讓變式教學在數學課堂中大放光彩

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讓變式教學在數學課堂中大放光彩

■江蘇省海門市實驗學校陳麗華

變式教學正是通過變更數學概念的非本質特征來暴露問題本質特征的教學方法.通過對問題結構的改變，體會變式教學下結構的發生、發展、異化遷移等，從而揭示規律，促進數學思想方法的內化；求同存異，培養學生的批判性思維；優化方法，培養學生思維的廣度和深度；融會貫通，培養學生思維的整合性.

在平時的教育教學中開展變式教學，使例題富有內涵，一題多用，以題帶面，充分發揮一道例題的教學功能，使數學教科書上“冰冷的美麗”變為“火熱的思考”；激發學生的興趣和求知欲，讓學生有進一步學習和探索的欲望，從而讓學生在問題的解決中獲得成功的體驗，從而激發、培養學生良好的質疑、求實的思維習慣和能力．下面筆者結合平時的教學經歷談談變式教學的一些做法，不當之處，歡迎指正.

一、利用變式教學引入新課

建構主義者認為，數學學習并非是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構過程.數學知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數學知識必須基于個人已有的經驗，通過反省來主動建構.因此基于學生已有的認知，有意識地引導學生對教材內容進行變式，引發學生的認知沖突，并作進一步探究，進而引入新課，學生通過對問題進行歸納總結提煉，構建知識網絡，有利于將知識學活，提高解題能力.

案例1根據蘇教版《選修2-1》第41頁例3，以及第55頁探究，筆者將其改編為如下題目：平面內一動點M到兩個定點A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之積是λ（λ是常數），當λ滿足下列條件時，分別求出點M的軌跡：

（1）λ＜-1；（2）λ=-1；（3）-1＜λ＜0；（4）λ=0；（5）0＜λ＜1；（6）λ＞1；（7）λ=1.

學生的解答：設點M的坐標為（x，y），由題意知，kAM·

（1）焦點在y軸上的橢圓除去兩端點A（-a，0），B（a，0）；

（2）圓心為（0，0），半徑為a的圓；

（3）焦點在x軸上的橢圓除去兩端點A（-a，0），B（a，0）；

（4）直線y=0除去兩點A（-a，0），B（a，0）；

（5）（6）（7）焦點在x軸上的雙曲線除去兩端點A（-a，0），B（a，0）.

由此題給出變式：

【變式1】平面內一動點M到兩個定點A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之商是λ（λ是常數），求點M的軌跡.

【變式2】平面內一動點M到兩個定點A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之差是λ（λ是常數），求點M的軌跡.

在變式2中，當λ≠0時，得到了拋物線的軌跡方程，由此引入拋物線.在引導學生對教材例題的探究過程中，圓錐曲線的很多知識點被串了起來，加深了對求動點軌跡的方法的理解，實質上探究結果并不重要，但在探究的過程中，通過合作交流，反思總結去追根溯源，極大地提高了學生的解題能力，使所學知識系統化、網絡化.

二、利用變式教學深化問題解決重難點

眾所周知，“重點”是指本課時的主要知識或方法，對后續學習或解題有著重要的作用．“難點”是指教材中難以理解和掌握的部分內容．教學中，我們對重、難點應是眾星捧月，從多角度、多方面、多層次的設計，讓學生積極開動腦筋，與教師一起來攻克重難點．

案例2雙曲線的定義：“平面內與兩定點的距離之差的絕對值的差是常數（小于|F1F2|）的點的軌跡是雙曲線［1］．”為突出這一重要定義，我們可以設置下述系列變式：

1.將“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余條件不變，動點的軌跡是什么？

2.將“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余條件不變，動點的軌跡是什么？

3.將絕對值號去掉，其他條件不變，動點的軌跡是什么？

4.若定義中的常數為0，其余條件不變，動點的軌跡是什么？

這一系列的變式問題，使學生的思維自始至終處于積極活動中，既開闊了學生的視野，使此重點知識在腦海中形成整體印象，又突破了難點，從而在本質上把握定義．“教”是為了“不教”，學生自己探索得到的知識會給他們留下更深刻的印象．

案例3下面是線性規劃中的一道常規題，對其進行變式引申，可以讓學生對此類問題有了更深刻的認識.

本例從“截距型”，變式為“斜率型”，再到“距離型”.求解涉及分式、配方等變形技巧，體現了轉化與化歸的思想，可以使學生較好地掌握線性規劃中最基本的問題.題目講評貴在方法，重在思維，關注延伸.因此平時上課中不應只是就題論題，而要不斷挖掘、變換角度盡量發揮試題的輻射作用.

三、利用變式教學揭示例題隱含的規律

例題教學是數學課堂教學中不容忽視的一個重要環節，它能向學生展示運用所學知識解決問題的思路、方法、手段．但例題的數量應適當控制，要做到舉一反三，即對于某一類問題，教師要抓住典型范例，解剖麻雀，揭示規律，而把同一類教材的其他問題留給學生自己解決，以取得事半功倍的效果．

案例4蘇教版選修教材2-1“橢圓”一節中有這樣一道題目：“△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-6，0）和（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積等于，求點C的軌跡方程.”依題意求出此題的結果是：（x≠±6）.此題是比較典型的一習題，為了讓學生再進一步理解題目隱含的本質，對此，我們可以引導學生做到以下幾個方面：

（1）思考引申

（2）結論應用

學生對自己推導出來的結論一定會興奮不已，教師趁此給予相關性的題目，讓學生對此結論加以應用.例如，2013年安徽省高三聯考卷某題的第二問：已知橢圓，設P是橢圓E上第一象限內的點，點P關于原點的對稱點為A，關于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA，PB是否互相垂直？并證明你的結論.本題條件較多，若抓不住入手點，會導致計算量大、得不出結果，若課堂上，教師引領學生對上面的習題加以引申，那么學生對本題就會迎刃而解.

分析：點P，A關于原點對稱，點B也在橢圓上，則kBA·，由題意又易得出則，即，所以很快能夠判斷出直線PA，PB是互相垂直的，按照此思路給予證明即可.

（3）類比拓展

由橢圓中這一習題，聯想到高中階段所學的解析幾何中中心對稱的曲線——圓、雙曲線，是否也有類似的結論呢？

①圓

②雙曲線

（4）綜合應用

蘇教版教材上的一練習題（選修2-1，80頁）：△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-6，0）和（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求點C的軌跡方程.本題很好地綜合了以上三種曲線的共同問題，軌跡方程為：mx2-y2=36m，m的范圍不同，所表示的曲線也不同.

①當m＞0時，軌跡是雙曲線；

②當m=-1時，軌跡是圓；

③當-1＜m＜0或m＜-1時，軌跡是橢圓.

對一道試題深度挖掘，脫離了以往的死板、照本宣科的教學，溝通了知識之間的聯系，顯示了課堂教學的靈活性，激發了學生對知識的探究欲望，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題.通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定式，而又打破思維定式，有利于培養思維的變通性和靈活性.

四、利用變式教學完善知識結構

波利亞說：在你找到第一個蘑菇（或做出第一個發現）后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的.很多問題都潛藏著進一步擴展研究的教學功能，通過合理變式，構造題組，讓學生在變的過程中發現不變的本質，在不變的本質中探究變的規律，加深對問題的認識，在提高能力的同時完善知識結構.

案例5（蘇教版高中數學必修2，127頁）已知過點M（-3，-3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為，求直線l的方程.

【變式1】已知過點M（-3，3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為8，求直線l的方程.

【變式2】已知過點M（-3，3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為求直線l的方程.

【變式3】已知過點M（-3，-3）的直線l被圓C：x2+y2+ 4y-21=0所截得的弦長為10，求直線l的方程.

直線與圓的位置關系是解析幾何中比較重要和核心的關系.設置變式1的目的是提醒學生勿忘斜率不存在的情況，變式2與變式3分別是求過圓內定點弦長最短與最長的直線方程，答案是唯一的.解題后可以啟發學生思考為何前兩個問題有兩條直線，而后兩個問題則只有一個答案？從而發現問題的本質：垂直于CM的弦最短，最短弦長為；直徑（過C，M兩點）最長，最長弦為10；在區間的弦長有兩條.

在平時的數學教學中要做到：源于教材，高于教材，專題有新意，考卷有新意，總結內容也要有新意，切忌同一問題以同一形式多次重復，以免學生覺得單調乏味，沒有新意.

借助變式教學，引發思維沖突，調動學生積極嘗試，參與辨析，深刻反思，讓學生在質疑中品味思維的魅力，在問題的解答中獲得成功的體驗，從而激發、培養了他們良好的質疑、求實的思維習慣和能力，使教學過程成為一種學生渴望不斷探索真理，帶有情感色彩的意向活動，這將為我們的教學帶來很好的效果.