想象的力量：平移和軸對稱的等價性問題研究

數學課堂教學離不開對問題的探求，老師們也不例外.常用發現問題、提出問題、分析問題、解決問題之所謂 “四輪驅動”問題研究的方法，進行課堂教學.試想，如果最后歸結為一個前人尚未提及的全新的數學問題，則可為學生樹立一個榜樣，從而增進他們的學習興趣.現按上述問題研究的思路，對 “平移和軸對稱這兩種變換在什么情況下是等價的”這一問題，試行深入探索.

1 發現問題

個人以為，要發現數學新問題，除了想象力與興趣之外，必需的一個條件是決不放棄的意志力.要“能夠在不疑處有疑”，腦海里始終存有一根“指針”，指向該疑處.正如一歌詞說的好：從來不需要想起，永遠也不會忘記.

疑問產生的過程似乎是遵循從模糊到清晰、從無序到規范、從繁瑣到簡潔、從特殊到一般這樣的規律.可惜的是，限于篇幅，本次探索過程中的模糊、無序、繁瑣等感受不能一一檢討.也很難將所受教訓的感悟的全部與大家分享.

筆者曾經提出過平移和軸對稱的關系定理[1]：一次平移可以由至多四次軸對稱得到.也就是說，對一個平面圖形進行一次平移，相當于對這一圖形進行至多四次的軸對稱變換.但這一定理可以進一步得以改正.提升為：一次平移可以由至多二次軸對稱得到.

這是因為將平面圖形往任一方向的平移，只要將圖形所在平面整體旋轉一定角度，就可以視其為水平方向的平移.也不影響本題的證明.而對平面圖形的水平方向的平移，其結果可以由至多二次軸對稱得到 [1].

有人提出：科學的意義不在于 “有用”，而是理性的需要，是思想的本能.本人對此已有體驗，亦有同感.

再由前面所提到的“至多二次”提升到“一次”就辦不到了.疑問至此結束嗎？不！但需要擁有另辟蹊徑的勇氣與方法.改變思考方向，由整體向局部轉移.退一步，海闊天空！

2 提出問題

總有一部分圖形的任一次平移，都可由對它的一次軸對稱得到.例如，圓、圓環、直線、一個點甚至整個平面的任一次平移，平移后的圖形都與原圖形軸對稱.但除此之外，還有其它滿足要求的平面圖形嗎？

進一步，就提出了“平移和軸對稱這兩種變換在什么情況下是等價的”這一問題.也就是說，對怎樣的平面圖形進行任意一次的平移變換，其結果，可由對這一圖形進行一次軸對稱變換得到，反之亦然？

簡單地說，對怎樣的平面圖形，平移就是軸對稱，軸對稱就是平移？

3 分析問題

首先，為了便于研究，我們將考慮的對象：平面圖形，作一限制，限制它在有界圖形這一范圍內.而所謂有界圖形，是指該圖形上的所有的點都在平面的同一圓內.

然后，觀察圓、圓環、圓面的對稱性.就可發現這些圖形都是軸對稱圖形，對稱軸為過一定點的任一直線.采用逆向思維的方式，以此特征為條件，研究圖形上點的共性.我們就可以得到以下的一個規律：

引理1如果點P在以過定點O的任一直線都為其對稱軸的軸對稱圖形上，則以定點O為圓心，OP長為半徑的圓上任一點，都在該軸對稱圖形上.

證明設以定點O為圓心，OP長為半徑的圓上任一點為A，經過定點O且與線段AP垂直的直線為m.只要證明點A在該軸對稱圖形上即可.

顯然，點A與點P關于直線m對稱.由題設，直線m為該軸對稱圖形的對稱軸，點P在該軸對稱圖形上.所以，點A在該軸對稱圖形上.證畢.

進一步，我們再創新定義，給出廣義同心圓的概念：對于平面圖形C，存在該平面上的一個定點O，如果點A在圖形C上，且以定點O為圓心，OA長為半徑的圓上的所有點也在圖形C上.則稱圖形C為以定點O為圓心的廣義同心圓.

廣義同心圓可以是一個定點、圓、圓環、圓面，也包括這四個圖形的若干個可重復的同心的一個組合.在這里，一個平面也是廣義同心圓.根據引理1，我們有以下第二個規律：

引理2平面上，經過定點O的任一直線都為其對稱軸的軸對稱圖形，是以定點O為圓心的廣義同心圓.

4 解決問題

有了以上的理論鋪墊，我們就可以解決本文開頭給出的問題.有如下結論：

平移和軸對稱的等價性定理 當且僅當有界圖形是廣義同心圓時，平移和軸對稱對它的變換是等價的.

證明：顯然，對廣義同心圓的任一次平移變換，變換后的圖形與原圖形構成軸對稱圖形.而對廣義同心圓的任一次軸對稱變換，也可以看成是對該圖形的一次平移變換，故此時，平移和軸對稱對它的變換是等價的.

當平移和軸對稱對有界圖形C的變換是等價時，則對圖形C所作的任一平移變換，變換后的圖形C1與原圖形構成軸對稱圖形.

此時的問題是，對圖形C作怎樣的平移？而妙悟與想象力的發揮是解決問題的關鍵.答案是利用零向量.也即：對圖形C作零距離且任意方向的平移變換.則圖形C與變換后的圖形C1重合.因此，圖形C本身是軸對稱圖形.當然，由題設，圖形C也是有界圖形.

根據有界軸對稱圖形的對稱軸共點定理[2]，與以上平移變換時方向的任意性，得圖形C的對稱軸是過一定點的任一直線.由引理2知，圖形C是廣義同心圓.證畢.

后記：值得一提的是，在以上證明過程的細微之處，似乎可以領略到“梵我一如”哲學思想的體現.此處， “梵”代表自然原理，指平移， “我”則為實體，指圖形C， “一如”指重合.

細細想來，以上定理及其證明中的每一個細節，都曾經被用心整理過幾十遍.不斷地查漏補缺，甚至于雕琢鑲嵌、打磨圓潤.目的是求得結論正確而條件最少、定理陳述完美無缺、推理過程令人信服.

“一番整理，一番發現，一番收獲.”樂此不疲.

參考文獻

[1]林東偉，王華.教材研讀拾穗：軸對稱“包含”平移[J].中學數學雜志， 2011（8）.

[2]林東偉，葉對萍.想象的力量：有界軸對稱圖形的概念與性質[J].中學數學雜志， 2013（6）.endprint