2015年一道中考模擬壓軸題的命制過程及思考

☉廣東省深圳市龍華新區教育科學研究管理中心 林日福

2015年一道中考模擬壓軸題的命制過程及思考

☉廣東省深圳市龍華新區教育科學研究管理中心 林日福

在2015年中考的一次模擬考試的試題里，筆者命制的壓軸題深受老師們的好評，下面筆者談談這道題的命制過程，與讀者共享.

一、命題意圖

根據本次模擬考試命題的整體構想，結合《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的變化及本地中考改革實際，筆者擬定此題的命題思路為：以直線型幾何圖形為背景，通過點（或線）的運動，綜合考查特殊多邊形、特殊三角形、全等（相似）三角形、圓、方程、函數等核心知識，以及分類討論、轉化與化歸、合情推理與演繹推理等數學思想與思維方法.在難度與創新上，既要發揮壓軸題的選拔性功能，同時也要考慮模擬試題的特點，檢測學生對初中數學核心知識、方法與思想的掌握情況，以及在數學學習過程中所積累的基本數學活動經驗，幫助師生檢查復習備考效果，樹立中考備考的信心，以指導師生中考前的備考復習.

二、命題過程

近幾年來，將特殊多邊形與平面直角坐標系、函數等知識相結合的探究性問題，考查圖形運動過程中特殊圖形的存在性問題、圖形關系（全等、相等、面積等）問題、路徑最值問題等，是全國各地中考命題的熱點之一.于是，筆者在命制本壓軸題時，將平行四邊形放置于平面直角坐標系中，嘗試通過增添新的圖形元素，變化新的條件與結論，尋求命題的思路.

平行四邊形具有什么樣的性質呢？它與三角形、其他特殊四邊形之間有什么樣的關系呢？該把平行四邊形放置在平面直角坐標系的什么位置呢？圓的圓心是放置在平行四邊形的一邊上還是它的對角線上呢？半徑是變量還是常量合適呢？如何考查分類討論、方程思想、推理思想等數學思想方法呢？……在命題前，筆者認真思考了上述問題.在經過多次的畫圖、思考、計算等嘗試過程后，得到題1.

題1：如圖1，已知平行四邊形ABCD中，A（-1，0），D（0，3），B（3，0），點P是直線OC上一點．

（1）點C的坐標為_________；

（2）以P為圓心，OP為半徑作⊙P，求當⊙P與直線AD相切時⊙P的半徑；

圖1

（3）求當△PCD為等腰三角形時點P的坐標．

思考：題1的優點是圖形與語言描述都非常簡練，可以降低學生的閱讀困難.試題考查了平行四邊形、等腰三角形、相似三角形、圓、坐標幾何等圖形的有關性質與判定，解答時運用了方程思想、分類討論、數形結合等數學思想與解題方法.從考查的數學知識與思想方法來說，已基本達到壓軸題的命制要求.

這樣，從新意入手，不超越《標誰》的要求，讓試題更具有層次性，對“題1”進行修改勢在必然.

對于第（2）小題，筆者多次改變圖中直線AD、OC的函數表達式，但都無法避免出現分母有理化的計算.于是，想把圓心放在直線AD上，也許能走出這個困境呢.

圖2

為了改進第（3）小題，筆者重新翻閱近幾年全國各地中考試卷的壓軸題，發現?？嫉囊粋€基本圖形（如圖2），此圖中，當點E在BC上運動時，如果保持“三垂直”不變，則總有△ABE∽△ECD，并且存在某個特殊位置，使得圖中三個直角三角形兩兩相似.于是，在試題中隱含這個基本圖形，便成為命題的一個新的思考，從而得到“題2”.

圖3

（1）點C的坐標為_________；

（2）以線段AD的中點M為圓心作⊙M，當⊙M與直線CE相切時，求⊙M的半徑；

思考：題2的主干突出了對初中階段重點知識（坐標與函數）的考查.在第（2）小題里，把圓心的位置改為線段AD的中點后，試題的難度有所降低，讓試題顯得更有層次性，同時問題解決的思路方法也更豐富了，更能突出對不同學生的考查功能，這是命制解答題所必須考慮的要素之一.

圖4

圖5

如果仍是考查等腰三角形的知識呢？這也是近年來中考命題的一個熱點.對于等腰三角形，除了“題1”那樣考查外，還有沒有其他的考查路徑呢？筆者聯想到一道中考題：

（2010年咸寧）如圖6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C—D—A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A—C—B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當t=0.5時，求線段QM的長；

（2）當0

（3）略．

此題第（2）小題，P、M兩點運動引起了△CPQ的形狀發生變化.運用幾何畫板工具發現，當點P在線段CD上時，△PEQ在一般直角三角形與等腰直角三角形之間轉換.結合之前的思考，借鑒此題，對第（3）小題進行了如下的改進.

圖7

圖6

題3：題干及第（1）、（2）小題同上.

（3）如圖7，點P從點O出發，沿線段OC向終點C運動，點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動，過點P作PR⊥CD于點R．若P、Q兩點同時出發，速度均為1單位長度/s，時間為ts．當點Q到達終點時，兩點均停止運動．當△PQR是等腰三角形時，求t的值．

思考：此題已接近筆者命題的初衷：考查動態幾何問題，在P、Q兩點運動過程中，出現點Q在PR的右側與左側兩種可能，考查了分類討論的思想方法.與此同時，為了求t的值，需根據△PQR是等腰三角形這個條件來建立方程，考查了方程思想.但細細品味，如此改動仍欠缺新意，學生的解題思路依然會落入俗套，難度上也略顯不夠.另一方面，線段BC在整道題中沒顯作用，但出于對整個試題的考慮，筆者仍然希望能考查平行四邊形的有關知識.為尋求命題上的突破，筆者借用幾何畫板工具，嘗試將△PQR以點P為旋轉中心進行旋轉，然后觀察點Q及點R的位置變化.在將△PQR沿順時針方向旋轉90°時，發現，隨著時間t的變化，存在點Q分別落在x軸、BC、CD上三種可能，這樣便可考查分類討論的思維方法，而且解答過程還隱含對圖2的理解，也同時考查等腰三角形、全等三角形、相似三角形、方程思想等知識與數學思想方法，于是新的想法形成了.進一步分析，點R在旋轉過程中并沒有什么實質性的作用，反而增加圖形的復雜程度.特別是，當畫出由△PQR旋轉后的三角形時，整個圖形更復雜了，大大增加學生的閱讀與解題困難，這對整道題的解答是不合適的.

成題：如圖8，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點D，與直線交于點E．過點D作DC∥x軸，交直線于點C，過點C作CB∥AD交x軸于點B．

圖8

（1）點C的坐標是_________；

（2）以線段AD的中點M為圓心作⊙M，當⊙M與直線CE相切時，求⊙M的半徑；

（3）如圖9，點P從點O出發，沿線段OC向終點C運動，點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動．若P、Q兩點同時出發，速度均為1單位長度/s，時間為ts．當點Q到達終點時，P、Q兩點均停止運動．將線段PQ繞點P沿順時針方向旋轉90°后，設點Q的對應點為R．當點R落在四邊形ABCD一邊所在的直線上時，求t的值．

圖9

三、閱卷反饋

分析閱卷結果，此題的零分率為25.25%，滿分率為0.6%，難度系數為0.25.說明此題較好地達到了兼顧中考命題的水平檢測與選拔性考試的雙重功能，基本達到預期目標.

1.解法豐富

閱卷過程中，發現學生解答第（2）小題的主要方法有以下幾種.

方法一：過點M作MH⊥CE于點H，過點D作DF⊥CE于點F，通過求△CDE的面積求出DF，再根據△EMH∽△EDF可求出半徑MH.

方法二：猜想點M在∠AOC的平分線上，這樣當⊙M與直線CE相切時，⊙M也與x軸相切，⊙M的半徑就易求了，問題轉化為證明點M在∠AOC的平分線上.

方法三：過點M作MH⊥CE于點H，作MN∥x軸交CE于點N，由△EMN∽△EDC求出MN，再由△MNH∽△ODC可求出半徑MH.

方法四：過點M作MH⊥CE于點H，過點B作BF⊥CE于點F，通過求△OBC的面積求出BF，再由△EMH∽△CBN可求出半徑MH.

方法五：過點M作MH⊥CE于H，先求出直線MH的函數表達式，再通過解方程組求出點H的坐標，進而利用勾股定理求出半徑MH.（注：此方法需用到kMH·kOC=-1、兩點間的距離公式等解析幾何知識）

……

2.典型問題及錯誤

第（1）小題無法把點C的縱坐標與點D的縱坐標聯系起來，因而沒想到可把點D的縱坐標代入直線OC的函數表達式來求得點C的坐標.

第（2）小題受圖形影響，直觀認為⊙M一定同時與x軸相切，于是不加證明地直接認為⊙M的半徑就是點M的縱坐標值.

第（3）小題主要困難在于：P、Q兩點在平移過程中還進行旋轉變換，無法正確畫出圖形，或無法與熟悉的基本圖形構建聯系，或分類不全等.

四、幾點感悟

1.試題的命制要基于課程標準與學生的認知水平

《標準》不僅是教材編寫、課堂教學內容選擇的依據，同時也是教學質量檢測、教學評價的依據.標準對書面檢測的要求有：“對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握課程內容中的要求.要注重考查學生對雙基中蘊含的數學本質的理解.在設計試題時，應淡化特殊的解題技巧.……”［1］因而，立足《標準》，不超越《標準》的要求，突出核心知識的檢測，幫助學生樹立數學學習的信心，培養學生養成良好的數學學習品質，這是命制各類考試試題的基本要求.作為中考模擬試題的壓軸題，雖然要求在考查雙基的基礎上，更需要能突出對學生分析問題與解決問題能力的檢測，要能突出對學生數學思維能力與思維水平的檢測，以及其在當地中考備考中的“模擬”功能.但是，無論是命題內容還是解答過程中用到的數學知識與方法等，都必須以不超越標準的要求作為前提，以免導致教師人為地添加教學內容，增加學生的學業負擔.與此同時，《標準》還指出：“學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學.……幫助學生認識自我、建立信心.”［1］這要求試題命制還應考慮當地學生的實際認知水平，讓大部分學生都能動手做，以免出現命制出的題看起來是“好題”，考試時卻是“廢題”的現象.

2.壓軸題的命制要突出核心知識與數學思想方法

我們知道，函數是“數與代數”的重要內容，圖形變換是“圖形與幾何”的重要內容，它們都是義務教育階段學生比較難理解和掌握的數學概念之一，蘊含數形結合、分類討論、方程思想、推理思想、函數思想等初中數學常見的思想與解題方法.因此，將圖形變換、坐標與函數結合在一起，也就成為全國各省市中考命題的熱點與重點.作為中考的模擬試題，也應緊靠中考命題的熱點，以能給師生的中考復習起指導作用.

在初中階段的函數知識中，一次函數既是學生最為容易理解掌握的基本函數，也是研究其他兩類函數的起點.本題以平面直角坐標系、一次函數作為背景，將直線型幾何、圓等知識有機融合在一起，既突出對重點概念“相切”、“平移”、“旋轉”、“函數”等知識的考查，又能對數形結合、分類討論、方程思想、推理思想、模型思想等數學思想與解題方法進行檢測，還可檢測學生的空間想像能力、幾何直觀能力與數學問題探究能力.

3.壓軸題的命制需要在創新上立意

培養學生的應用意識、創新意識，不僅可以通過課程內容的選擇與實施來實現，同時，在書面測驗中，通過試題的創新，也可以達到培養學生的應用意識與創新意識的目的.況且，在當今教育環境下，試題的創新更是發揮著重要的作用.分析近幾年全國各地的中考題，富有新意的試題時有出現，體現命題者對課程標準的深刻理解，對學生終身發展的切切關注.

本題將圖形的平移與旋轉有機融合在一起，將探究操作內隱于問題之中，考查了學生的空間想像能力與直觀思維能力.學生在探索問題解決過程中，日常解題所形成的解答“等腰三角形”、“直角三角形”、“特殊四邊形”、“相似三角形”、“路徑最值”等常見問題的“解法套路”，已難以發揮作用.更需要的是學生回到探索問題解決的原點，在分析題意與理解相關概念的基礎上，從圖形的關系入手，充分發揮自身思維的想像力，通過畫圖（畫出平移與旋轉后滿足條件的圖形）、析圖（分析圖形之間的位置與數量關系）、解答（根據數量關系列出方程或函數關系式，進而求解）等問題探究環節，突破思維的瓶頸，進而使問題得以順利解決.這樣，試題更關注了學生對數學核心概念與重要數學思想方法的理解及問題探究策略的掌握等諸多數學素養.

與此同時，為命制好的試題，需要命題者平時積累大量的命題素材，要對命制出的問題有一種“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的情懷，精益求精，不斷雕琢，才能命制出真正突顯數學核心知識，突出數學核心思維，能充分檢測學生數學綜合素養的試題.

1.中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［M］．北京：北京師范大學出版社，2001．

2.葛建華，施?。?014年寧夏中考壓軸題的命制過程及反思［J］．中國數學教育（初中版），2015（5）.Z

圖5

問題（1）、（2）學生容易求解，難點在于第（3）問．

生10：對比前面的四個知識源，由于四邊形ABCD是一般四邊形，又不知任何邊的長度，所以我首先排除了知識源3、4；但要把四邊形ABCD轉化為與之等積的中心對稱圖形也不容易，故最終定位于用知識源2解決，即把四邊形ABCD轉化為與之等積的三角形，再作出三角形的中線即可．既然要轉化為三角形，我想到連接對角線AC，把四邊形ABCD分成△ABC和△ACD，下面只需在DC的延長線上找個點E，構造出與△ABC等積的△ACE即可．受第（2）問啟發，我想到過點B作BE∥AC，交DC的延長線于E，連接AE，如圖6，問題（3）便迎刃而解了．

圖6

評注：本環節主要追求“以題會類”的習題教學最高境界，著重培養學生解決問題的綜合學力．特別是通過例1的解析，為學生今后處理“圖形面積一線等分問題”提供了一個分析范本，極大地提升他們解決此類問題的能力．

隨后，筆者又以2010年陜西中考第25題、2010年山東棗莊第25題和2013年陜西中考第25題（限于篇幅，題目略）作為課后練習題，以便學生及時鞏固、消化和吸收．

四、寫在最后

與傳統的復習課相比，基于知識轉化下三步式專題復習課至少有以下特點：首先，提高了課堂效率．棄用那些學生早已會做的基礎題，既避免學生做低效的重復訓練，又有時間更好地分析解題思路的形成過程和掌握同一類型問題的處理方式，從而加強了過程教學，達到了“以題會類”的習題教學最高境界，極大地提高了課堂效率.其次，注重了學法指導．基于知識轉化下的追根溯源，不僅可以讓學生明確同類問題的解題方向和處理策略，更重要是改變學生的思維方式，滲透了轉化思想，提升了分析問題和解決問題的能力.最后，突出了面向全體．一方面，由于學生在知識基礎和思維方式上存在較大的差異；另一方面，由于習題教學大多停留在“怎樣做”的層面，以為聽“懂”了就“會”了，至于“為什么這樣做（即怎么想到這樣做）”缺少反思，導致“一聽就會，一做就錯”的現象層出不窮．所以每當有同學給出正解后，筆者總要追問“你是怎么想到的”，力求讓每個學生不僅知道“怎樣做”，更明白“為什么這樣做”，即“知其然更知其所以然”，從而讓學生學會思考、學會分析、學會轉化，把分析問題和解決問題的能力培養真正落到實處．H