集中條件：數學解題的關鍵——教學設計的視角

■淮北師范大學數學學院　張　昆■江蘇省揚州中學　張乃達

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集中條件：數學解題的關鍵——教學設計的視角

■淮北師范大學數學學院張昆
■江蘇省揚州中學張乃達

“集中條件”是獲得解題思路的不二途徑，是數學解題過程的根本性任務.任何數學解題思路的來源，都是解題主體通過運用自己的意識能動性與創造性，設法溝通問題所提供的條件，建立條件間的關系（簡稱為“集中條件”），實現條件向結論的轉化，才能達到現實的解題目的.因此，教師在數學解題教學設計時，必須要處理好組成問題解決的邏輯通路的關鍵環節，在這種關節點上將邏輯過程轉化為學生發現問題思路的心理過程，突出學生從解題活動中生成組織外在客觀信息（主要是集中條件）的體驗，以此，通過長時間的教學熏染與濡化，提高學生分析問題與解決問題的能力，從解題思維活動過程中獲得應對新問題情境的經驗.本文以高考解題教學為例，探究集中條件的幾種具體途徑.

一、利用直觀方式集中條件

在數學問題題設出現的某些條件具有相似結構形式時，解題主體可以首先考慮通過直觀觀察的手段集中條件.于是，在教學設計時，教師可以充分利用問題結構的可觀察性，引導學生使用直觀的方式達到集中條件的目的.這雖然是一種直接的方式集中條件，但是，我們通過聽了許多高三教師的復習解題教學，卻發現許多教師沒有做好有效的教學設計，從而使學生沒有深深地體會與認識到這一點，結果造成了教學的損失.

（Ⅰ）對每個n∈N*，存在唯一的滿足fn（x）=0；

（Ⅱ）對任意的p∈N*，由（Ⅰ）中xn構成的數列{xn}滿足xn-xn+p＞0.

問題（Ⅰ）的結論證明過程略，直接承認它正確.

生1：要證明的結論xn-xn+p＞0一定包含于①、②、③這三個條件中，我還預感到，這一結論主要與條件①、②關系密切，條件③可能只是在某一個環節上加以應用（猜想與評估，思維監控系統的應用），可惜，我目前還不知道通過何種途徑來構建條件①、②之間的確切關系.

師：建立條件①、②之間的關系，就是將這兩者構成“你中有我，我只有你”的某種形式結果，如何構建呢？（教師通過從比較抽象的一般觀念上啟發學生萌生兩個條件間的聯系，它是一種“問題的一般性解決”的提示，絕非向學生下達具體操作活動的指令，那樣，就失去了學生的數學探究活動）

生2：可以直觀地構建條件①、②之間的某些關系形式.例如，構建fn+p（xn）或fn（xn+p）（運用了解題主體萌生的條件①、②之間的形式上的聯系，建立了一條從“問題的一般性解決”過渡到“問題的功能性解決”的途徑）.下一步我還沒有想好.

生3：試著寫出函數fn+p（xn）的表達式，即fn+p（xn）=fn（xn）知fn+p（xn）＞fn（xn）④，由②、④知fn+p（xn）＞fn+p（xn+p） =0⑤，于是，由③、⑤知xn＞xn+p，即xn-xn+p＞0.（由“問題的功能性解決”過渡到“問題的具體解決”）

評析：建立條件①、②之間的關系途徑，在于利用條件①、②的直觀形式特征，構造出了具體的函數形式fn+p（xn）或fn（xn+p），這看似輕描淡寫，卻正是意識能動性與創造性的體現.解題主體只有現場即興地依條件特點建立關系，才能達到解題目的.但是，由于問題各具特點，其集中條件的方式各異，它需要靈活應對，方可實現.由此可以啟導學生萌生“在不知道如何辦時需要動用的東西”，［1］這正是開發智力、形成智慧、實現創新的關節點.因此，數學解題教學設計應該在這些獨特的建立條件之間關系的關鍵環節上狠下功夫，是實現諸多教學目標的策源地，通過它才能達到促使學生萌生體驗，培養學生的探索、發現與創新能力，形成深度數學經驗的目的.

二、利用猜想方式集中條件

對于數學高考中的較難題目而言，直觀方式建立題設條件之間的聯系畢竟為數不多，當有些數學問題的題設條件不具有相似結構形式時，直觀方式集中條件就很難達到目的了，于是，集中條件就必須要采用其他的手段，解題者只有通過細心地觀察各個條件結構形式的細微處，猜想條件的可能性結構形式往往起著重要的作用.以猜想的一種結構形式作為起點，就有可能揭示其他條件蘊含的本質特征，為集中條件提供了新支點.

例2（2012年高考江蘇卷）已知各項均為正數的數列{an}與{bn}滿足其中，n∈N*，且{an}是等比數列.求a1，b1的值.

師：建立①、②條件間的關系是解題關鍵，但兩者很難形成像樣的配合，怎么辦？

師：生1的思考結果對問題解答有幫助嗎？

生2：可以將此猜想的結論（{bn}是等比數列）作為出發點.由于an是常數，它啟發我考慮確定an的取值范圍，于是，促使我們考查條件①的數式結構，它可以使我想到條件①隱含著一個基本不等式，即+b2n），于是，所以（余下的解題只是技術性手段了，可得結論，具體解答略）

評析：這個例子中的條件①、②很難找到它們的有效溝通途徑，從而形成兩者之間的關系，因此，從試探的角度來說，首先變形條件②，看看是否可以獲得具有某種啟發的結構形式，結果發現了條件③，這是兩個數列之間的和諧性，它促使我們猜測，數列{bn}應該是等比數列，由此，獲得了另一個猜想，an是常數，令我們想到確定常數an的取值范圍，又使我們意識到條件①為確定這一范圍提供了基礎，條件①、②的各自功能及其關系顯現了出來，如此，問題思路的端倪已經躍然心底.

三、利用直覺方式集中條件

當直觀方式與猜想方式都難于提供形成題設條件之間的關系時，就需要解題者調用更加深層次的意識能力要素（直覺思維方式）作用那些條件元素，才有可能發現、溝通條件之間的關系.俗話說：眉頭一皺計上心來，說的正是直覺思維的創造性.相對于邏輯表達的教學價值來說，在發現數學解題思路的活動中，直覺思維與形象思維卻起著支點性的作用，因為，直接取得邏輯表達的關鍵環節，是在探究問題所提供的外在信息的過程中，獲得關鍵性暗示，進而檢驗暗示，如果獲得成功，則暗示正確，否則，重新生成暗示，由此構成暗示—檢驗—再暗示—再檢驗的過程，而這種暗示的取得，正是猜測、形象思維與直覺思維的用武之地.［2］

例3（1998年高考全國卷）設數列{an}的通項an=①（a＞0，a≠1），數列{bn}的通項bn=3n-2②，Sn是{an}的前n項和，比較3Sn③與logabn+1④的大小.

師：由要實現的問題結論，我們猜想，③式與④式存在不等關系的可能性非常大.那么，與其對立的命題是：③式與④式可以變得相等嗎？（教學起點的生成問題情境的方式，乃是模擬學生的原始想法，是由“放縮法”觀念所產生的一種提示，是形成“問題的一般性解決”［3］活動的一種途徑）

生1：不可能.不等的數量，怎么可能變成相等呢？（對教師提出的問題，大多數學生可能都出現了如此想法，從而否定了“放縮法”的解題方向或途徑，造成了損失.教學中，教學應力求鼓勵學生對一些暗示或觀念進行估計與檢驗，形成培養直覺思維的萌芽）

生2：可以.將③式的數量值放大或縮小得到④式，從理論上說這種目的是可以實現的.（生2經由評估，認為教師的暗示有價值，它就自然地轉入檢驗行動，獲得了從“問題的一般性解決”轉化為“問題的功能性解決”的一種途徑）

師：老師同意生2的想法，“不等”與“相等”這兩者之間是相對的，為了獲得不等關系的結論，我們可以通過相等的途徑來達到.（辯證思維，世界上的許多事物既矛盾，又統一，可以互相轉化，辯證思維的發展對直覺思維成果及其轉化為檢驗行動，具有很好的教育價值）

師：那么，如何放縮才能將③式轉化為④式？（轉入構想檢驗暗示途徑程序，啟動構造檢驗的方法，從而促進學生萌生從“問題的功能性解決”轉化為“問題的具體解決”的指令）

生3：許多同學都想方設法對③式中的Sn的構成要素）進行放縮，但不能轉化成④式，……因為，③式太復雜，而④式太簡單，因此，找不到溝通兩者的途徑，……（在“問題的功能性解決”中，邏輯過程出現了中斷，此時，需要直覺思維的幫助，也正是培養直覺思維能力的資源，否則，“問題的功能性解決”就很難轉化為“問題的具體解決”的途徑）

師：如何檢驗生4的想法？

評析：這個例子是通過啟發學生的直覺集中條件的一個典型代表，每一個知識點的教學，教師都應該采取這種分析方式，據此考慮教學設計過程.課例的關鍵環節是從表達式⑤，設出表達式⑥、⑦，邏輯思維活動在這里已經中斷.如何啟動學生直覺思維，對教師的教學能力提出了極高的要求，將教師逼入了兩難的境地：教學過程絕對不能向學生下達“設表達式⑥、⑦”的“指令”，如此乃是灌輸教學，教學價值將由此喪失殆盡，為達到啟發學生發生這種暗示的目的，教師需要極高的教學技藝與能力.課例的這種教學設計重在啟發學生獲得暗示的一種方法，由如此教學設計活動發現，它是培養直覺思維的有效途徑.

這道題的教學設計主要有兩項疑難：其一，從學生思維角度來考查，本例的主要條件3Sn，即使我們的思維聚焦于獨立的而思維的展開很難對它自身進行自我觀察，不能聯想到三者之間的配合，溝通條件之間的關系，從而達到集中條件的目的；其二，從教師教學設計角度來說，從表達式⑤，如何設出表達式⑥、⑦，教師稍不注意就有可能將這種巧妙的思路強加于學生，造成教學價值的損失.本例的教學設計就是從重在處理好這兩個問題出發的.

順便說一句，這是張昆老師2007年春在常州國際學校所上的常州市高考數學復習解題教學的一節示范課（黑板加粉筆的傳統媒體）.在評課時，有人提出了課堂教學效率問題，認為這種設計盡管給了人們解題教學設計耳目一新的感覺，但在這一整節課上就講了這么一道題，效率是不是非常低呢？對此，當時在現場聽課的張乃達老師為此作了辯護：“長期的數學教學經驗使我們意識到：雖然‘教什么’與‘怎樣教’更直接通向教學效率，但對于形成數學解題的心路歷程而言，高效率往往會流失解題教學價值的許多意蘊，解題的邏輯環節的出現不是客觀的物品，不能直接從教師（或者教科書）那里傳遞給知識的學習者，它就好像是我們的腸道對食物的一種消化吸收過程，食物必須經由很長的彎彎曲曲的腸道，才能一點一滴地對其中內含的營養要素進行分類吸收，而將有害的因素排出，吸收了的便成為主體身體的一部分，為主體所用；數學觀念的生成與再生也是一樣，必須對作用于意識機能的外在信息的點滴體會，集思廣益，才能萌生相應的數學觀念，組成主體認知結構的動力系統的一個部分，這應該是一種需要時間進行體悟的過程，這一過程是不能采用解題的數量與時間的比率來闡明數學問題解決的教學效率的.”［6］

四、簡要結語

每一門學科，乃至于組成它的不同內容都具有不同的教學價值.數學解題的教學價值聚焦于培養學生的創新能力，它主要包括猜測能力、形象思維能力與直覺思維能力，到高中階段則更深入到了辯證思維的水平，其他學科無法替代數學課程資源的教學價值.［7］對此，我們發現，在數學新課程理念中，對于數學（特別是高考）解題教學存有偏見，甚至歧視它，例如，在課程標準中，沒有明確地指出數學解題為一項教學目標；在博士與碩士論文選題中，研究者將數學解題教學作為力圖避免的課題，這是不正常的.學校、教師與學生花費那么大的時間與精力進行解題活動（特別是高考復習時），而它不能進入教學目標體系是說不過去的.其實，數學解題教學在培養學生一系列能力中發揮著特別重要的作用，是數學教學價值的集中體現.

形式邏輯是數學表達與交流的工具，構成了數學知識的基礎環節與過程，因此，是必備的數學基礎能力，它可以作為數學教學的目標之一，但絕不是重要目標.對此，威廉·卡爾文說：“哲學家與物理學家可能對人類邏輯推理的能力評價過高，邏輯的實現是由對事物內在秩序的猜測所組成的——但只是當作為提供的外在信息確實有一種明確無誤的內在順序可作猜測時，才有可能產生效果.而‘出色的猜測’包括：找到問題的答案或者論點中的邏輯關系；碰巧想到一個合適的比喻；建立一種令人愉快的和諧關系，或是作出機智的答復，或預測可能發生的事情.”［1］因而，創新能力的培養，恰恰就是奠基于這些直觀的方式、猜想的方式與直覺的方式來作用于問題，數學解題的集中條件的過程就深含創新的關鍵要素，因此，數學解題教學設計是培養學生創新能力與創新精神的重要基礎.

參考文獻：

1.［美］威廉·卡爾文，著.大腦如何思維：智力演化的今昔［M］.楊雄里，梁培基，譯.上海：上?？茖W技術出版社，1996.

2.張昆.整合兩種數學教學設計的取向：基于知識發生的邏輯取向與心理取向研究［J］.中國教育學刊，2011（6）.

3.張乃達.數學思維教育學［M］.南京：江蘇教育出版社，1990.

4.［英］利文斯通，著.古典語言與國民生活［M］.趙祥麟，譯.北京：人民教育出版社，1980.

5.張昆.數學解題教學設計的創新實踐研究——基于“美學”的視點［J］.數學教育學報，2015（5）.

6.張昆.數學解題教學設計的新視角——基于思路表達的邏輯捷徑到思路探究的心理生成研究［J］.中學數學（上），2015（4）.

7.張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑［J］.數學教育學報，2015（1）.F