對學生數學問題表征能力的培養

俞昕

筆者在研究2014年高考試題時，曾對全國大綱卷的第21題進行過一番思考. 原題呈現：已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且QF=PQ.（I）求C的方程；（II）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

第（I）小題在此不作詳細闡述，筆者在做了第（II）小題后再去翻看標準答案，希望標準答案能夠給出更簡單、精彩的解答，但標準答案的解答與筆者的思路一致. 之后筆者又去翻閱了各類數學期刊，希望能從中找到另一種解決途徑，結果也是無功而返.于是，筆者就反思，是否此題真的只有“華山一條路”？

一、簡單分析“標準答案”

設直線l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程y2=4x，消元得y2-4my-4=0，設點A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2=4m，y1y1=-4.由弦長公式可得AB=4（m2+1）與AB的中點P（2m2+1，2m）.設直線MN：y-2m=-m（x-2m2-1），代入拋物線方程y2=4x消元得y2-y-8m2-12=0，設點M（x3，y3），N（x4，y4），則有y3+y4=-，y3y4=-8m2-12.由弦長公式可得2R=MN=，并且得到MN的中點E（+2m2+3，-），可計算出EP.最后由勾股定理=EP+可算得m的值.

二、另辟蹊徑“表征剖析”

以上標準答案解答過程的運算量主要集中在弦長公式的運用與計算上，涉及四點共圓的問題，一般不可避免地就想到弦心距直角三角形中勾股定理的運用.但事實上，我們退回來想一下，A，M，B，N四點共圓，且以MN為直徑，最直接的不是勾股定理，而是“直徑所對的圓周角為直角”，也即是AM⊥AN與BM⊥BN，垂直問題往往轉化為向量的數量積為0，即·=0和·=0.設A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4），則有=

（y3+y1）（y3-y1），y3-y1，

=

（y4+y1）（y4-y1），y4-y1，于是可得

（y3+y1）（y3-y1）（y4+y1）（y4-y1）+（y3-y1）（y4-y1）=0，

化簡得（y3+y1）（y4+y1）=-16. 同理由·=0，可得（y3+y2）（y4+y2）=-16. 可得（y3+y1）（y4+y1）=（y3+y2）（y4+y2），展開之后化簡得（y3+y4）+（y1+y2）=0，將y1+y2=4m，y3+y4=-代入，得m=±1.

此種解法的優勢在于只需用到y1+y2=4m和 y3+y4=-，避免了弦長公式的復雜計算.

三、反思回顧“表征優勢”

讓我們反思此題的兩種解法，其實是“四點共圓”的兩種不同的表征形式.表征是信息在人腦中的呈現和記載的方式.根據信息加工的觀點，當人對外界信息進行加工（輸入、 編碼、 轉換、存儲和提取等）時，這些信息在頭腦中得以表征.表征是客觀事物的反映，又是被加工的客體.同一事物，其表征形式不同，對它的加工也不同.表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦中是如何呈現的， 如何表現出來的.問題表征是指解題者通過審題，認識和了解問題的結構；通過聯想， 激活頭腦中與之相關的知識經驗，從而形成對所要解決的問題的一種完整的印象.以上述高考題中直線與拋物線的交點坐標表征為例，從點的角度表征A（x1，y1）和B（x2，y2）；從直線的角度表征A（my1+1，y1）和B（my2+1，y2）；從拋物線的角度表征A（，y1）和B（，y2）；從公共點的角度表征x=my+1，

y2=4x.根據問題的條件，可以選取不同的表征形式以達到解決問題優化的目的，比如對照上述高考題的兩種解法，標準答案選擇了設點A（x1，y1），B（x2，y2）與點M（x3，y3），N（x4，y4）的表征方式，而筆者的解法采用了設A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4）的表征方式.這不由得讓筆者想到蘇軾的一句詩：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.”同一個數學問題，從不同的角度看，采用不同的表征形式，它會顯現出不同的效果來，不同的表征形式有不同的典型性與優越性.

四、重視培養“表征能力”

從以上的分析看，如何培養學生的數學問題表征能力、幫助學生選擇適宜的表征形式自然就是數學教學中一個非常重要的任務.

（一）引導學生對數學問題進行多維表征

在課堂教學中教師要注重引導學生把握表征取向，加強問題表征的表達訓練，提高問題表征的準確性.如在學生數學概念形成的教學階段，教師要有針對性地創設情境，使問題表征盡可能和數學概念原型相匹配，幫助學生加深對數學概念的理解和促進學生對數學知識的建構.在將數學問題展現給學生的時候，要注重創設學生思考、探究問題的時空，為學生問題的解決提供“問題表征”的充足時間，同時還要重視展示學生問題表征的思維過程，分析表征中的錯因，提取和激活其合理成分，讓學生自覺對其思維過程做出調整，修正、完善問題表征.問題多維表征是解題思路產生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準確的符號表征是問題解決的信息儲存和加工過程的有效表現形式，適當的圖表表征有助于問題的形象直觀思考，合理的模式表征有助于簡約問題解決的思維長度.在教學過程中，教師要運用啟發性提示語：“你能否根據自己的聯想用適當的方式將問題進行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問題的表征形式，調整解題思維方向？”激活學生原有的知識塊，通過聯想，誘發學生進行多維表征，并能根據解題的需要與情境的變化做出靈活的轉換.

（二）有意識地培養學生說數學的能力

說數學就是讓學生在教師指導下，靈活運用數學語言和普通語言說自己對數學概念的理解，說定理的結構和作用，說命題的構成，說問題思考方向、解決的方法、解決的關鍵，說所用的思想方法，說由問題啟發而來的思考、想法，說在問題中運用的設想，說探索中的體會和困難等.對同一個數學問題，不同的學生會產生不同的看法，教師自身由于受多年教學思路定式的影響，也未必能面面俱到，想到學生的所有思路與對問題的表征.因此我們需要讓不同的學生來“說數學”，展示不同學生對同一問題的不同表征，這些表征或正確或錯誤、或簡潔或煩瑣，但都無不透露著學生對數學問題的獨特的、個性化的解讀.這樣可以彌補教師一個人唱獨角戲、無法顧及不同層次學生表征問題能力的不足，讓學生更多層面、更廣泛地接觸數學問題的多種表征形式，能夠拓寬學生的視野，突破思維定式.

（三）在數學教學中揭示數學原理的產生過程

問題表征的過程是解題者根據題目提供的信息構建自己問題空間的過程，一個基本數學原理往往對應一個問題空間，同一個題目根據不同的數學原理往往與若干個等價的問題空間相對應.但不同的問題空間相應的解題煩難程度不同，這就需要解題者應具備一定的直覺洞察力.而直覺洞察力是建立在學生對數學原理掌握的基礎上的，數學原理教學應揭示原理產生的過程.不少教師重解題訓練，將教材中呈現的基本原理或讓學生自習，或簡單說明，最大限度地壓縮了原理形成過程的教學，用張奠宙先生的話說就是“掐頭去尾燒中段”.如果原理教學不注重學生對原理產生過程與應用的體驗，學生是很難真正掌握數學原理的.學生如果沒有對數學原理的透徹理解，在解決數學問題時就無法形成明晰的與相應原理相匹配的數學問題空間.教師在課堂上不吝嗇時間讓學生充分體驗數學原理的產生過程，學生就能在頭腦中形成與問題相關的優良的認知結構，優良的認知結構應該是層次分明的觀念網絡結構，即學生對相應知識的理解已經從“工具性理解”上升至“關系性理解”，進而上升至“觀念性理解”的層次，那么學生自然就能具備選擇優越的問題表征形式來解決數學問題的能力.endprint