斯特瓦特定理的簡證

文[1]用純幾何的方法證明了斯特瓦特定理，筆者對其通過構造三角形的外接圓，以及作出兩對等角進而使命題獲得證明的方法表示由衷地贊賞.贊賞的同時也引發筆者深深地思考，有無更為簡潔的方法？幾經探究，發現用勾股定理可以簡潔、巧妙地證明斯氏定理.

斯特瓦特定理如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

分析待證結論是非常規形式，注意到待證式兩邊的項中，過點A的線段AB、AC、AP均是以平方形式呈現，因此可以考慮過點A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2進行轉化，再借助恒等變形，可以簡潔、巧妙地證明定理.

證明（1）如圖1，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC上.

在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①

在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②

在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③

①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④

②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤

因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）

=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥

把④、⑤代入⑥中，得：

AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC

=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP

=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP

=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（2）如圖2，過點A作BC的垂線，垂足H恰好于點C重合.

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦

在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧

⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.

所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=

AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=

（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=

（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=

（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（3）如圖3，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC延長線上.證明同（1）.

綜上，斯氏定理得證.

當P在△ABC底邊BC延長線上時（如圖4），原結論不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨

比對圖1與圖4，可發現圖4中的字母C、P互換位置后便是圖1，因此將斯氏定理結論中的字母C、P互換即得⑨.事實上，在圖4中，也可直接運用斯氏定理得到⑨.

當P在△ABC底邊CB延長線上時，可有類似⑨的結論，限于篇幅不再贅述.

參考文獻

[1]丁位卿.斯特瓦特定理的純幾何證法[J].中學數學雜志，2014（6），51-51.

作者簡介楊云奎，男，1970年1月生，江蘇省灌云人，中學高級教師，連云港初中數學學科帶頭人，連云港市孫朝仁名師工作室成員，發表論文20余篇.endprint

文[1]用純幾何的方法證明了斯特瓦特定理，筆者對其通過構造三角形的外接圓，以及作出兩對等角進而使命題獲得證明的方法表示由衷地贊賞.贊賞的同時也引發筆者深深地思考，有無更為簡潔的方法？幾經探究，發現用勾股定理可以簡潔、巧妙地證明斯氏定理.

斯特瓦特定理如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

分析待證結論是非常規形式，注意到待證式兩邊的項中，過點A的線段AB、AC、AP均是以平方形式呈現，因此可以考慮過點A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2進行轉化，再借助恒等變形，可以簡潔、巧妙地證明定理.

證明（1）如圖1，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC上.

在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①

在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②

在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③

①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④

②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤

因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）

=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥

把④、⑤代入⑥中，得：

AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC

=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP

=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP

=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（2）如圖2，過點A作BC的垂線，垂足H恰好于點C重合.

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦

在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧

⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.

所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=

AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=

（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=

（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=

（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（3）如圖3，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC延長線上.證明同（1）.

綜上，斯氏定理得證.

當P在△ABC底邊BC延長線上時（如圖4），原結論不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨

比對圖1與圖4，可發現圖4中的字母C、P互換位置后便是圖1，因此將斯氏定理結論中的字母C、P互換即得⑨.事實上，在圖4中，也可直接運用斯氏定理得到⑨.

當P在△ABC底邊CB延長線上時，可有類似⑨的結論，限于篇幅不再贅述.

參考文獻

[1]丁位卿.斯特瓦特定理的純幾何證法[J].中學數學雜志，2014（6），51-51.

作者簡介楊云奎，男，1970年1月生，江蘇省灌云人，中學高級教師，連云港初中數學學科帶頭人，連云港市孫朝仁名師工作室成員，發表論文20余篇.endprint

文[1]用純幾何的方法證明了斯特瓦特定理，筆者對其通過構造三角形的外接圓，以及作出兩對等角進而使命題獲得證明的方法表示由衷地贊賞.贊賞的同時也引發筆者深深地思考，有無更為簡潔的方法？幾經探究，發現用勾股定理可以簡潔、巧妙地證明斯氏定理.

斯特瓦特定理如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

分析待證結論是非常規形式，注意到待證式兩邊的項中，過點A的線段AB、AC、AP均是以平方形式呈現，因此可以考慮過點A作△ABC的高，用勾股定理把AB2，AC2，AP2進行轉化，再借助恒等變形，可以簡潔、巧妙地證明定理.

證明（1）如圖1，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC上.

在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2.①

在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2.②

在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2.③

①-③得AB2-AP2=BH2-PH2=（BH+PH）（BH-PH）=（BH+PH）·BP.④

②-③得AC2-AP2=CH2-PH2=（CH+PH）（CH-PH）=（CH-PH）·CP.⑤

因AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）

=（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP.⑥

把④、⑤代入⑥中，得：

AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC

=（AB2-AP2）·PC+（AC2-AP2）·BP

=（BH+PH）BP·PC+（CH-PH）CP·BP

=（BH+PH+CH-PH）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（2）如圖2，過點A作BC的垂線，垂足H恰好于點C重合.

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.⑦

在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2.⑧

⑦-⑧得AB2-AP2=BC2-PC2=（BC+PC）（BC-PC）=（BC+PC）·BP.

所以AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=

AB2·PC+AC2·BP-AP2·（BP+PC）=

（AB2-AP2）PC+（AC2-AP2）BP=

（BC+PC）BP·PC-CP2·BP=

（BC+PC-CP）BP·CP=BC·BP·CP.

所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

（3）如圖3，過點A作BC的垂線，垂足H在底邊BC延長線上.證明同（1）.

綜上，斯氏定理得證.

當P在△ABC底邊BC延長線上時（如圖4），原結論不成立.但有AB2·PC+AP2·BC=AC2·BP+BP·PC·BC.⑨

比對圖1與圖4，可發現圖4中的字母C、P互換位置后便是圖1，因此將斯氏定理結論中的字母C、P互換即得⑨.事實上，在圖4中，也可直接運用斯氏定理得到⑨.

當P在△ABC底邊CB延長線上時，可有類似⑨的結論，限于篇幅不再贅述.

參考文獻

[1]丁位卿.斯特瓦特定理的純幾何證法[J].中學數學雜志，2014（6），51-51.

作者簡介楊云奎，男，1970年1月生，江蘇省灌云人，中學高級教師，連云港初中數學學科帶頭人，連云港市孫朝仁名師工作室成員，發表論文20余篇.endprint