源于教材 高于教材

余獻虎+胡興余+周勝利

很多學業考試題源于教材，又高于教材.本文通過反芻2014年初中畢業生學業考試（衢州卷）數學試題卷23題的命制過程，探討從不同角度挖掘試題內涵，命題創新試題的方法.

1“源”題分析

該題“源自”浙教版義務教育教科書數學八年級下冊127頁第4題.題目如下：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

試題特征：

①結論：AE=BF.便于等量代換；

②條件：AE⊥BF.連結EF，FA，則S四邊形ABEF=

12AE2.

2基本變式

“源”題核心結論是夾在正方形兩組對邊之間的垂線段相等.在源題基礎上最常見變式是：如圖2，在正方形ABCD中，E，F，H，G分別是BC，CD，DA，AB上的點，HE⊥GF，AE與BF還相等嗎？說明理由.

這是平移變換，問題解決策略可由“源題”直接類比得到.需要添加的輔助線，旨在考查考生知識遷移能力.

3討論分析

試題還能從哪些方面再變衍和延拓呢？

分析：①“AE⊥BF”的垂足，可從正方形內任意點移至正方形中心、正方形對角線上、正方形邊上（包括正方形頂點）；②點E，F，H，G的位置，可在相應邊或邊的延長線上.辨明這些變化，利于發現試題變衍視角.

變衍一垂足為正方形頂點.如圖3，點G是正方形ABCD的邊AB所在直線上一點，DE⊥DG交邊BC所在的直線于點E，求證：DG=DE.

該變實質是一塊直角頂點與點D重合的直角三角板繞著點D旋轉，則直角三角板的直角邊與正方形的邊AB，BC所在直線的交點到頂點D的距離相等.但圖3沒有圖1簡潔.

變衍二垂足為一邊上的點.如圖4，點H是正方形ABCD的邊AD上一點，點G在邊AB所在的直線上，GH的延長線與邊CD所在的直線交于點F，HE⊥GF交邊BC所在的直線交于點E，求證：GF=HE.

變衍三垂足在正方形外.如圖5，點O是正方形ABCD外一點，過點O的直線與邊AB，CD所在直線交于點G，F，過點O作OE⊥GF，交AD，BC所在的直線于點H，E，除正方形ABCD各邊相等外，圖中還有那些線段一定相等（不添加字母，也不連線），說明理由.

變衍四垂足為正方形中心.如圖6，顯然GF=HE，四邊形EFHG是正方形，正方形ABCD被分成四個全等的四邊形.

這樣，試題又回到了浙教版義務教育課程標準實驗教科書數學八年級下冊第158頁第11題.

根據上述變衍可知，夾在正方形兩組對邊之間的垂線段相等.編制利用這一結論解答的數學試題，可以實現試題的再次延拓.

延拓一針對變衍二.

連結FE.設AB=12，HD=3，BE=x，四邊形BEFG的面積是y，當0≤x≤12時，求y關于x的函數解析式.

解法一如圖7，連結GE，作EI⊥AD，垂足為I，可證△EIH∽△HAG，所以，IHAG=IEAH，代入化簡得，AG=274-34x，即BG=754-34x.由勾股定理得，HE2=IE2+HI2=（9-x）2+122=x2-18x+225，由題意得y=12BE.EG+12HE2，所以，y=18x2+38x+2252.

解法二作EI⊥AD，垂足為I，利用△EIH∽△HAG表示AG，利用△EIH∽△HDF表示DF，則y=S梯形BCFG-S△ECF=18x2+38x+2252，完成解答.

學以致用是關鍵.兩種方法，不過于狹隘，又能與結論接合.

延拓二針對變衍三.

如圖8，設GF與AD交于點M，若AB=12，OA=AG=23，∠OAD=30°，求DF，BE的長.

解答中需運用等邊三角形性質、含30°角的直角三角形的性質、全等三角形性質等核心知識，這些延拓旨在培養學生獨立、開拓、創新的自我數學思考力.

延拓三針對衍生圖.

如下圖所示，設EH⊥GF的垂足O在正方形ABCD內，且E，F，H，G分別在邊BC，CD，DA，AB上.

思考一如圖9，是否有結論S四邊形OHAG+S四邊形OECF=S四邊形OGBE+S四邊形OFDH成立呢？若成立，請證明；若不成立，請舉一個反例.

圖1就是最好的反例.

思考二如圖10，連結GH，EF，若陰影部分恰好是“蝴蝶”圖案（△OGH≌△OEF），點O必在BD上，請證明.

思考三如圖11，若GH∥EF，陰影部分是“幸運瓶”圖案.當AB=a，HO∶EO=m時，陰影部分面積之和與a之間有怎樣的數量關系呢？請用含a、m的代數式表示.

這些思考，都圍繞著“當EH⊥GF時，EH=GF”展開，提升了試題的創新力.

延拓四針對變衍四.

如圖12，正方形ABCD的邊長為a，點G，E，F，H分別在AB，BC，CD，DA上，且DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH.問AH長為多少時，四邊形GEFH面積有最小值？求出這個最小值.

依據該題，可作如下思考：

思考一：滿足上述關系的EH，FG能相等嗎？說明理由.

思考二：若把“DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH”改為“DF=2AH，CE=4AH，BG=3DH”，EH，FG能相等嗎？說明理由.

思考三：在“思考二”中，EH，FG能垂直嗎？說明理由.

思考三需逆向思維，考查學生化歸思想.

4建議選擇

基于上述分析的選題方向.

4.1針對圖3，沒有圖1簡潔.

意見接近旋轉變換，新點不夠，從教材出發的立足點也看不見.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設順次連結點A，T，F，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關于x的函數解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關系，與教材對應結論“OE=GF”聯系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F為邊AD上一動點，設AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關于t的函數關系式，并求S的最小值.

意見題干與設問不配套，數學思想和方法體現不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學生，重基礎，保07，突出終結性考試功能，但圖形和字母順序不統一；（3）問要突出學業考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設問使試題呈現活潑的一面.考查了正方形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質與判定、勾股定理等內容，需要在（2）問的引導下添加適當的輔助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰性.

5反思

《義務教育數學課程標準（2011版）》既強調“使數學教育面向全體，人人都能獲得必需的數學”的基礎觀、普及觀，也強調“不同的人在數學上得到不同的發展”的差異性和發展觀.后者要求試題不僅應“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應具有可開拓性、可創新性，有新的生長點，還要有活躍度

學業考試強調“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導教學回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現數學方法和數學思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學業考試難度系數07的要求.作為23題的（3）問，還要體現其選拔功能.這就要求該處的設問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關系和等腰直角三角形的性質，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設順次連結點A，T，F，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關于x的函數解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關系，與教材對應結論“OE=GF”聯系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F為邊AD上一動點，設AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關于t的函數關系式，并求S的最小值.

意見題干與設問不配套，數學思想和方法體現不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學生，重基礎，保07，突出終結性考試功能，但圖形和字母順序不統一；（3）問要突出學業考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設問使試題呈現活潑的一面.考查了正方形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質與判定、勾股定理等內容，需要在（2）問的引導下添加適當的輔助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰性.

5反思

《義務教育數學課程標準（2011版）》既強調“使數學教育面向全體，人人都能獲得必需的數學”的基礎觀、普及觀，也強調“不同的人在數學上得到不同的發展”的差異性和發展觀.后者要求試題不僅應“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應具有可開拓性、可創新性，有新的生長點，還要有活躍度

學業考試強調“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導教學回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現數學方法和數學思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學業考試難度系數07的要求.作為23題的（3）問，還要體現其選拔功能.這就要求該處的設問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關系和等腰直角三角形的性質，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint

4.2針對圖4，看不出圖1的影子，有新點.

嘗試編題：圖13如圖13，已知點P是邊長為4的正方形ABCD的邊CD的中點，點T是邊AB上由A向B運動的動點.設AT=x（0≤x≤4），過P作EF⊥PT，交AD（或AD的延長線）于E，交BC（或BC的延長線）于F.連結TE，TF.

（1）求證：△TEF是等腰三角形；

（2）當x為的值時，TB=BF？

（3）當點T在邊AB上由A向B的方向運動時，設順次連結點A，T，F，E圍成的多邊形的的面積為S，求S關于x的函數解析式，并求出S的最小值.

意見（1）問巧用中點搭橋，證明“△EFG是等腰三角形”起點偏高，入口偏窄；（2）問借用（1）問中的“腰”列方程；（3）問考查割補法表示面積關系，與教材對應結論“OE=GF”聯系不緊密，價值不突出.

4.3源題圖形簡潔，暗藏平移變換和類比思想

嘗試編題：如圖14，在邊長為12的正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且AF⊥BE.

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且EF⊥HG.EF與HG是否相等？并說明理由.

（3）若E為BC的中點，F為邊AD上一動點，設AF=t，順次連接E、G、F、H，四邊形EGFH的面積為S，求出S關于t的函數關系式，并求S的最小值.

意見題干與設問不配套，數學思想和方法體現不夠，陳題味重，沒有亮點.（1）、（2）問面向全體學生，重基礎，保07，突出終結性考試功能，但圖形和字母順序不統一；（3）問要突出學業考試的選拔功能，而這里僅用S=12EF2，難度、區分度不夠.建議把（3）問變新穎、活潑，要能考查核心知識和核心思想，要更有思維量.

4.4（3）問選擇

研討后選定圖11“幸運瓶”為（3）問背景圖，編題如下：

如圖16，在正方形ABCD中，點G，E，F，H分別在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求陰影部分的面積.

意見：能凸顯“HE=GF”這一結論的作用和價值，以“幸運瓶”為背景的設問使試題呈現活潑的一面.考查了正方形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質與判定、勾股定理等內容，需要在（2）問的引導下添加適當的輔助線，要求考生要有較強的綜合能力，考查了該學段的核心知識和核心思想，符合全卷23題第三問的位置特征和難度要求.

4.5試題定稿

多次研討、修改后，定稿.試題如下：

提出問題：

（1）如圖17，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上.若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH.

類比探究：

（2）如圖18，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由.

綜合運用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求圖中陰影部分的面積.

意見試題源于教材，起點低，難度循序漸進，前問為后問的解答鋪墊.（3）問需要用到兩次相似，才能求得AF長并證得OFOE=OHOG=12，進而證得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF長的前提下，利用（2）中的結論，求得陰影部分面積.該問思維量大，有挑戰性.

5反思

《義務教育數學課程標準（2011版）》既強調“使數學教育面向全體，人人都能獲得必需的數學”的基礎觀、普及觀，也強調“不同的人在數學上得到不同的發展”的差異性和發展觀.后者要求試題不僅應“源于教材”，最終要高于教材.由此想到：

5.1有價值的教材素材，應具有可開拓性、可創新性，有新的生長點，還要有活躍度

學業考試強調“以本為本”，后面這個“本”就指教材.選用教材，旨在引導教學回歸本源，以教材為本作試題的改造整編，移植借鑒工作，實現數學方法和數學思想的升華.

當然，素材可改編，意味著素材具有可操作性，可開拓性，可創新性，有新的生長點，還要有較強的活躍度.本題中垂足的位置、圖形的變換都呈現了這些屬性.

說到活躍度，有一小插曲.早晨，我躺在床上記錄前一天心得與反思時，胡老師突然說“昨晚沒蚊子吧.我開了空調，溫度低，蚊子就不活躍了”.我突然悟明，對于有價值的教材素材，還要有“活躍度”.

5.2推“陳”還要出“新”

好的教材素材，往往有“陳”的一面.這“陳”的一面，顯示問題低起點，符合學業考試難度系數07的要求.作為23題的（3）問，還要體現其選拔功能.這就要求該處的設問推“陳”還要出“新”.

本卷23題（3）問從“幸運瓶”的平行線與相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”這對關系和等腰直角三角形的性質，依次求出AF，EF，OF，OE的長，直至求得陰影部分的面積.（3）問一洗陳舊，給人全新感受，實現了試題“源于教材，高于教材”的目標.endprint