兩圓外公切線長的一個性質及應用

徐峰

知道兩個圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質：PQ2=AC·BD.

證明：設兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當兩圓外切時，上述性質變為：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個圓有一條外公切線，切點為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因為PQ+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點，分別以AO2和O1C為直徑作兩個半圓，這兩個半圓的外公切線為MN，M、N為切點，求證：MN=12PQ.

證明設半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個半圓有一條公切線，分別以切點所連線段為直徑再作兩個半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint

知道兩個圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質：PQ2=AC·BD.

證明：設兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當兩圓外切時，上述性質變為：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個圓有一條外公切線，切點為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因為PQ+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點，分別以AO2和O1C為直徑作兩個半圓，這兩個半圓的外公切線為MN，M、N為切點，求證：MN=12PQ.

證明設半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個半圓有一條公切線，分別以切點所連線段為直徑再作兩個半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint

知道兩個圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質：PQ2=AC·BD.

證明：設兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當兩圓外切時，上述性質變為：PQ2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個圓有一條外公切線，切點為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因為PQ+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點，分別以AO2和O1C為直徑作兩個半圓，這兩個半圓的外公切線為MN，M、N為切點，求證：MN=12PQ.

證明設半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個半圓有一條公切線，分別以切點所連線段為直徑再作兩個半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint