靈活變通　事半功倍——例談不等式恒成立的解題技巧

■江蘇省泰興市第二高級中學　鄒敬宇

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靈活變通事半功倍——例談不等式恒成立的解題技巧

■江蘇省泰興市第二高級中學鄒敬宇

不等式恒成立問題在高考中經常出現，由于涉及的知識面廣，制約條件復雜，參變量的潛在約束比較隱蔽，因而一直是一個難點.恒成立問題，涉及一次函數、二次函數的性質與圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.不等式恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數型；二次函數型；變量分離型；圖像求解型.下面筆者通過多年的教學實踐對解題中常用的解題方法逐一剖析，以期拋磚引玉.

一、更換主元構造函數法

有些數學問題構思新穎，同時有其實際背景，按習慣思維，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境.如果打破思維定勢，反“客”為“主”，把原來處于相對次要地位的“客元”突出出來，常常能收到意想不到的效果.通過更換主元措施可以將二次不等式轉化為一次不等式，達到簡化解題的目的.當一道題中有多個變量時，要敢于把其中的一個變量作為自變量，其余的變量作為參數處理，此法稱為“更換主元法”，可達到逐步減少參數使問題獲得解決.“更換主元法”是將二次函數恒成立問題轉化為一次函數恒成立問題的一種重要措施，在解題時要注意靈活運用.

例1對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+ px+1＞2p+x恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現了兩個字母x、p，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數.顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在［-2，2］內關于p的一次函數大于0恒成立的問題.

解：不等式x2+px+1＞2p+x可化為（x-1）p+x2-2x+1＞0，設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則f（p）在［-2，2］上恒大于0，故有即解得

所以x＜-1或x＞3.

點評：對于一次函數f（x）=kx+b，若f（m）＞0，f（n）＞0，則當x∈［m，n］時，恒有f（x）＞0；對于一次函數f（x）=kx+b，若f（m）≥0，f（n）≥0，則當x∈［m，n］時，恒有f（x）≥0.

二、反客為主分離變量法

若在不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解.具體措施為：函數的單調性法、區間最值法、基本不等式法等.

不等式f（x）＞A在區間D上恒成立等價于在區間D上f（x）min＞A；不等式f（x）＜B在區間D上恒成立等價于在區間D上f（x）max＜B.

例2若不等式x2-2mx+2m+1＞0對0≤x≤1內的所有實數x都成立，求m的取值范圍.

解析：分離變量，當x=1時，原不等式即2＞0恒成立；當0≤x＜1時，原不等式即，故只需

點評：由于原不等式是關于x的二次不等式，所以也可以利用函數圖像來解決，設g（x）=x2-2mx+2m+1，開口向上，要在區間［0，1］上恒大于零，必須或或解得m＜0或m＞1或.故

因此，涉及不等式中恒成立變量的取值范圍問題，可根據a＞f（x）恒成立?a＞f（x）max，a＜f（x）恒成立?a＜f（x）min，利用分離變量的方法求解，變形時，一定要注意x=0的情況，即要注意分類討論，不能遺漏任何可能情況.