例談“極端化策略”法在解題中的運用

沈岳夫

文[1]分別從退一步、轉視角、借數感、縝推演四個方面，闡述數學中考壓軸題的解題策略，筆者拜讀后受益匪淺.現結合筆者在教學實踐中積累的經驗，談談“極端化策略”在解題中的一些做法，以與同行交流.

1用“極端化策略”法探求函數關系中的變化規律

對動點產生的圖形和圖象的函數關系式問題，有時考慮極端情形，如量的最大、最小，圖形特殊位置或臨界位置等，能找到解題的突破口，從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法，進而確定函數關系的大致圖象.

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設AD=x，CE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系圖象大致是（）.

分析由于點D是AB邊上的一個動點，雖然不與點A、B重合，但我們可考慮其重合的情況，這樣把問題退到特殊情形.當點D與點A重合時，由于DE⊥DC，此時點E也與點A重合，則根據題意易求CE=AC=3；當點D在AB中點時，則CD=AD，∠ECD=∠DAC=30°，進而求得CE=233；當點D與點B重合時，由于DE⊥DC，此時點DE與AC平行，雖然x不能取到2，但y應該是無窮大.

解因為∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3.當x=0時，y的值是3；當x=1時，y的值是233；當x=2時，由于DE⊥DC，此時點DE與AC平行.雖然x不能取到2，但y應該是無窮大，故結合圖象，分析可知y與x的函數關系圖象大致是B.

點評本例直接處理，難度很大.但由于題目（包括已知條件、待求結論和圖形）中提取一些暗示信息，如D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合）退到特殊位置——重合，繼而對圖形進行定性、定量分析，將幾何圖形的直觀描述與代數的精確刻畫有機結合.這不僅找到了解題的切入口，而且迅速破解了問題的結論，并對此類問題的解決具有一定的導向作用.

2用“極端化策略”法探求線段比值中的定值問題

對于某些求解幾何圖形中的線段比值問題，若從所給圖形入手很難找到解題突破口.此時，我們若采用一些幾何變換手段，如平移、翻折、旋轉等，使某些圖形回歸到特殊位置，蘊涵在其中的數量關系和位置關系的便會由隱變顯，從而達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例2如圖2，四邊形ABCD和AEGH都是正方形，求GC∶HD的值.

分析觀察圖形，直接求GC∶HD的值確實不知道從何處入手.但注意到四邊形ABCD和AEGH都是正方形，我們不妨把圖2退到圖3的特殊位置，此時因為正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，所以∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，則A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，進而得HD=BE，因為AG=AEsin45°=2AE，AC=ABsin45°=2AB，所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE）=2BE=2HD，所以GC∶HD=2∶1.

解如圖4，連接AG、AC，因為AGAH=ACAD=2，所以AGAC=AHAD.又因為∠GAH=∠CAD=45°，所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH，即∠GAC=∠HAD，所以△CAG∽△DAH，所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

點評本例從正方形AEGH的一般位置旋轉到圖3的特殊位置，發現了GC∶HD=2∶1，并由此獲得解題的啟發，作出輔助線順利求解.這樣讓一個看似“靜態”的圖形通過旋轉，打破了思維定勢，實現由隱至顯、由生至熟、由深至淺、由難至易的化歸與轉化，這是把對抽象、一般問題的探究轉向對具體、特殊問題的探究，此謂“退一步，海闊天空”！

3用“極端化策略”法探求運動變化過程中的最值

對于某些數學問題，如果按照題意直接求解（證）有很大的困難，我們可以嘗試變換一個角度去看問題，先找出符合題意的特殊值、特殊圖形、特殊位置來進行試探，往往能得到啟示，找到解題的途徑.

例3如圖5，兩平行線l1、l2的距離等于6，點A為l1上一定點.以AC為直徑的半圓紙片的半徑等于4.將半圓紙片裁剪得到扇形紙片AOB，圓心角∠AOB=α.將此扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，并要保證點B能落在直線l2上，請求的最大值和最小值.

（參考數椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34.）

分析由于以AC為直徑的半圓紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，所以只要考慮兩種特殊情形：當OB⊥l2時，即點B是弧AB與l2相切的切點時，大到最大；當AB⊥l2時，達到最小值.

解當OB⊥l2時，α最大.如圖6，延長BO交l1于點C.因為l1∥l2，所以∠ACO=90°，所以cos∠AOC=COAO=12，所以∠AOC=60°，所以∠AOB=120°.

當AB⊥l2時，α最小.如圖7，過O作OH⊥AB交于點H.由垂徑定理，得AH=BH=3，所以sin∠AOH=AHAO=34，所以∠AOH=49°.因為α=2∠AOH，所以∠AOB=98°.

綜上所述，α的最大值和最小值分別是120°和98°.

點評本例看似較難入手，但由于扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，所以只要細心觀察、認真分析、積極思考，就能找到兩種特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2，進而求得的最大值和最小值，這種解決問題的方法思路稱為極端化策略.極端化策略在進行某些數學過程的分析時，具有獨特作用，恰當應用極端性原則能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，從而達到事半功倍的效果

4用“極端化策略”法探求運動變化過程中的不變量

從特殊到一般，從一般到特殊的思維方法是數學和其他科學領域中進行探索發現真理的重要途徑.對于那些結論不明或解題思路不易發現的問題，可先考慮特殊情形，探求解題思路或命題的結論，再給出一般情況下的證明，體現了以退為進，以屈求伸的解題策略.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數學中考壓軸題的解題策略[J].中學數學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數學中考壓軸題的解題策略[J].中學數學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數學中考壓軸題的解題策略[J].中學數學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint