直角三角形“破解”拋物線中的平行四邊形

在直角坐標系內，已知平行四邊形的兩個頂點，確定另外兩頂點（一頂點在拋物線上，另一頂點在直線上）的類型，是拋物線中一類比較綜合的題目，也頗受中考命題者的青睞.筆者通過構造直角三角形，利用平移和全等的知識有效地結合了平行四邊形的兩個判定（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形和對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），實現了對這一類型問題的輕松解答.試舉三例，幫助讀者體會在解決問題中直角三角形是如何發揮作用的.

1知識準備

1.坐標系內線段的長（如圖甲）

（1）線段AB平行x軸.若A（xA，yA），B（xB，yB），則yA=yB，AB的長等于（xB-xA）；

（2）線段CD平行y軸.若C（xC，yC），D（xD，yD），則xC=xD，CD的長等于（yC-yD）.

2.坐標系內線段中點的坐標（如圖甲）

若E（xE，yE），F（xF，yF），EF的中點M的坐標為（xE+xF2，yE+yF2）

3.坐標系內平行四邊形頂點坐標關系（如圖乙）

如圖，ABCD頂點坐標A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），則有xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.（讀者可利用坐標內線段中點坐標求法公式進行證明）

4.X型全等直角三角形（如圖丙）

若M是線段NN′的中點，P′N′⊥MN′，PN⊥MN，那么Rt△MNP≌Rt△MN′P′.

2典型例題

例1如圖1，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（-3，0），點B（1，0），交y軸于點C（0，-3）.點D是點A關于點B的對稱點，點E是線段BC的中點，直線l過點E且與y軸平行.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）在直線l上取點F，在拋物線上取點M，使以點A，D，M，F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.

分析利用交點式設y=a（x-1）（x+3），代入點（0，-3），可得拋物線的解析式y=x2+2x-3，點D坐標為（5，0），點E坐標為（3，0），AD=5-（-3）=8.

1.以AD為邊進行分析（如圖2）

利用平移特征（平移前后的對應線段平行且相等），把AD沿直線l平移即可.

（1）D點沿直線l向上移動，點A落在拋物線M1上.可得對應點M1的橫坐標：x=3-8=-5，縱坐標：y=（-5）2+2×（-5）-3=12，所以點M1的坐標為（-5，12）.

（2）點A沿直線l向上移動，點D落在拋物線M2上.可得對應點M2的橫坐標：x=3+8=11，縱坐標：y=112+2×11-3=140，所以點M2的縱坐標為（11，140）.（由于點縱坐標太大，圖不準確，僅作示意）

2.以AD為對角線時（如圖3）

通過構造X型全等直角三角形實現對角線AD和M3F3互相平分，如何構造呢？

作法點B為線段AD的中點，在x軸上取點E′，使BE′=BE，過點E′作x軸的垂線交拋物線于點M3，連接M3B并延長交直線l于點F3，點M3和F3就是所求.

理由在Rt△BEF3和Rt△BE′M3中，∠F3BE=∠M3BE′，BE=BE′，∠F3EB=∠M3E′B，所以Rt△BEF3≌Rt△BE′M3所以BM3=BF3所以AD和F3M3互相平分，四邊形AF3DM3是平行四邊形.至此符合條件的點已確定，如何求坐標呢？

由于BE=BE′，可得E′的橫坐標為-1，所以M3的橫坐標為：x=-1，M3的縱坐標為：y=（-1）2+2×（-1）-3=-4.所以M3的坐標為（-1，-4），此時恰好是拋物線的頂點.

同時我們利用準備知識3可以求出相應的點F1、F2、F3的坐標。

例2如圖4，過點（4，3）的拋物線的頂點D坐標是（2，-1），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.

（1）求二次函數的解析式

（2）直線y=x+m與二次函數交于C、E兩點，P點是二次函數上任意一點，是否在對稱軸上存在點K，使得以點K、P、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.

分析利用頂點式設y=a（x-2）2-1，代入點（4，3），可得拋物線的解析式y=x2-4x+3.點C的坐標為（0，3），代入y=x+m，可得直線解析式為y=x+3.

將兩解析式聯立y=x2-4x+3，

y=x+3.解之可得點E的坐標為（5，8）.

1.邊CE為平行四邊形的邊（如圖5）

CE不平行坐標軸，構造以CE為斜邊且直角邊與坐標軸平行的直角三角形，可以直觀平移后的橫坐標與對稱軸的關系，作法如下：

過點E作EF⊥x軸，過點C作CF⊥y軸，交于點F，構造Rt△CEF，CF=5-0=5，EF=8-3=5.

我們將Rt△CEF沿對稱軸平移，由平移知識可知所得的Rt△P1H1K1和Rt△P2H2K2與Rt△EFC的各對應邊平行且相等，可得四邊形CEP1K1、四邊形CEK2P2是平行四邊形.

（1）點P1的橫坐標：x=2+5=7，縱坐標：y=72-4×7+3=24，所以點P1的坐標為（7，24），

（2）點P2的橫坐標：x=2-5=-3，縱坐標：y=（-3）2-4×（-3）+3=24，所以點P1的坐標為（-3，24）.

2.以邊CE為平行四邊形的對角線（如圖6）

取CE的中點M，由于點C坐標為（0，3），點E坐標為（5，8），可得中點M的坐標為（0+52，3+82）即（52，112）.如果四邊形CK3EP3是平行四邊形，M必須也是K3P3的中點，如何去尋找滿足條件的點K3和P3呢？也如同例1一樣，構造X型全等直角三角形.endprint

過點M作MN⊥對稱軸，垂足為N，反向延長MN至N′，使MN=MN′，過點N′作N′P3⊥MN′交拋物線于點P3，連接P3M并延長交對稱軸于K3.點K3和點P3就是所求，如何求坐標呢？

因為MN=52-2=12，過P3作對稱軸的垂線，垂足為H，則MN是Rt△K3HP3的中位線，由三角形中位線的知識可得P3H=1，所以P3的橫坐標為2+1=3，恰好與B點重合，坐標為（3，0）.

由于點E（5，8）、點C（0，3）、P3（3，0），可以得到點K3的坐標為（5+0-3，8+3-0），即（2，11）.

例3如圖7，已知在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-4，0），B（2，0），C（0，-4），三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線AC上的動點，若以點P、Q、C、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標.

分析拋物線的解析式y=12x2+x-4，直線AC的解析式為y=-x-4.

1.以OC為邊進行分析（如圖7）

將Rt△AOC沿直線AC平移至Rt△O1和Rt△O2Q2P2處，P1和P2落在拋物線上，平行四邊形OCQ1P1和平行四邊形OCQ2P2就是所求（由于OC∥y軸，也就是平移OC至P1Q1或P2Q2）.如何求點Q的坐標呢？

設點Q的坐標為（m，-m-4），點P的坐標為（m，12m2+m-4），

由于PQ=OC=4，可得12m2+m-4-（-m-4）=4，解得m1=-2+23，m2=-2-23，所以Q1的坐標為（-2-23，-2+23），Q2的坐標為（-2+23，-2-23）.

2.以OC為對角線進行分析（如圖8）

（1）取OC的中點M，過點M作MN⊥AC，

（2）反向延長MN至N′，使MN′=MN，

（3）過點N′作N′P3⊥MN′交拋物線于點P3、P4，

（4）連接P3M、P4M并延長交AC于點Q3、Q4.點P3、Q3；P4、Q4，就是所求頂點.

P3、P4坐標的求法

如圖8，過點N作ND⊥x軸，

因為OC=4，M是中點，所以OM=MC=2，因為∠MNC=90°，∠NCM=45°，∠MDN=90°，

所以ND=MD=1，所以M的坐標為（0，-2），N的坐標為（-1，-3），所以N′的坐標為（1，-1）.

因為N′P3∥AC，設直線N′P3的解析式為y=-x+b，代入點N′（1，-1），可得解析式為y=-x，聯立解析式，

y=12x2+x-4

y=-x解得，x1=-2+23，x2=-2-23，所以P3（-2+23，2-23），P4（-2-23，2+23）.

由線段P3Q3、線段P4Q4的中點是M（0，-2），可得Q3（2-23，-6+23），Q4（2+23，-6-23）.

3方法歸納

從三例的解答可以看出，確定拋物線上的點是關鍵，構造直角三角形很好地破解這一問題.解答過程體現了分類討論的思想方法，我們進行如下的歸納：

（1）已知線段為邊時，有兩類情況

①線段與x軸或y軸平行時，直接平移即可（如例1、例3）.

②若線段與x軸或y軸不平行時，構造直角三角形進行平移（如例2）.

（2）已知線段為對角線時，拋物線上頂點的確定是關鍵（如例1、例2、例3）.

通過中點作已知直線的垂線，實現了構造X型全等直角三角形，從而實現了對角線互相平分，確定出了另外兩頂點.

作者簡介張振中，男，1973年11月出生.中學一級教師，主要從事初中數學教學工作，對中考題的研究，有若干文章發表.

一道中考模擬題的命制意圖及考后收獲

南京金陵中學河西分校210019李玉榮

筆者在2014年九年級數學一?？荚囍忻屏诉@樣一道試題：

如圖a，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，點A、C分別在直線l2，l1上，

（1）利用尺規作出以AC為底的等腰△ABC，使得點B落在直線l3上（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若（1）中得到的△ABC為等腰直角三角形，求AC的長；

（3）若（1）中得到的△ABC為等邊三角形，請直接寫出AC的長.

圖a備用圖1備用圖2命制意圖第（1）小題考查一個基本作圖，也暗示以AC為底的等腰△ABC的存在性與合理性；第（2）小題是一道常規題，解答的關鍵是作好輔助線，作出平行線間的距離，構造出“一線三等角”（三個相等角的頂點在同一條直線上）型基本圖形，運用全等三角形的判定和性質及勾股定理進行計算，難度適中，主要考查學生構造基本圖形解決問題，提高學生運用基本圖形解決問題的意識.第（3）小題將等腰直角三角形變為等邊三角形，難度陡增，隱藏在其中的數學要素需要仔細品讀才能發現，從第（2）小題的問題解決得到一定的方法啟示，在新背景中繼續構造基本圖形，再運用全等三角形、勾股定理進行計算，旨在考查學生觀察圖形、提煉圖形和運用圖形的能力，同時也很好地體現了轉化和方程思想.第（3）小題筆者預設的解法是：

圖1解如圖1，作AM⊥l3于點M，CN⊥l3于點N，作∠BCE=∠ABM，CE交l3于點E，作∠BAD=∠CBE，AD交l3于點D，因為BA=CB，所以△CBE≌△BAD，所以∠D=∠E=180°-（∠BAD+∠ABD）=180°-（∠CBE+∠ABD）=60°，所以BD=CE=CNsin60°=23，DM=AM·tan30°=233，所以BM=BD-DM=433，于是AB=AM2+BM2=22+（433）2=2321.endprint

由于第（3）小題設置的是直接寫出結果，難以發現學生的求解方法，因此，筆者在考后找解出結果的同學交流，還請同備課組的教師試解此題，自己也多角度尋覓解法，結果發現這真是一道精彩的好題，現將所得解法與大家分享.

解法展示

思路1：利用勾股定理構造方程組.

解如圖2，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，CE交l2于點F，設DB=x，BE=y，則AF=DE=x+y，因為AB=BC=AC，

所以根據勾股定理得x2+22=y2+32=（x+y）2+12，即y2+2xy=3，①

x2+2xy=8.②

②×3-①×8得3x2-10xy-8y2=0，所以x=4y（舍去3x=-2y），

把x=4y代入①得y2=13，所以BC=BE2+CE2=13+32=2321.

評注這是筆者最先想到的思路，方法很直接，涉及的二元二次方程組并不難解，只是現行初中教材已不作要求，留有些許遺憾.

圖2圖3思路2：作垂線利用等積變換.

解如圖3，設CB交l2于點F，作FG⊥AC于點G，BD⊥l2于點D，CE⊥l2于點E，設CF=x，則FB=2x，AC=BC=3x，CG=12x，AG=52x，GF=32x，所以AF=AG2+GF2=7x，又S△AFC=12AF·CE=12AC·FG，所以7x=3x·32x，于是3x=2321，即AC=2321.

思路3：構造相似三角形.

解①如圖4，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，AG⊥BC于點G，（以下略）.

②如圖5，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，BH⊥AC于點H，延長CA交l3于F，（以下略）.

圖4圖5思路4：構造含30°角的直角三角形.

解如圖6，延長AC到點F使CF=AC，連接BF，易知∠AFB=30°，∠ABF=90°，BFBA=3，作AD⊥l3于點D，作FE⊥l3于點E，FE分別交l1，l2于點G、H，（以下略）.

圖6圖7思路5：運用旋轉方法.

解如圖7，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，將Rt△ABF繞點A逆時針旋轉60°至Rt△ACD，延長DC交l2于點G，（以下略）.

圖8圖9解將整個圖形繞點B旋轉180°得到如圖8，連接AC′、A′C，易知四邊形AC′A′C為矩形，∠CAC′=90°，ACAC′=33，過點A作DE⊥l1于點D，交l4于點E，（以下略）.

思路6：構造等距離平行線.

解如圖9，作l4∥l3，且l4到l3、l2的距離為1，延長CA交l4于點D，由l4∥l1∥且平行線間的距離相等，得AD=AC，而AC=AB，（以下略）.

思路7：運用對稱思想構造輔助圓.

解如圖10，設點A關于l3的對稱點是E，連接EC、EA，延長EA交l1于點G，

則BE=BA，而BC=BA，所以點C、A、E在以B為圓心、BC為半徑的圓上，于是∠CEA=12∠ABC=30°，又GE=5，所以CG=GE·tan30°=533，在Rt△CGA中，AC=AG2+CG2=12+（533）2=2321.

圖10圖11思路8：構造三角形的外接圓.

解如圖11，作△ABC的外接圓分別交l2、l3于點N、M，連接CN、BN、AM，作AD⊥l3于點D，CE⊥l2于點E，BF⊥CN于點F，（以下略）.

推廣延伸

1.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等邊△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，求AC的長.

圖b2.如圖b，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

聰明的讀者，上述幾種方法你能選擇哪種解法求得結果？

答案：1+（5tanα2）2.

3.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

4.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，當AC為多少時，等腰△ABC的面積最??？求出它的最小值.

設∠ABC=α，作BD⊥AC于D，則BD=CDtanα2=AC2tanα2，于是SΔABC=12AC·BD=14tanα2（1+25tan2α2）=14（1tanα2+25tanα2）

≥14×21tanα2·25tanα2=52，

等號僅當1tanα2=25tanα2，即時成立，此時AC=1+1=2，故當AC=2時，等腰△ABC的面積最小，最小值為52.

寫在最后

數學家哈爾莫斯這樣說過：“數學存在的理由就是解問題，數學的真正部分是問題和解”.如何提高數學解題能力？如何通過解題實現數學學習的高效性？首先，教師要善于選題或自己提供問題，其次要盡可能給出多解策略，并適時將問題推廣延伸.從不同角度思考解題方案可以訓練思維的發散性，而使解題方案優化，探求簡潔解題方法可以使思維向最優路徑收斂，在經驗不斷積累中提升數學素養和數學能力，逐步進入高效學習的快車道.適時、適度將問題推廣、延伸，可以說是讓學生做了一次高品位的思維體操，有利于培養學生思維的廣闊性與嚴密性，優化學生思維品質，體現數學的研究潛能，感悟數學的內在真諦，真正實現知識的互聯、方法的遷移、思維的飛躍、經驗的提升，我們的學生必將滿懷熱情、充滿活力，富有創造力.

參考文獻

[1]甄亞芳.“架構”在平行線間的中考試題探析[J].中學數學（初中版），2013（2）.endprint

由于第（3）小題設置的是直接寫出結果，難以發現學生的求解方法，因此，筆者在考后找解出結果的同學交流，還請同備課組的教師試解此題，自己也多角度尋覓解法，結果發現這真是一道精彩的好題，現將所得解法與大家分享.

解法展示

思路1：利用勾股定理構造方程組.

解如圖2，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，CE交l2于點F，設DB=x，BE=y，則AF=DE=x+y，因為AB=BC=AC，

所以根據勾股定理得x2+22=y2+32=（x+y）2+12，即y2+2xy=3，①

x2+2xy=8.②

②×3-①×8得3x2-10xy-8y2=0，所以x=4y（舍去3x=-2y），

把x=4y代入①得y2=13，所以BC=BE2+CE2=13+32=2321.

評注這是筆者最先想到的思路，方法很直接，涉及的二元二次方程組并不難解，只是現行初中教材已不作要求，留有些許遺憾.

圖2圖3思路2：作垂線利用等積變換.

解如圖3，設CB交l2于點F，作FG⊥AC于點G，BD⊥l2于點D，CE⊥l2于點E，設CF=x，則FB=2x，AC=BC=3x，CG=12x，AG=52x，GF=32x，所以AF=AG2+GF2=7x，又S△AFC=12AF·CE=12AC·FG，所以7x=3x·32x，于是3x=2321，即AC=2321.

思路3：構造相似三角形.

解①如圖4，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，AG⊥BC于點G，（以下略）.

②如圖5，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，BH⊥AC于點H，延長CA交l3于F，（以下略）.

圖4圖5思路4：構造含30°角的直角三角形.

解如圖6，延長AC到點F使CF=AC，連接BF，易知∠AFB=30°，∠ABF=90°，BFBA=3，作AD⊥l3于點D，作FE⊥l3于點E，FE分別交l1，l2于點G、H，（以下略）.

圖6圖7思路5：運用旋轉方法.

解如圖7，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，將Rt△ABF繞點A逆時針旋轉60°至Rt△ACD，延長DC交l2于點G，（以下略）.

圖8圖9解將整個圖形繞點B旋轉180°得到如圖8，連接AC′、A′C，易知四邊形AC′A′C為矩形，∠CAC′=90°，ACAC′=33，過點A作DE⊥l1于點D，交l4于點E，（以下略）.

思路6：構造等距離平行線.

解如圖9，作l4∥l3，且l4到l3、l2的距離為1，延長CA交l4于點D，由l4∥l1∥且平行線間的距離相等，得AD=AC，而AC=AB，（以下略）.

思路7：運用對稱思想構造輔助圓.

解如圖10，設點A關于l3的對稱點是E，連接EC、EA，延長EA交l1于點G，

則BE=BA，而BC=BA，所以點C、A、E在以B為圓心、BC為半徑的圓上，于是∠CEA=12∠ABC=30°，又GE=5，所以CG=GE·tan30°=533，在Rt△CGA中，AC=AG2+CG2=12+（533）2=2321.

圖10圖11思路8：構造三角形的外接圓.

解如圖11，作△ABC的外接圓分別交l2、l3于點N、M，連接CN、BN、AM，作AD⊥l3于點D，CE⊥l2于點E，BF⊥CN于點F，（以下略）.

推廣延伸

1.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等邊△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，求AC的長.

圖b2.如圖b，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

聰明的讀者，上述幾種方法你能選擇哪種解法求得結果？

答案：1+（5tanα2）2.

3.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

4.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，當AC為多少時，等腰△ABC的面積最??？求出它的最小值.

設∠ABC=α，作BD⊥AC于D，則BD=CDtanα2=AC2tanα2，于是SΔABC=12AC·BD=14tanα2（1+25tan2α2）=14（1tanα2+25tanα2）

≥14×21tanα2·25tanα2=52，

等號僅當1tanα2=25tanα2，即時成立，此時AC=1+1=2，故當AC=2時，等腰△ABC的面積最小，最小值為52.

寫在最后

數學家哈爾莫斯這樣說過：“數學存在的理由就是解問題，數學的真正部分是問題和解”.如何提高數學解題能力？如何通過解題實現數學學習的高效性？首先，教師要善于選題或自己提供問題，其次要盡可能給出多解策略，并適時將問題推廣延伸.從不同角度思考解題方案可以訓練思維的發散性，而使解題方案優化，探求簡潔解題方法可以使思維向最優路徑收斂，在經驗不斷積累中提升數學素養和數學能力，逐步進入高效學習的快車道.適時、適度將問題推廣、延伸，可以說是讓學生做了一次高品位的思維體操，有利于培養學生思維的廣闊性與嚴密性，優化學生思維品質，體現數學的研究潛能，感悟數學的內在真諦，真正實現知識的互聯、方法的遷移、思維的飛躍、經驗的提升，我們的學生必將滿懷熱情、充滿活力，富有創造力.

參考文獻

[1]甄亞芳.“架構”在平行線間的中考試題探析[J].中學數學（初中版），2013（2）.endprint

由于第（3）小題設置的是直接寫出結果，難以發現學生的求解方法，因此，筆者在考后找解出結果的同學交流，還請同備課組的教師試解此題，自己也多角度尋覓解法，結果發現這真是一道精彩的好題，現將所得解法與大家分享.

解法展示

思路1：利用勾股定理構造方程組.

解如圖2，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，CE交l2于點F，設DB=x，BE=y，則AF=DE=x+y，因為AB=BC=AC，

所以根據勾股定理得x2+22=y2+32=（x+y）2+12，即y2+2xy=3，①

x2+2xy=8.②

②×3-①×8得3x2-10xy-8y2=0，所以x=4y（舍去3x=-2y），

把x=4y代入①得y2=13，所以BC=BE2+CE2=13+32=2321.

評注這是筆者最先想到的思路，方法很直接，涉及的二元二次方程組并不難解，只是現行初中教材已不作要求，留有些許遺憾.

圖2圖3思路2：作垂線利用等積變換.

解如圖3，設CB交l2于點F，作FG⊥AC于點G，BD⊥l2于點D，CE⊥l2于點E，設CF=x，則FB=2x，AC=BC=3x，CG=12x，AG=52x，GF=32x，所以AF=AG2+GF2=7x，又S△AFC=12AF·CE=12AC·FG，所以7x=3x·32x，于是3x=2321，即AC=2321.

思路3：構造相似三角形.

解①如圖4，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，AG⊥BC于點G，（以下略）.

②如圖5，作AD⊥l3于點D，CE⊥l3于點E，BH⊥AC于點H，延長CA交l3于F，（以下略）.

圖4圖5思路4：構造含30°角的直角三角形.

解如圖6，延長AC到點F使CF=AC，連接BF，易知∠AFB=30°，∠ABF=90°，BFBA=3，作AD⊥l3于點D，作FE⊥l3于點E，FE分別交l1，l2于點G、H，（以下略）.

圖6圖7思路5：運用旋轉方法.

解如圖7，作BF⊥于l2點F，CE⊥l2于點E，將Rt△ABF繞點A逆時針旋轉60°至Rt△ACD，延長DC交l2于點G，（以下略）.

圖8圖9解將整個圖形繞點B旋轉180°得到如圖8，連接AC′、A′C，易知四邊形AC′A′C為矩形，∠CAC′=90°，ACAC′=33，過點A作DE⊥l1于點D，交l4于點E，（以下略）.

思路6：構造等距離平行線.

解如圖9，作l4∥l3，且l4到l3、l2的距離為1，延長CA交l4于點D，由l4∥l1∥且平行線間的距離相等，得AD=AC，而AC=AB，（以下略）.

思路7：運用對稱思想構造輔助圓.

解如圖10，設點A關于l3的對稱點是E，連接EC、EA，延長EA交l1于點G，

則BE=BA，而BC=BA，所以點C、A、E在以B為圓心、BC為半徑的圓上，于是∠CEA=12∠ABC=30°，又GE=5，所以CG=GE·tan30°=533，在Rt△CGA中，AC=AG2+CG2=12+（533）2=2321.

圖10圖11思路8：構造三角形的外接圓.

解如圖11，作△ABC的外接圓分別交l2、l3于點N、M，連接CN、BN、AM，作AD⊥l3于點D，CE⊥l2于點E，BF⊥CN于點F，（以下略）.

推廣延伸

1.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等邊△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，求AC的長.

圖b2.如圖b，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

聰明的讀者，上述幾種方法你能選擇哪種解法求得結果？

答案：1+（5tanα2）2.

3.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為m，l2，l3之間的距離為n，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，且∠ABC=α，求AC的長.

4.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為2，以AC為底的等腰△ABC的三頂點分別在直線l1，l2，l3上，當AC為多少時，等腰△ABC的面積最??？求出它的最小值.

設∠ABC=α，作BD⊥AC于D，則BD=CDtanα2=AC2tanα2，于是SΔABC=12AC·BD=14tanα2（1+25tan2α2）=14（1tanα2+25tanα2）

≥14×21tanα2·25tanα2=52，

等號僅當1tanα2=25tanα2，即時成立，此時AC=1+1=2，故當AC=2時，等腰△ABC的面積最小，最小值為52.

寫在最后

數學家哈爾莫斯這樣說過：“數學存在的理由就是解問題，數學的真正部分是問題和解”.如何提高數學解題能力？如何通過解題實現數學學習的高效性？首先，教師要善于選題或自己提供問題，其次要盡可能給出多解策略，并適時將問題推廣延伸.從不同角度思考解題方案可以訓練思維的發散性，而使解題方案優化，探求簡潔解題方法可以使思維向最優路徑收斂，在經驗不斷積累中提升數學素養和數學能力，逐步進入高效學習的快車道.適時、適度將問題推廣、延伸，可以說是讓學生做了一次高品位的思維體操，有利于培養學生思維的廣闊性與嚴密性，優化學生思維品質，體現數學的研究潛能，感悟數學的內在真諦，真正實現知識的互聯、方法的遷移、思維的飛躍、經驗的提升，我們的學生必將滿懷熱情、充滿活力，富有創造力.

參考文獻

[1]甄亞芳.“架構”在平行線間的中考試題探析[J].中學數學（初中版），2013（2）.endprint