作為數學教育研究數據處理的方差

■華中師范大學數學與統計學學院　徐章韜■大連大學師范學院　趙　弘

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作為數學教育研究數據處理的方差

■華中師范大學數學與統計學學院徐章韜
■大連大學師范學院趙弘

一、引言

對于實證取向的數學教育研究來說，追求的是現象結果背后的原因，即以尋找因果關系為己任.而這種因果關系是能夠用數據來說明，能從經驗層面得到證明的.這種實證研究方法還得到了心理學、社會學、管理學和經濟學等眾多學科的推崇.其中，統計方法在其中扮演了重要角色.對于教育科學及其他學科中的數據為什么能用統計方法處理，進而得到規律，是一個非常復雜的問題，需要做系列研究.本文是該系列研究中的一部分，主要闡明方差在處理數學教育研究數據時的原理及應用.

二、從誤差的角度認識方差

實證取向的數學研究的第一步就是要對抽象的教育學概念，比如，數學素養等，進行操作化處理，得到經驗層面的可測量的概念.然后，再根據所列的各項指標進行測量.在測量過程中，總會產生誤差.誤差是測量值與真實值之間的差異.真實值只是一個理論值，實際上得不到，只好用各種值來逼近它.例如，“多次測量取平均值”就是把測量值作為真實值的代表.我們把誤差的平方，叫做平方誤.對平方誤取均值得到方差，是非常精彩的一筆，使得方差能夠正交分解，具有鮮明且豐富的幾何意義.

例如，把學生分組，分別按傳統方法、翻轉課堂的方法、探究式方法進行教學，現在要研究的問題是教學方法對教學質量的影響.實證取向的數學教育研究，首先要回答兩個量之間是否相關，然后再看這兩個量之間有無因果關系（即函數關系）.因此，對這個問題而言，就要回答教學方法（這是分類控制變量）與教學質量（一般用學生成績來衡量，這是定距觀測變量）這兩個變量是否相關，也就是如何求相關系數的問題.

設總體自變量共分為m類，每類共有nm個個體，n1+ n2+n3=n.如本例中，共有m=3類教學法，每類分別有n1= 50，n2=53，n3=64.對觀測變量教學質量y進行了n次檢測，也就是共有n個學生參加實驗，教學質量由每個學生的成績來衡量.當不知道教學質量y與分類控制變量教學方法x有關系時，對真實值的估計最好用平均值，就是“多次測量取平均值”，因為這時所產生的誤差最小，這時，自然地形成了一個n維向量α=（y11-y，…，y1n1-y，y21-y，…，y2n2-y，…，ym1-y，…，ymnm-y）；當知道教學質量y與自變量教學方法x有關系時，就會采用各組的平均值來估計真實值，而不會用總平均值來估計真實值，這時，自然地形成一個n維向量前后兩次對真實值的估計是有區別的，這時，自然地形成一個n維向量注意到α=β+γ，可以證明β，γ的數量積為零，且兩者相互獨立.這時，由勾股定理就有，從而得到，D（α）=D（β）+ D（γ）（*）.

測量值與真實值的誤差總是一定的，即（*）式的左端是一個定值D（α）；教學方法與教學質量越相關，表明單純地用測量值的平均值來估計真實值，不如根據由與分類控制變量相關聯的觀測變量的平均值來估計真實值更好，這就說明越有必要引入分類控制量，D（γ）就應越大，D（γ）越大就表明作為真實值的代表，yi比y更好；此時D（β）就應越小，這說明即使假定y與x有關聯之后，用yi來估計y還是有誤差，這個誤差是其他因素引起，稱之為未被解釋的誤差或不明原因引起的誤差，這個誤差當然是越小越好，極端情況是零，這時說明把握了自變量就能把握因變量，就成了一種確定性的關系了.衡量教學質量與教學方法有無關聯的標準是假定它們有關聯之后，誤差的改進程度，改進程度越高，擬合效果越好，根據這一樸素想法，就可以用來衡量回歸直線擬合的好壞程度，這恰好等于cos2〈α，γ〉=r2.

這事實上說明了方差分析的實質是分類變量與定距變量之間的相關性分析.這就是方差分析的基本思想：通過分析研究不同來源的誤差對總誤差的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結果影響力的大小.在觀測變量總誤差平方和中，如果組間誤差平方和所占比例較大，則說明觀測變量的變動主要是由控制變量引起的，可以主要由控制變量來解釋，控制變量給觀測變量帶來了顯著影響；反之，如果組間誤差平方和所占比例小，則說明觀測變量的變動不是主要由控制變量引起的，不可以主要由控制變量來解釋，控制變量的不同水平沒有給觀測變量帶來顯著影響，觀測變量值的變動是由隨機變量因素引起的.

在實際操作上，就用均方（誤差平方和除以自由度）代替誤差平方和以消除各組樣本數不同的影響，方差分析就是用組間均方去除組內均方的商與1相比較，若F值接近1，則說明各組均值間的差異沒有統計學意義，若F值遠大于1，則說明各組均值間的差異有統計學意義，分類控制是有必要的（采用不同的教學法對教學質量是有影響的）.

三、進一步的推廣

上述誤差正交分解的原理，還可進一步推廣到多元方差分析和協方差分析問題.

1.多元方差分析問題

教學質量不但受教學方法（分類控制變量A），還受教師性格（分類控制變量B）的影響，如何研究不同教學方法和教師性格對教學質量的影響，就是一個多元方差分析問題.這時不但要分別考慮A、B對觀測變量的影響，有時還要考慮A與B的交互作用對觀測變量的影響.如某種性格的教師特別擅長于某種教學方法.如分類變量A的取值類型共有a類，分類變量B的取值類型共有b類，在不考慮存在實際干擾或交互作用的情況下，無須進行重復實驗，只要得到a×b個觀測值，便可以用方差分析方法判斷分類控制變量分別對觀測變量是否有影響.如果考慮實際干擾或交互作用，那么就要進行重復實驗，要至少得到a×b×r（r≥2）個觀測值，便可以用方差分析方法判斷分類控制變量分別對觀測變量是否有影響.

其步驟如下：（1）把誤差進行正交分解，TSS=BSSA+ BSSB+IA×B+RSS；（2）確定誤差衡量標準.

如果交互作用不顯著，則IA×B+RSS可以合并為TRSS，以TRSS的均值作為標準衡量分類控制變量A和B對觀測變量的影響程度.

如果交互作用顯著的話，就要根據變量的類型確定衡量標準了.根據變量A和B的性質，選用不同的衡量標準.固定模型研究固定變量（不具有隨機性的分類變量，如三種教學方法）對觀測變量的影響，衡量標準是RSS的均值隨機模型研究隨機性分類變量對觀測變量的影響，由于不能排除隨機抽樣誤差，衡量標準是IA×B的均值混合模型研究隨機變量和固定變量對觀測變量的影響，檢驗固定變量的作用時，要考虎隨機變量對其的影響，不能排除隨機誤差的影響，衡量標準是檢驗隨機變量的作用時，衡量標準是

2.協方差分析

教學質量不但受教學方法（分類控制變量A），還受教師性格（分類控制變量B）的影響，也受學生原來的學習基礎、智力和興趣（分類控制變量C）的影響，如何在排除C對教學質量影響的前提下，研究不同教學方法和教師性格對教學質量的影響，就是一個協方差分析問題.協方差分析將那些人為很難控制的因素作為協變量，并在排除協變量對觀測變量影響的條件下，分析控制變量對觀測變量的作用，從而更加準確地對控制因素進行評價.觀測變量的變動控制變量的獨立作用、控制變量的交互作用、協變量的作用和隨機因素的作用等四個因素的影響.協方差分析沿承方差分析的基本思想，在分析觀測變量的方差時，考慮了協變量的影響.以單因素協方差為例，TSS=RSS+BSS+Q控制變量.在扣除協變量的影響后，再分析控制變量的影響，檢驗統計量仍采用F統計量，它們是各均方與隨機因素引起的均方之比.如

四、教材尋根

統計是數據處理的學問，在實證取向數學教育研究中，應用數據處理的方法體現了研究方法的進步.然而，我們發現，很多研究者對其背后的原理是不大關注，以致影響了研究的信度和效度.關注概率統計的教學，提高數學教育研究者自身的素養是我們每個人必修的功夫之一.

對中學概率統計課程而言，我們可以在局部深度挖掘教材內涵，尋找貫通教材的核心概念.從以上可以看出，方差及其正交分解起到了關鍵作用.概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望之間的偏離程度.統計中的方差（樣本方差）是各個數據分別與其平均數之差的平方的和的平均數.這是方差的理論意義，然而只有探求其實際意義，把方差當作平方誤時，方差與前后概念間的關聯才會溝通起來.方差何時取最小值，是“多次測量取平均數”，確定線性回歸方程的理據；［2］從誤差的角度出發，線性相關系數的概念自然地產生了.然而，在現行的教材中，方差的地位并不突出，以致學生不能明白平均數的典型性、代表性，對線性回歸方程的原理似懂非懂；相關系數一筆帶過，學生看到繁冗的表達式就發悚.以方差為中心，凝聚了平均數、線性相關系數、線性回歸方程！然而概率中的方差與統計中的方差其著眼點并不一樣，這就要求教師站在尋求課程主線的角度，把前后知識融為一個整體.

對中學概率統計課程而言，我們可以在更大一點的范圍內深度挖掘教材內涵，尋找前后教材的有機關聯.方差的正交分解，涉及一系列知識和概念，有助于我們溝通數學知識不同分支間的關聯.方差的正交分解，涉及向量的合成與正交分解，向量的幾何意義；從表現形式上看，是勾股定理這一優美形式的推廣，還可走得更遠，可以看作是n維空間的正交分解；可以用方差的非負性，很好地證明基本不等式等.［3］隨機性數學與確定性數學之間的橋梁如何架構，還需要我們提供更多的素材.方差，也就是平方誤，還架起了數學與物理知識之間的橋梁.真是“曲徑通幽處，禪房花木生”.這就要求教師具有大的課程觀，不能囿于一隅.

關聯，教材的重要特征之一，學習者不能不察.

參考文獻：

1.徐章韜.從測量的角度看線性相關系數［J］.中小學數學，2014（12）.

2.章建躍，陶維林.“兩個變量線性相關”的教學實踐與思考［J］.數學通報，2015（2）.

3.徐章韜.從和方差公式到平方和公式：教學意義提升的一則案例［J］.中學數學月刊，2012（7）.F