正確認識和精心設計數學習題

尹作卿

根據《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標2011年版》）的要求，在數學教學中，應注重發展學生的“數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想以及應用意識和創新意識”.這些觀念或意識的形成都離不開做練習，或者說，學生各種能力及意識的形成都是在解答數學問題的過程中逐漸發展起來的.可見，數學習題的質量具有重要的作用.筆者在本文首先就數學習題的主要功能作簡單分析，然后就如何設計數學習題談談自己的思考與實踐.

1正確認識習題的功能

使學生熟悉和掌握《課標2011年版》的要求，發展學生綜合能力的問題稱為習題.這樣的問題應以數學為內容、或雖然不以數學為內容但必須運用數學知識或數學思想方法才能解決，它包括教師提出的問題、例題、練習、測試及綜合與實踐活動等多種形式.

學習數學必須要做練習，這是事實，不能想象不做習題就能學好數學.作為數學教師，應當對數學習題的功能有一個全方位的理解.我們認為，數學習題的功能主要表現為：

1.1幫助學生學好基礎知識，形成基本技能

《課標2011年版》指出，數學教學應“注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握.”知識技能是學生發展的基礎性目標，是學生適應社會生活和進一步發展所必需的基本素養.不論是掌握數學的基礎知識，還是形成基本的技能都必須通過“解題”來達到.通過數學習題，使學生獲得較系統的數學知識，形成必要的技能、技巧.具體地說，通過數學習題學生可以掌握數學知識（概念、命題、法則、語言、方法），建立基本概念與概念之間的各種關系，了解數學的主要思想，加深對數學定理、法則、原理以及它們之間聯系的理解，形成掌握、運用相應的數學語言、符合語言、幾何語言的技能，能把教學內容模型化的技能.數學教學應讓學生充分經歷“三個過程”：經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能；經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能；經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程，掌握統計與概率的基礎知識和基本技能.

1.2促進學生的思維發展

數學是思維的產物，學習者只有通過做習題，通過自己的思維過程，才能體悟這些思維的結果.形式邏輯的知識不是作為一種獨立的學科進行講授的，它蘊含在數學知識之中，學生只有通過解題活動的實踐才能逐步學會這些知識，即邏輯思維的訓練只能在解題的過程中實現.

1.3思想教育功能

數學的教育功能可分為兩個方面，即智力和非智力的.學生對數學問題的求解過程中，所體現出的堅強的意志、好強的個性、大膽展示等良好的心理素質，是屬于非智力培養的內容.通過解答數學問題，可以激發學生的學習興趣，提升學生的外在學習動機和自我效能感.另一方面，“數學是思維的體操”客觀地反映出數學習題的智力教育內容.這一教育內容主要通過教學的全過程來實現.數學教學的過程，即概念的形成過程、結論的推導過程和方法的探索過程，也就是數學問題解決的過程，通過問題解決，使學生獲得和發展推理能力、化歸能力，形式化地處理問題和建立數學模型的能力，以及運用對應、方程、函數、圖象等數學觀念解決問題的能力.

1.4評價功能

課堂教學中，可以通過習題，確定教與學的水平，檢查學生對知識的理解、掌握程度非常重要.特別是學生的知識水平和能力水平通過課堂教學評價落實得好，可以及時為教師調整教學方法提供保障，使教學過程少走彎路，提高課堂教學效益.利于教師對學習效果的檢測.學生作業情況直接反映了教學效果，對習題解答情況的了解是教學評價的一種重要手段.

1.5優化學生的認知結構

數學習題是數學學習鞏固與復習的一種重要途徑，數學習題可使學生加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學知識系統，逐步形成完善合理的認知結構.學生數學水平如何，歸根到底體現在解題上.因此，適量的習題訓練是必不可少的，而習題設計的好壞，直接影響到訓練效率的高低.優化習題不僅能有效地增強學生解決問題的能力，提高數學教學質量，而且可以促進學生良好的數學觀念的形成.

2明確習題的目的要求

目前初中數學教材雖然有多個版本，但教材中的習題基本上都分為三類，如青島版教材中的三類是：一是安排在每個課時后面的“練習”，是當堂應完成的.主要是為了鞏固剛學過的知識和直接運用新知識進行解答的題目.目的是讓學生切實理解與掌握新知識，形成初步運用這些知識的基本技能，二是一節教材之后的“習題”，主要供課內、課外作業用.一節教材不一定一課時完成，有時需要多個課時才能完成.一般來講，這種題目是在進行了若干練習的基礎上安排的（當然也有的是安排在一個課時之后的），目的在于使學生鞏固所學的基礎知識，能熟練的運用這些知識解決簡單的問題，并形成一定的技巧.三是每章之后的“綜合練習”，這些題目的目的是使學生進一步鞏固、深化和靈活運用所學的知識、提高解題能力.“綜合練習”和“習題”中的題目，按照其難度和類型又分為“復習與鞏固”“拓展與延伸”“探索與創新”三組不同層次的問題；其中，“復習與鞏固”“拓展與延伸”兩組問題供全體學生使用，“探索與創新”中的問題供學有余力的同學選用.這樣設置充分體現了《課標2011年版》提出的“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的課程理念.

教師在備課中，應針對這三種類型的每一個題目，明確每個題目的具體要求、解題關鍵、解題技巧以及解題格式.通過分析，確定哪些題目學生可以獨立完成，哪些題目需要提示，哪些應作為例題講解，做到心中有數，有的放矢.

3在習題的處理上，應把握的幾個關系

3.1習題的數量與質量的關系

練習在學習中有重要的作用，但不要認為練習越多越好.這就要求教師在備課時應對以下幾個問題進行認真的思考：同一種類型的問題應該做多少？不同類型習題的練習數量是否有差異？如何精選高質量的題目，以利于減輕學生的學習負擔？endprint

3.2解題通法與巧法的關系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎知識為依據，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規律，其具體操作過程必須為全體學生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發散、合情推理的產物.當然，作為教師必須認識到，巧法中的“關鍵一著”有不少不屬于學習內容的主體，更有不少是一般學生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關系

教學中經常聽到學生說，老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現這種現象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結果只能是教師講得精彩，學生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學生就不會獨立地思維和克服困難，當然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學中，應重點引導學生分清問題的條件和結論，弄清抽象、概括或證明的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導學生學習時，不可直接給出證明，要設法讓學生先發現這個結論，然后再給出證明.讓學生發現的方法有許多，為突出數學的直觀性，我們選擇讓學生通過操作實驗來得到.所以，在教學中可要求學生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學生探索活動的自然延伸和必要的發展，讓學生在拼接硬紙片三角形的過程中，發現證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

由上面的操作過程，學生可以發現，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發現就是在拼接三角形紙片的過程中發現的，學生一旦發現這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規習題與開放題的關系

傳統的數學習題基本上是封閉性問題，屬于常規問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學生的成長都是不可缺少的.教師應當思考的問題是：常規性問題與開放性問題的數量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內容的學習銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認識，教師便可根據教材的特點，練習的目的要求，學生的實際情況，精選確定出教學用的例題和供學生練習用的題目.這也是創造性使用教材的一個方面.endprint

3.2解題通法與巧法的關系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎知識為依據，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規律，其具體操作過程必須為全體學生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發散、合情推理的產物.當然，作為教師必須認識到，巧法中的“關鍵一著”有不少不屬于學習內容的主體，更有不少是一般學生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關系

教學中經常聽到學生說，老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現這種現象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結果只能是教師講得精彩，學生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學生就不會獨立地思維和克服困難，當然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學中，應重點引導學生分清問題的條件和結論，弄清抽象、概括或證明的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導學生學習時，不可直接給出證明，要設法讓學生先發現這個結論，然后再給出證明.讓學生發現的方法有許多，為突出數學的直觀性，我們選擇讓學生通過操作實驗來得到.所以，在教學中可要求學生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學生探索活動的自然延伸和必要的發展，讓學生在拼接硬紙片三角形的過程中，發現證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

由上面的操作過程，學生可以發現，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發現就是在拼接三角形紙片的過程中發現的，學生一旦發現這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規習題與開放題的關系

傳統的數學習題基本上是封閉性問題，屬于常規問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學生的成長都是不可缺少的.教師應當思考的問題是：常規性問題與開放性問題的數量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內容的學習銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認識，教師便可根據教材的特點，練習的目的要求，學生的實際情況，精選確定出教學用的例題和供學生練習用的題目.這也是創造性使用教材的一個方面.endprint

3.2解題通法與巧法的關系

所謂通法，就是在解決問題（通常是某類問題）中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎知識為依據，以基本方法為技能，它的解法合乎一般的思維規律，其具體操作過程必須為全體學生所掌握.

巧法的靈魂在于“巧”字，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發散、合情推理的產物.當然，作為教師必須認識到，巧法中的“關鍵一著”有不少不屬于學習內容的主體，更有不少是一般學生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學中教師必須立足通法，兼顧巧法.

3.3解題過程和探索解題思路的關系

教學中經常聽到學生說，老師“添設輔助線總是馬到成功，演算證明總是簡捷而又靈活”，“我們是一聽就懂，但一做題就錯（或不會）”.出現這種現象的根本原因就在于教師沒有暴露解題途徑的尋找過程.其結果只能是教師講得精彩，學生聽得輕松，但碰到條件稍加變化的問題便束手無策，日積月累，學生就不會獨立地思維和克服困難，當然也不會有獨立的解題能力.教師在解題教學中，應重點引導學生分清問題的條件和結論，弄清抽象、概括或證明的過程是關鍵，讓學生做到既知其然，又知其所以然.

案例1證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

對于平行四邊形的判定定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），教師在引導學生學習時，不可直接給出證明，要設法讓學生先發現這個結論，然后再給出證明.讓學生發現的方法有許多，為突出數學的直觀性，我們選擇讓學生通過操作實驗來得到.所以，在教學中可要求學生動手剪、拼接硬紙片三角形，同時把論證作為學生探索活動的自然延伸和必要的發展，讓學生在拼接硬紙片三角形的過程中，發現證明該定理的思路.具體操作、探索過程為：

（1）如圖1，剪兩個一樣大的三角形硬紙片ABC，A′B′C′（三邊都不相等的）；

（2）用這兩個三角形拼成四邊形，觀察所得到的四邊形的特點，你能得到怎樣的猜想？并相互交流自己的結論；

（3）證明所得到的猜想，將其歸納成一般結論.

由上面的操作過程，學生可以發現，在圖2中，已知AB=CD，且BC=AD，要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需連接AC，并證明△ABC與△CDA全等即可.這個證明思路的發現就是在拼接三角形紙片的過程中發現的，學生一旦發現這個思路，詳細的證明過程就容易了.

3.4常規習題與開放題的關系

傳統的數學習題基本上是封閉性問題，屬于常規問題.隨著課改的深入，開放性問題的作用越來越顯得重要.兩種類型的問題對于學生的成長都是不可缺少的.教師應當思考的問題是：常規性問題與開放性問題的數量比例是多少比較合理？開放性問題如何與教材內容的學習銜接？開放性問題的難度如何把握？

有了上面的一些認識，教師便可根據教材的特點，練習的目的要求，學生的實際情況，精選確定出教學用的例題和供學生練習用的題目.這也是創造性使用教材的一個方面.endprint