寫成圓圈了，用“○”表示零.

大約1500年前，歐洲不知道用“0”這個數字.這時，羅馬有一位學者從印度計數法中發現了“0”這個符號.他發現，有了“0”，進行數學運算非常方便，還把印度人使用“0”的方法向人們做了介紹.這件事不久被羅馬教皇知道了，教皇很憤怒，認為神圣的數是上帝創造的，在上帝創造的數里沒有“0”.誰要使用它，誰就是褻瀆上帝！就這樣，“0”被教皇命令禁止了.最后，“0”在歐洲還是被廣泛使用，而羅馬數字卻逐漸被淘汰了.

至此，數學中零有四個功能.首先，零是一個概念，它表示一無所有.其次，在位值記數法中，零表示一個空位，同時起到指示數碼所在位置的作用.再次，零是一個數，可以和其它的數一起參與運算.最后，零是標準的起點或分界.

4根據歷史，重構課堂

教學目標：

1.在實踐中表示相反意義的量及解方程的需要，使學生了解學習正負數的必要性.

2.使學生經歷符號化和數學化的過程，體會負數表示的發生發展過程.

3.感受正、負數和生活的密切聯系，享受創造性學習的樂趣.

教學重點：體會負數的意義，學會用正、負數表示日常生活中具有相反意義的量.

教學難點：體會負數的意義，重新認識零.

教學過程：

4.1創設情境，引入新知

1.師：我們知道，為了表示物體的個數和事物的順序，產生了1，2，3，4，…，這些數，我們把它叫做什么數？

生：自然數.

師：為了表示“沒有”，又引入了一個什么數？

生：自然數0.

師：當分物和測量的結果不是整數時，又引入了什么數？

生：分數（小數）.

師：這些數有多少個？

生：無數個.

師：現在同學們看一個實際情境.

2.課件出示情境：甲、乙兩人在一次商品交易中分別賺100元、虧100元.

師：老師把甲賺100元、乙虧100元表示成這樣，你覺得把事情表達清楚了嗎？

甲100元乙100元生：沒有.

師：也就是說雖然都是100元，但兩個100元表示的實際意義是相反的，它們是一組相反意義的量.

3.課件出示情境：

同學們能用你以前所學的知識來解決下列問題嗎？

（1）王東買筆一共要給15元錢，現在他給了20元錢，應找給他幾元？

（2）王東買筆一共要給15元錢，若王東手上只有10元錢，他能買到想要的筆嗎？為什么？

對上述兩個問題要求列出算式.

學生能夠很快給出這樣的兩個式子：20-15=5，15-10=5

引導學生思考：第一個式子我們是用王東手中的錢數減去筆的總費用，第二個問題我們能不能也按這樣的順序寫出式子呢？試一下，看看結果等于多少？

學生列出式子：10-15，但如何計算卻無法解決，只會說：“不夠減”.

數學相關歷史介紹：

其實這種事情古人也發生過，歷史上很多數學家也曾經被困擾過.

歷史問題：公元三世紀希臘數學家丟番圖在其《算術》中稱方程4x+20=4是沒有意義的.同樣，意大利數學家斐波拉契（1170-1250）在《花朵》中稱：方程x+36=33是沒有根據的，除非第一個人欠債3個錢幣.

顯然都碰到了不夠減的問題.

結合情境（1）和情境（2），賺100元和虧100元，（20-15）和（10-15）那你能用自己的方式把它們區別開嗎？endprint

4.2自主探索，展示過程

1.交流大家的想法.

（1）有學生在數100前加“賺”或“虧”；有學生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學生在100上面加了不同方向的箭頭；有學生加了正負號等.

（2）有學生在10-15=的右邊寫了一個紅色的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個上面加了一個點的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個“5不足”等.

2.介紹人類探索負數的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結果如何表示，在歷史上，數學家們也費了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀，中國魏晉時期數學家劉徽第一次給出了區分正負數的方法.他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數，用黑色的小棍表示負數；有時用正放的小棍代表正數，用斜放的小棍代表負數.用不同的顏色表示正負數，這個習慣一直保留到現在.現在人們一般用紅色表示負數，還有經濟出現赤字，表明收入小于支出.十三世紀，數學家李冶在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數.此外，在古算中曾用過很多文字表示負數，如不足、出、賣、付、弱來表示負數.

公元七世紀，印度學者婆羅摩笈多通過畫小點或小圈來表示負數.十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾在第一個提出用減號“-”表示負數.

師：實際上，為了解決這個問題，歷史上的許多數學家和我們剛才的想法差不多.雖然負數的表示方法各不相同，但是都是為了有區別，尋找新數的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺得哪種寫法最好？

生：用加減號的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對，就是這樣的道理，十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負100元，符號分別叫正號和負號.此時+和-是性質符號，以前的+和-是運算符號.20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數或負數表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數叫做正數，像-3，-18%，-35這樣在正數前加上符號“-”（負）的數叫做負數.有時為了明確表示意義，在正數的前面也加上“+”（正）號.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個數前面的“+”“-”號叫做它的符號.“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負號”.“+”是正號.像“+4”是一個正數，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個負數，讀作：負四.

2.任意寫幾個正數和負數，和同學交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現實生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請學生舉出一些相反意義的量的實例.

教師歸結：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰能說出一個與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學生回答后，再追問：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負號分別表示它們.

5.學生在空白的溫度計上標出這兩個溫度.

師：老師提供的是一個空白的溫度計圖，相鄰的兩個刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標到5攝氏度.

師：在我們設計的溫度計上“+5℃”在哪里？

學生指出+5℃的位置后，老師再問：怎么沒有-5℃呢？

師：也就是說我們剛才標示的溫度中沒有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標示？請重新設計刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結.

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對應刻度的位置關系.最后總結：只有首先規定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數和負數的分界，0℃是一個確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規定為正的，用“+”（讀作正）號來表示，同時把另一種與它相反意義的量規定為負的，用“-”（讀作負）號來表示.

師：例如，如果前進200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負200米），請同學們回答下列問題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數前面的正號可以省略不寫，但負數前面的負號能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個月內，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值.

解：這個月小明體重增加2kg，小華體重增長-1kg，小強體重增長0kg.

隨著對正數負數意義認識的加深，正數和負數在實踐中得到了廣泛應用.在地形圖上表示某地的高度時，需要以海平面為基準（規定海平面的海拔高度為0m），通常用正數表示高于海平面的某地的海拔高度，用負數表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習

南、北為兩個相反方向，如果-30米表示一個物體向南運動30米，那么+12米表示什么？物體原地不動記為什么？

3.總結和作業

總結：（1）引入負數可以簡明的表示具有相反意義的量，同時也可以解決小的數減去大的數的問題.

（2）在表示具有相反意義的量時，把一種意義的量規定為正，可根據實際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界，0的意義已不僅是表示“沒有”.

（4）建立正負數概念后，當考慮一個非零的數時，一定要考慮它的符號.

作業：P5：4，5，6，7.

參考文獻

[1]涂榮豹，寧連華.中學數學經典教學方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.

[2]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.

[3]鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數學文化學[M].成都：四川教育出版社，2001：106.

[4]李迪.中外數學史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.

作者簡介張俊忠，男，1971年生，湖北應城人，華中師范大學教育學院博士研究生，華中師大一附中初中部中學高級教師，主要從事中學數學教育教學研究.endprint

4.2自主探索，展示過程

1.交流大家的想法.

（1）有學生在數100前加“賺”或“虧”；有學生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學生在100上面加了不同方向的箭頭；有學生加了正負號等.

（2）有學生在10-15=的右邊寫了一個紅色的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個上面加了一個點的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個“5不足”等.

2.介紹人類探索負數的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結果如何表示，在歷史上，數學家們也費了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀，中國魏晉時期數學家劉徽第一次給出了區分正負數的方法.他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數，用黑色的小棍表示負數；有時用正放的小棍代表正數，用斜放的小棍代表負數.用不同的顏色表示正負數，這個習慣一直保留到現在.現在人們一般用紅色表示負數，還有經濟出現赤字，表明收入小于支出.十三世紀，數學家李冶在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數.此外，在古算中曾用過很多文字表示負數，如不足、出、賣、付、弱來表示負數.

公元七世紀，印度學者婆羅摩笈多通過畫小點或小圈來表示負數.十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾在第一個提出用減號“-”表示負數.

師：實際上，為了解決這個問題，歷史上的許多數學家和我們剛才的想法差不多.雖然負數的表示方法各不相同，但是都是為了有區別，尋找新數的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺得哪種寫法最好？

生：用加減號的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對，就是這樣的道理，十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負100元，符號分別叫正號和負號.此時+和-是性質符號，以前的+和-是運算符號.20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數或負數表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數叫做正數，像-3，-18%，-35這樣在正數前加上符號“-”（負）的數叫做負數.有時為了明確表示意義，在正數的前面也加上“+”（正）號.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個數前面的“+”“-”號叫做它的符號.“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負號”.“+”是正號.像“+4”是一個正數，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個負數，讀作：負四.

2.任意寫幾個正數和負數，和同學交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現實生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請學生舉出一些相反意義的量的實例.

教師歸結：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰能說出一個與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學生回答后，再追問：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負號分別表示它們.

5.學生在空白的溫度計上標出這兩個溫度.

師：老師提供的是一個空白的溫度計圖，相鄰的兩個刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標到5攝氏度.

師：在我們設計的溫度計上“+5℃”在哪里？

學生指出+5℃的位置后，老師再問：怎么沒有-5℃呢？

師：也就是說我們剛才標示的溫度中沒有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標示？請重新設計刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結.

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對應刻度的位置關系.最后總結：只有首先規定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數和負數的分界，0℃是一個確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規定為正的，用“+”（讀作正）號來表示，同時把另一種與它相反意義的量規定為負的，用“-”（讀作負）號來表示.

師：例如，如果前進200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負200米），請同學們回答下列問題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數前面的正號可以省略不寫，但負數前面的負號能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個月內，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值.

解：這個月小明體重增加2kg，小華體重增長-1kg，小強體重增長0kg.

隨著對正數負數意義認識的加深，正數和負數在實踐中得到了廣泛應用.在地形圖上表示某地的高度時，需要以海平面為基準（規定海平面的海拔高度為0m），通常用正數表示高于海平面的某地的海拔高度，用負數表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習

南、北為兩個相反方向，如果-30米表示一個物體向南運動30米，那么+12米表示什么？物體原地不動記為什么？

3.總結和作業

總結：（1）引入負數可以簡明的表示具有相反意義的量，同時也可以解決小的數減去大的數的問題.

（2）在表示具有相反意義的量時，把一種意義的量規定為正，可根據實際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界，0的意義已不僅是表示“沒有”.

（4）建立正負數概念后，當考慮一個非零的數時，一定要考慮它的符號.

作業：P5：4，5，6，7.

參考文獻

[1]涂榮豹，寧連華.中學數學經典教學方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.

[2]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.

[3]鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數學文化學[M].成都：四川教育出版社，2001：106.

[4]李迪.中外數學史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.

作者簡介張俊忠，男，1971年生，湖北應城人，華中師范大學教育學院博士研究生，華中師大一附中初中部中學高級教師，主要從事中學數學教育教學研究.endprint

4.2自主探索，展示過程

1.交流大家的想法.

（1）有學生在數100前加“賺”或“虧”；有學生用白色100表示賺，用紅色100表示虧；有學生在100上面加了不同方向的箭頭；有學生加了正負號等.

（2）有學生在10-15=的右邊寫了一個紅色的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個上面加了一個點的5；有學生在10-15=的右邊寫了一個“5不足”等.

2.介紹人類探索負數的表示方法

師：相反意義的量怎樣表示和不夠減的結果如何表示，在歷史上，數學家們也費了很多周折，他們想了各種各樣的方法.例如公元三世紀，中國魏晉時期數學家劉徽第一次給出了區分正負數的方法.他說：“正算赤，負算黑；否則以邪正為異”即：用紅色的小棍表示正數，用黑色的小棍表示負數；有時用正放的小棍代表正數，用斜放的小棍代表負數.用不同的顏色表示正負數，這個習慣一直保留到現在.現在人們一般用紅色表示負數，還有經濟出現赤字，表明收入小于支出.十三世紀，數學家李冶在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數.此外，在古算中曾用過很多文字表示負數，如不足、出、賣、付、弱來表示負數.

公元七世紀，印度學者婆羅摩笈多通過畫小點或小圈來表示負數.十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾在第一個提出用減號“-”表示負數.

師：實際上，為了解決這個問題，歷史上的許多數學家和我們剛才的想法差不多.雖然負數的表示方法各不相同，但是都是為了有區別，尋找新數的表示方法.剛才大家新的表示方法中，你覺得哪種寫法最好？

生：用加減號的最好.賺100元，就是增加了100元；虧100元，就是減少了100元.

師：對，就是這樣的道理，十七世紀，荷蘭數學家吉拉爾提出這樣的方式，就得到了大家的認可，所以一直沿用至今.但讀法上有了變化，分別讀作正100元和負100元，符號分別叫正號和負號.此時+和-是性質符號，以前的+和-是運算符號.20-15可表示為+5，10-15可表示為-5

師：用正數或負數表示具有相反意義的量.

（1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（）元表示.

（2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（）米表示.

4.3抽象歸納，重新建構

1.定義：像3，18%，35這樣大于0的數叫做正數，像-3，-18%，-35這樣在正數前加上符號“-”（負）的數叫做負數.有時為了明確表示意義，在正數的前面也加上“+”（正）號.例如+2，+15，…就是2，1.5，….一個數前面的“+”“-”號叫做它的符號.“-”在這里有了新的意義和作用，叫“負號”.“+”是正號.像“+4”是一個正數，讀作：正四.我們可以在4的前面加上“+”，也可以省略不寫.“-4”是一個負數，讀作：負四.

2.任意寫幾個正數和負數，和同學交換著讀讀寫寫.

3.相反意義的量

師：在現實生活中，我們常常遇到一些具有相反意義的量，比如：（課件顯示）

（1）火車向東行駛10千米和向西行駛10千米；

（2）從零上5攝氏度下降到零下5攝氏度；

請學生舉出一些相反意義的量的實例.

教師歸結：相反意義的量中有一些常用詞：收入與支出、增加與減少、上升與下降等.

4.找相反意義的量

師：誰能說出一個與“零上5攝氏度”意義相反的量？

學生回答后，再追問：零上5攝氏度和零下5攝氏度，分別是哪里之上5攝氏度和哪里之下5攝氏度？用正負號分別表示它們.

5.學生在空白的溫度計上標出這兩個溫度.

師：老師提供的是一個空白的溫度計圖，相鄰的兩個刻度線之間相差1攝氏度.最下面一格表示0攝氏度比較合適，那么上面二格是多少攝氏度？

生：2攝氏度.

師：再往上呢？依次標到5攝氏度.

師：在我們設計的溫度計上“+5℃”在哪里？

學生指出+5℃的位置后，老師再問：怎么沒有-5℃呢？

師：也就是說我們剛才標示的溫度中沒有零下的溫度，那零度以下的溫度能不能表示？如果可以，如何標示？請重新設計刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

6.交流和總結.

討論：零上溫度、零下溫度和0攝氏度對應刻度的位置關系.最后總結：只有首先規定了零攝氏度的位置，才能確定零上的溫度和零下的溫度，可見，零是正數和負數的分界，0℃是一個確定的溫度，0的意義已不僅是表示“沒有”.

4.4拓展延伸，鞏固新知

1.相反意義的量

師：我們把一種意義的量規定為正的，用“+”（讀作正）號來表示，同時把另一種與它相反意義的量規定為負的，用“-”（讀作負）號來表示.

師：例如，如果前進200米記作+200米（讀作正200米），那么后退200米記作-200米（讀作負200米），請同學們回答下列問題.

生：如果向東走10米記作+10米（讀作正10米），那么向東走-10米的意義是向西走10米.

師：正數前面的正號可以省略不寫，但負數前面的負號能省略不寫嗎？

生：（討論后得出）不能.

例題一個月內，小明體重增加2kg，小華體重減少1kg，小強體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值.

解：這個月小明體重增加2kg，小華體重增長-1kg，小強體重增長0kg.

隨著對正數負數意義認識的加深，正數和負數在實踐中得到了廣泛應用.在地形圖上表示某地的高度時，需要以海平面為基準（規定海平面的海拔高度為0m），通常用正數表示高于海平面的某地的海拔高度，用負數表示低于海平面的某地的海拔高度.

2.練習

南、北為兩個相反方向，如果-30米表示一個物體向南運動30米，那么+12米表示什么？物體原地不動記為什么？

3.總結和作業

總結：（1）引入負數可以簡明的表示具有相反意義的量，同時也可以解決小的數減去大的數的問題.

（2）在表示具有相反意義的量時，把一種意義的量規定為正，可根據實際情況決定.

（3）要特別注意零既不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界，0的意義已不僅是表示“沒有”.

（4）建立正負數概念后，當考慮一個非零的數時，一定要考慮它的符號.

作業：P5：4，5，6，7.

參考文獻

[1]涂榮豹，寧連華.中學數學經典教學方法[M].福州：福建教育出版社，2011：268.

[2]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社施普林格出版社，2000：75.

[3]鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數學文化學[M].成都：四川教育出版社，2001：106.

[4]李迪.中外數學史教程[M].福州：福建教育出版社，1993：87.

作者簡介張俊忠，男，1971年生，湖北應城人，華中師范大學教育學院博士研究生，華中師大一附中初中部中學高級教師，主要從事中學數學教育教學研究.endprint