一道圖形填數題的解法及拓展

趙銀梅+杜客君

題目把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和等于18.

（1）給出符合要求的填法；

（2）共有多少種不同填法？證明你的結論.

分析此題的一般性解法是設九個未知數，列6個方程，解決難度大.另一種常用方法就是采用試一試，運氣成分很大.這種類型題的解法一般應考慮最大的數或最小的數的擺放位置，問題便迎刃而解.

解（1）設用A，B，C，D，E，F，G，H，M分別代表這九個圈.

數字“1”不能填在A，B，C，D，E，F這六個圈內.由題意可知，三數之和等于18，1只能與8，9組合.因為“1”無論填在這6個圈中的哪一個圈內，數字8，9都會重復，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，則E與D這兩個圈中分別只能放8與9，不妨把9放到E中，則A與B分別只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.當A中放5時，因為D中放的8，所以C中放5，不合題意，故A中只能放4，則B中放5.根據同一邊上三個圈內之數的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.結果見圖2.

（2）因“1”可分別放入G，H或M中，由對稱性可知，每一種放法都有兩種不同的填法，3×2=6（種），所以一共有6種不同填法.

圖1圖2拓展把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，則這個和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三個數之和記為x；D，E，F三圈中的三個數之和記為y；G，H，M三圈中的三個數之和記為z；同一邊上三個圈中的三個數之和記為a.則有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因為1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

當a=12時，因為1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一種填法如圖3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

圖3圖4現留給讀者三個問題，請思考：

問題1：當a=13，14，15，16，17時，能把1，2，3，…，9，這9個數按上述要求填入圖1中嗎？

問題2：把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

問題3：把數字1，2，3，…，15分別填入圖4的15個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上四個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

作者簡介趙銀梅，女，巴中市第四批中青年數學骨干教師，多次榮獲縣、市數學賽課一等獎.對新課改教學，數學考試命題，數學解題方法探究等有一定研究，發表論文多篇.endprint

題目把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和等于18.

（1）給出符合要求的填法；

（2）共有多少種不同填法？證明你的結論.

分析此題的一般性解法是設九個未知數，列6個方程，解決難度大.另一種常用方法就是采用試一試，運氣成分很大.這種類型題的解法一般應考慮最大的數或最小的數的擺放位置，問題便迎刃而解.

解（1）設用A，B，C，D，E，F，G，H，M分別代表這九個圈.

數字“1”不能填在A，B，C，D，E，F這六個圈內.由題意可知，三數之和等于18，1只能與8，9組合.因為“1”無論填在這6個圈中的哪一個圈內，數字8，9都會重復，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，則E與D這兩個圈中分別只能放8與9，不妨把9放到E中，則A與B分別只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.當A中放5時，因為D中放的8，所以C中放5，不合題意，故A中只能放4，則B中放5.根據同一邊上三個圈內之數的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.結果見圖2.

（2）因“1”可分別放入G，H或M中，由對稱性可知，每一種放法都有兩種不同的填法，3×2=6（種），所以一共有6種不同填法.

圖1圖2拓展把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，則這個和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三個數之和記為x；D，E，F三圈中的三個數之和記為y；G，H，M三圈中的三個數之和記為z；同一邊上三個圈中的三個數之和記為a.則有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因為1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

當a=12時，因為1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一種填法如圖3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

圖3圖4現留給讀者三個問題，請思考：

問題1：當a=13，14，15，16，17時，能把1，2，3，…，9，這9個數按上述要求填入圖1中嗎？

問題2：把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

問題3：把數字1，2，3，…，15分別填入圖4的15個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上四個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

作者簡介趙銀梅，女，巴中市第四批中青年數學骨干教師，多次榮獲縣、市數學賽課一等獎.對新課改教學，數學考試命題，數學解題方法探究等有一定研究，發表論文多篇.endprint

題目把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和等于18.

（1）給出符合要求的填法；

（2）共有多少種不同填法？證明你的結論.

分析此題的一般性解法是設九個未知數，列6個方程，解決難度大.另一種常用方法就是采用試一試，運氣成分很大.這種類型題的解法一般應考慮最大的數或最小的數的擺放位置，問題便迎刃而解.

解（1）設用A，B，C，D，E，F，G，H，M分別代表這九個圈.

數字“1”不能填在A，B，C，D，E，F這六個圈內.由題意可知，三數之和等于18，1只能與8，9組合.因為“1”無論填在這6個圈中的哪一個圈內，數字8，9都會重復，所以“1”只能填在G，H或M中.

不妨把“1”放在G中，則E與D這兩個圈中分別只能放8與9，不妨把9放到E中，則A與B分別只能放2，7或3，6或4，5.放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5.當A中放5時，因為D中放的8，所以C中放5，不合題意，故A中只能放4，則B中放5.根據同一邊上三個圈內之數的和等于18，便可以推出C中填6，F中填7，H中填2，M中填3.結果見圖2.

（2）因“1”可分別放入G，H或M中，由對稱性可知，每一種放法都有兩種不同的填法，3×2=6（種），所以一共有6種不同填法.

圖1圖2拓展把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，則這個和的最大值是多少？最小值是多少？

解把填入A，B，C三圈中的三個數之和記為x；D，E，F三圈中的三個數之和記為y；G，H，M三圈中的三個數之和記為z；同一邊上三個圈中的三個數之和記為a.則有：

x+y+z=45，

z+3y+2x=6a，

2x+y=3a，解得：x=15，

y=3a-30，

z=60-3a.

又因為1+2+3≤y≤7+8+9，

1+2+3≤z≤7+8+9，

所以6≤3a-30≤24，

6≤60-3a≤24，解得：12≤a≤18

當a=12時，因為1+2+9=12，所以9只能放到G，H或M中.其中的一種填法如圖3所示：

所以和的最大值是18，最小值是12.

圖3圖4現留給讀者三個問題，請思考：

問題1：當a=13，14，15，16，17時，能把1，2，3，…，9，這9個數按上述要求填入圖1中嗎？

問題2：把數字1，2，3，…，9分別填入圖1的9個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上三個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

問題3：把數字1，2，3，…，15分別填入圖4的15個圈內，要求△ABC和△DEF的每條邊上四個圈內數字之和相等，一共有多少種不同的填法？

作者簡介趙銀梅，女，巴中市第四批中青年數學骨干教師，多次榮獲縣、市數學賽課一等獎.對新課改教學，數學考試命題，數學解題方法探究等有一定研究，發表論文多篇.endprint