由“教師提出問題”走向“學生提出問題”
——芻議初中數學教學中如何引導學生發現和提出問題

☉北京市樓梓莊中學 張 東

由“教師提出問題”走向“學生提出問題”
——芻議初中數學教學中如何引導學生發現和提出問題

☉北京市樓梓莊中學 張 東

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，通過義務教育階段的數學學習，學生要“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，然而在當前的初中數學課堂教學中，卻普遍存在著重“分析和解決問題”，輕“發現和提出問題”的教學傾向.究其原因，一是教師對“發現和提出問題”教學活動的教育價值重視不夠，二是對“發現和提出問題”的含義理解不清，三是對課堂教學中怎樣引導學生自己發現和提出問題缺乏可操作的方法.本文將從這三個方面淺談自己的一些認識和思考.

一、發現和提出問題教學活動的教育價值

1.發現和提出問題的教學活動是培養創新能力的重要切入點

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習所需要的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用.”而發現和提出問題能力既是創造力的重要部分，也是創新性人才的重要特性.美國教育工作者在長期教育實踐中總結出10條判斷和評價學生創新能力的標準：（1）善于觀察，并能用類比、推理的方法表述；（2）敢于對權威性的觀點提出疑問；（3）凡事喜歡尋根究底，弄清事物的來龍去脈；（4）能耐心聽取別人的見解并從中發現問題或受到啟發；（5）能發現現象之間的邏輯關系；（6）對新鮮事物充滿好奇心；（7）凡遇到問題總是喜歡在解決方法上另辟蹊徑；（8）具有敏銳的觀察能力和提出問題的能力；（9）總能從問題解決中發現成功的啟示；（10）在學習上常有自己關心的研究課題.顯然這其中的絕大多數指標均與發現和提出問題有關，因此開展發現和提出問題的教學活動正是在初中數學教學中培養創新能力的重要切入點.

2.發現和提出問題的教學活動是培養數學思維能力的重要途徑

首先，從數學思維的成分來看，發現和提出問題既有豐富的形象思維、直覺思維，更包含了大量的抽象邏輯思維，特別是具體與抽象、特殊與一般、相對與絕對、有限與無限、靜止與運動等辯證邏輯思維.其次，從數學思維過程來看，發現和提出問題的活動包括了觀察與實驗、歸納與演繹、比較和分類、分析和綜合、抽象和概括等豐富的思維活動.最后，從數學思維品質來看，發現和提出問題能幫助學生克服思維的膚淺、狹隘、僵化、保守、盲目、孤立，因而能培養學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、獨創性、目的性、批判性、敏捷性等.因此，發現和提出問題的教學是初中數學課堂教學中培養學生數學思維的重要途徑.

3.發現和提出問題的教學活動還是有效的學習方式

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾強調：數學學習的唯一正確的方法是實現“再創造”，即讓學生經歷在自己現有的知識準備下，自己如何把新知識“創造”出來.他認為，“再創造”是最自然和最有效的學習方法.說它自然，是因為它符合人的認知規律，最能激發學生的好奇心；說它有效是因為只有通過自己的再創造而獲得的知識才能被有效保持和靈活應用.而發現和提出問題是“再創造”的核心，因此通過“發現和提出問題”的方式開展學習無疑是一種非常有效的學習方式.

二、何謂發現和提出問題

到底什么叫“發現和提出問題”呢？義務教育數學課程標準修訂組在《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》里指出：“所謂‘發現問題’，是指經過多方面、多角度的數學思維，從表面看來沒有關系的一些現象中找到數量或空間方面的某些聯系，或者找到數量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯系和矛盾提煉出來.所謂‘提出問題’，是在已經發現問題的基礎上，把找到的聯系或矛盾用數學語言、數學符號集中地以‘問題’的形態表述出來.”全美數學教師委員（NTCM，1991）指出：“我們的教學應給學生提供這樣的機會——從給定情境中提出問題，或通過修改已知問題的條件去產生新的問題.”綜合以上兩種觀點來看，在初中數學教學中，所謂“發現和提出問題”，是指教師通過創設情境或啟發引導，學生自己猜想并提煉出一些數學關系或數學矛盾，或者學生通過修改已知問題的條件去提出新的數學猜想.

三、引導學生“發現和提出問題”的教學方法

數學問題的發現和提出，離不開數學思維.數學中，類比、特殊化、一般化、變化屬性、構造逆命題等是常見的富有發現功能的數學思維，因此在初中數學教學中，教師通過創設情境，引導學生采用上述思維方法“發現和提出問題”.

1.類比法

類比是把領域甲中已知的事實與領域乙中類似情況進行對比，從而猜想出在領域乙中可能正確的結論.類比主要包含兩個方面：一是根據事物某些特征或性質方面的類似進行比較，二是根據對象集合的結構之間的類似進行比較.

案例1直線和圓的位置關系的引入.

問題：上節課我們在研究點和圓的位置關系時研究了它們之間哪些方面的問題呢？這節課我們將研究直線和圓的位置關系，那么類比點和圓的位置關系，你能提出一些直線和圓的位置關系的研究問題嗎？

點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系，以及圓和圓的位置關系有很多類似的地方.首先，從研究的對象來看，它們都是在研究兩個圖形間的位置關系；其次，在研究方法上，都是先將兩個圖形的位置關系分類；最后，從幾何和代數兩方面分析特性，另外在關注的問題上都是關注其幾何特性（交點的個數及分布區域）及代數特性（“兩圖形間的距離”與半徑的數量關系）.因此在教學中，可嘗試讓學生類比點和直線的位置關系，自己去發現和提出直線和圓的位置關系中的研究問題，這對學生從宏觀上建立與圓有關的位置關系的認知結構，以及培養學生的發現和創造能力都有積極意義.在運用類比法時，一定要先列舉出類比對象的各種屬性，即明確類比的方向，然后學生才能從類比對象的各個屬性出發，推測出當前研究對象的可能屬性，否則學生就會不知道學生猜什么或盲目的亂猜.

2.特殊化法

普遍性與特殊性是哲學辯證法里的基本原理之一.普遍性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現出來，兩者相輔相成，在一定條件下相互轉化.在數學中，特殊化是數學發現的重要思想，在一般情況下很難發現的一般性結論，通過觀察特殊情形，往往可以得出一般性結論的猜想.

案例2中點四邊形形狀的探究.

問題1：ABCD是任意的凸四邊形，J，K，L，M分別是邊AB，BC，CD，AD的中點，依次連接J，K，L，M，我們把得到的四邊形JKLM叫做四邊形ABCD的中點四邊形.同學們能猜想出四邊形JKLM的形狀嗎？請你通過改變四邊形ABCD的形狀試一試.

生：我通過將四邊形ABCD的形狀改變為一些特殊形狀后發現：當四邊形ABCD是一般四邊形或平行四邊形，以及直角梯形時，四邊形JKLM是平行四邊形，當四邊形ABCD是矩形或等腰梯形時，四邊形JKLM為菱形，當四邊形ABCD是菱形或箏形時，四邊形JKLM是矩形，當四邊形ABCD是正方形時，四邊形JKLM是正方形.因此，我得出猜想：中點四邊形的形狀可能是平行四邊形或特殊的平行四邊形.

問題2：同學們通過將四邊形ABCD特殊化，得出了中點四邊形形狀的猜想.并且發現了中點四邊形JKLM的形狀是隨著四邊形ABCD的形狀而改變的.而我們知道決定和影響四邊形形狀是構成四邊形的基本元素：邊、角、對角線.那么到底是四邊形ABCD的什么元素決定和影響著它對應的中點四邊形的形狀呢？請同學們不妨繼續通過將四邊形ABCD特殊化的方法來進行一下猜想.

在本案例中，首先，教師通過特殊化的方法，讓學生自己去猜想出中點四邊形的形狀；其次，通過特殊化的方法，讓學生先考查特例：矩形、等腰梯形的中點四邊形為什么是菱形，菱形、箏形的中點四邊形為什么是矩形，從而發現在特殊情形下對角線數量關系和位置關系影響和決定中點四邊形的形狀；最后，猜想出一般情形下的結論.正所謂“退一步海闊天空”，特殊化法是先“退”后進的思想，所謂“退”，可以是從復雜退到簡單，從一般退到特殊，從抽象退到具體，從空間退到平面.掌握特殊化方法有利于培養學生的合情推理能力和創新精神，同時也有利于培養學生的辯證思維能力：一般成立推出特殊必定成立，特殊成立則一般未必成立，特殊不成立推出一般必定不成立.

3.一般化法

一般化是由某一類對象的部分具有的屬性出發，得到這類對象都有該屬性的思維方式.英國數學家梅森（J. Mason）認為，特殊化與一般化是數學思維的核心，數學中的許多著名的猜想都是靠一般化的思想方法獲得的，比如著名的哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等.在初中數學教學中，一般化也是啟發學生發現和提出問題的重要方法之一.

案例3銳角三角函數的概念.

問題1：畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，∠A的對邊與斜邊的比值是多少？再任意畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，∠A′=30°，∠A′的對邊與斜邊的比值是否改變？

問題2：畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，∠A的對邊與斜邊的比值是多少？再任意畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，∠A′=45°，∠A′的對邊與斜邊的比值是否改變？

問題3：通過以上兩個現象，這時你能提出關于直角三角形的一個問題嗎？

在本案例中，教師先引導學生通過兩個特殊的直角三角形的例子，發現了一個共同的現象：只要直角三角形的一個銳角的度數不改變，那么這個銳角的對邊與斜邊的比值就不會隨直角三角形大小的改變而改變，即為一個固定值.此時學生很自然地就會想到一個問題：是否任意的直角三角形都有這一規律呢？這時教師適時地把發現和提出問題的機會留給學生，不僅使學生從本質上認識到了銳角三角函數的本質：銳角三角函數值的大小只與銳角的大小有關，而與銳角所在的直角三角形無關，更深遠的意義是教給了學生從數學角度發現和提出問題的方法.

運用一般化法引導學生發現和提出問題的一般步驟是：首先，讓學生對由個別性的、特殊性的對象進行觀察、分析，得出針對個別性的、特殊性對象的關系或規律，然后，讓學生自己提出針對一般性對象的思考問題，從而提出針對一般性對象的猜想.

4.變化屬性法

變化屬性法又叫“否定假設法”（what-if-not，如果它不是這樣的，那又可能是什么呢），是指通過改變原問題的某些屬性，從而提出新問題的方法.

案例4平行線性質與判斷的綜合應用.

問題1：如圖1，已知直線AB∥CD，直線MN與直線AB、CD相交于點E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠EFD，求證：EG∥FH.

問題2：你能通過改變上述問題的某些條件，提出新的問題嗎？

圖1

圖2

生1：如圖2，如果條件不是“EG、FH平分一對同位角”，而是“EG、FH平分一對同旁內角”，結論變為“求證：EG⊥FH”.

生2：我怎么沒想到呢，那也可以將條件改為“EG、FH平分一對內錯角”，結論不變.哈哈，我也提出一個問題了.

生3：如圖3，那如果EG、FH沒那么特殊，不是角平分線，而是一對內錯角內部的兩條射線呢？那這兩條射線之間的位置關系肯定就沒有特殊性了，那么角之間是否有一定的數量關系呢？嗯，我發現了，求證：∠G=∠GEB+∠GFD.

圖3

圖4

生4：如圖4，如果EG、FH是一對同位角內部的兩條射線，你的結論似乎就不成立了，我猜此時結論變為∠G=∠GFD-∠GEB了.

生5：如果AB與CD不平行呢？……

上述案例中原問題的屬性（即條件）是：兩條平行線，平分同位角.教師引導學生通過否定原問題條件的方法提出了一系列新問題：“如果不是平分同位角，那會怎樣呢？”“如果不是角平分線，那會怎樣呢？”“如果不是平行線那會怎樣呢？”通過新問題的不斷提出，學生不僅對原問題的認識從某一個特殊的結論上升為一般性的規律，而且使學生先后經歷了從平行到垂直的位置關系的研究，從線與線的位置關系的研究變化為角與角之間的數量關系的研究，從而使學生的思維空間不斷擴大，思維的發散性也不斷增強.同時學生也為自己能發現和提出問題而感到高興，激發了學生數學探究的興趣和欲望.

從上述案例中可以看到what-if-not法能引導學生多角度、全方位思考問題，發現和提出很多有價值的數學問題.運用what-if-not法的一般步驟是：首先，確定出發點（如已知的命題、問題或概念），其次，一一列舉原問題的各個屬性（條件、性質、結論等），然后，就所列舉的每一個“屬性”進行思考：“如果這一‘屬性’不是這樣的話，那它可能是什么？”最后，根據以上的分析提出問題.

5.逆命題法

數學中許多定理都具有互逆關系，它們不僅反映了現實世界的數量關系和空間形式的一些可逆的規律性，同時也體現著一種數學思維方式.比如要直接研究某一對象或關系的判定定理時，通常先思考該對象或關系的性質，然后通過構造性質的逆命題去提出判定的猜想，進而通過推理證明得出判定定理.因此通過思考構造原命題的逆命題是數學中發現和提出問題的常用方法.

案例5平行四邊形的判定.

問題：同學們還記得平行線的判定定理與平行線的性質定理嗎？它們之間具有怎樣的關系呢？那么你能根據平行四邊形的性質定理，猜想一下具備什么條件的四邊形是平行四邊形嗎？

在此案例中，教師通過讓學生類比平行線判斷定理的發現方法，啟發學生從平行四邊形的性質出發構造逆命題，自己發現和提出關于平行四邊形判定的猜想，進而再通過猜想進行不重不漏的分類，并對各個猜想的正確性進行驗證或證明，進而得出平行四邊形的判斷定理.通過此過程，有助于學生理解平行四邊形判定定理與性質定理之間的內在聯系，更重要的是可以讓學生經對一個數學對象或一種關系判定的研究全過程，感受其中的數學思維方法，并體會一種發現和提出新問題的數學思維方法.

運用逆命題法的一般步驟是：首先，將原命題的前提和結論進行分解；其次，將原命題的前提與結論進行整體交換或部分交換；然后，用命題的形式進行表述.其中關鍵的步驟是，當原命題的前提或結論是由若干個子前提和子結論構成時，要將前提和結論分解到不能再分的程度.

總之，學生不是一只被動接收的“瓶子”，而是一粒主動萌發的“種子”，課堂也不應該僅是一個教師提出問題，學生分析和解答問題的回聲場，還應該是一個學生自己發現和提出問題的創新花園.讓我們多創造一些學生自己發現和提出問題的機會，為培養出會思維、敢創新的學生而努力！

1.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.曹才翰，章建躍.中學數學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2008.

3.鄭毓信.數學思維與數學方法論［M］.成都：四川教育出版社，2001.

4.李祥兆.基于問題提出的數學學習［D］.上海：華東師范大學出版社，2006.H