關注預設　重視生成　基于對話——“函數的單調性”的教學實錄與反思

■浙江省溫州中學　劉旭飛

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關注預設重視生成基于對話——“函數的單調性”的教學實錄與反思

■浙江省溫州中學劉旭飛

當前，概念教學中有些現象很令人擔憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學最小化和習題講解最大化；學生認為概念學習單調乏味而不重視它，對基本概念死記硬背、不求理解.直接后果表現為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決典型例題的題型，一旦遇到新的情況、新的題型就束手無策，進而導致教師和學生為了提高成績，陷入無休止的題海之中.

事實上，一個數學概念的背后往往蘊含著豐富的數學思想，有的數學概念本質上就是一種數學觀念，是一種分析、處理問題的數學方法.重視概念的自然生成可以使學生對原有知識、技能進行再認識、再加工，進一步深化提高，把頭腦中已有的認知能力調動起來，積極參與到新的學習活動中，加深對新知識的理解和認識.最近，筆者在一次市級研討會上執教了一節研討課“函數的單調性”，本著“關注預設，重視生成”的理念，采用“問題引領，對話交流”為主線的教學模式，學生積極主動、師生對話交流通暢，取得了較好的教學效果，獲得了聽課專家和教師的好評.現將本節課的課堂教學實錄呈現如下，并談談自己的教學設計意圖和教學反思，敬請同行指正.

一、課堂教學實錄

1.創設情境，引入課題

我們知道函數是描述事物運動變化規律的數學模型，而生活中有很多運動變化的現象值得我們去關注．

例1圖1是溫州市今年某天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖，觀察圖形，你能得到什么信息？

圖1

設計意圖：通過學生熟悉的實際問題引入課題．為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生的求知欲，調動學生主體參與的積極性．學生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識．

生：（七嘴八舌）氣溫在0~4時下降，4~14時上升，14~ 24時又下降.

生：一天中有最低氣溫-2℃，最高氣溫9℃，溫差為11℃.

師：同樣一幅圖，有些同學關注的是隨著時間的流逝，溫度先降低后升高再降低，有些同學關注的是最低氣溫和最高氣溫，各人看法不一樣，各人觀察點也不盡相同，這節課我們關注函數圖像的上升或下降的情況（利用幾何畫板的動畫工具讓圖像上一點從左到右運動并追蹤讓學生直觀地感受圖像的下降與上升）．圖像在某區間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數的一個基本性質——單調性（板書課題）.

師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據學生回答的情況加以補充．

2.自主探究，形成新知

個人獨立完成或學習小組合作完成.

問題1：任意寫出一個函數的解析式，利用描點法作出它的圖像，并觀察當自變量變化時，函數值有什么變化規律？

設計意圖：體會函數f（x）=x的圖像是上升的，函數f（x）=x2的圖像在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的．從形的角度初步認識函數的單調性．

師生活動：學生利用描點畫出函數的圖像，并觀察當自變量變化時，函數值有什么變化規律，教師引導得到單調性的“形”的定義．

學生展示成果.

生：兩個函數的性質如圖2、圖3所示.

圖2

x y -3　-3 -2　-2 -1　-1 0 0 1 1 2 2 3 3

圖3

x y -3　9 -2　4 -1　1 0 0 1 1 2 4 3 9

生：函數f（x）=x的圖像在整個定義域上（從左向右看）成上升趨勢，f（x）=x2的圖像在x＜0時成下降趨勢，在x＞0時成上升趨勢.

師：很好.函數圖像（從左向右）總是上升的，反映在自變量和應變量上就是y隨x的增大而增大，圖像具有這種特征的函數，我們就稱它是單調遞增的.

師：（板書）設函數的定義域為I，區間D?I．在區間D上，若函數的圖像（從左向右）總是上升的，即y隨x的增大而增大，則稱函數在區間D上是遞增的，區間D稱為函數的單調增區間.（學生類比定義“遞減”，接著回到前面以溫度變化為背景的函數，讓學生準確回答單調性）

設計意圖：從圖像直觀感知到文字描述，完成對函數單調性的第一次認知．明確相關概念，準確表述單調性．借此強調函數的單調性是相對某區間而言的，是函數的局部性質．

師追問：剛同學畫的f（x）=x2的單調性如何？

生：從圖像可知，在區間（－∞，0）上遞減，在區間（0，+∞）上遞增．

生：（有點使壞）某同學畫的是區間［－3，3］上的圖像，在區間［－3，3］外看不出單調性.

師：（稍停頓，有點意外）同學畫的是區間［－3，3］上的圖像，在區間［－3，3］外看不出單調性，也就是說你怎么保證x＞3時圖像是一直上升的，不會下降呢？

師：函數圖像雖然直觀，但是缺乏精確性，而且我們只能畫出有限的區域，況且有些函數我們根本不知道它的圖像是何形狀，看來僅僅從形上認識單調性還是不夠的，還得從數的角度進一步去認識它．

設計意圖：借此認知沖突，讓學生意識到學習符號化定義的必要性，自然開始探索.

問題2：如何從代數的角度說明函數f（x）=x2在區間（0，+∞）上是增函數，即“y隨x的增大而增大”？

設計意圖：結合圖、表，學生在教師的引導下，結合其初中的認知基礎，用數學符號語言“函數f（x）=x2，在區間（0，+∞）上任取兩個數x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）”來描述“f（x）隨著x的增大而增大”，學生經歷從直觀到抽象，從無限到有限，從圖形語言到數學符號語言，進而理解增函數、減函數、單調區間概念的過程．

生：我覺得增大必須是要有兩個數之間的比較，所以可取兩個數x1，x2及對應的兩個函數值f（x1）和f（x2）來比較大小關系，比方說：f（2）=4，f（1）=1，f（4）＞f（1）．

生：（大聲說）不行，看二次函數f（x）=x2的圖像，f（2）=4＞f（－1）=1，但在區間［－1，2］上并不是增函數.師：兩個不行，那三個行不行？生：（所有學生）不行.

師：那怎么辦？（不動聲色）

生：（笑著說）那就一直取下去，取無數個.師：怎么??？

學生或若有所思，或搖頭，或竊笑，……

生：若在區間（0，+∞）上有無數個自變量x1，x2，x3，…，當x1＜x2＜x3＜…時，都有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…，就能說函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．

師：這樣能不能保證遞增了呢？

生：（很激動）不行，我有反例，可以畫圖說明（上黑板畫了一個反例圖，如圖4）.

圖4

師（追問）：連無數個也不能保證函數遞增，那怎么辦？

生：（猶豫了會）我覺得要所有的都取完，但不知道怎么取.（所有人都笑了）

師：怎樣才能把所有的值都取完呢？難道我們一定要取驗證區間上所有的值嗎？實數上，我們如果真的取驗證區間上所有的值的話，操作起來也是很困難的，能不能想個辦法，用有限變量的驗證來實現這種所有變量的驗證呢？（同組討論）

學生在教師的一步步設疑、啟發下，到了“憤”“悱”狀態.

生：我覺得可以在區間［0，+∞）上，任取兩個x1，x2，得到f（x1）=x21，f（x2）=x22，如圖5，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則說明函數f（x）= x2在［0，+∞）上為增函數．

師：你們同意他的做法嗎？（掌聲響起）

圖5

師：做得非常好.在區間［0，+∞）上，任意取了兩個值，證得自變量大的函數值也大，這樣我們就通過兩個任意變量的驗證實現了所有值的驗證.

師（追問）：一定要兩個都任意嗎？一個行不行？（稍停頓）即對于區間［0，+∞）上任意的x，有f（x）＞f（0），能否說函數f（x）在區間［0，+∞）上單調遞增？

生：不行，剛某**同學畫的圖可說明.

師：三個呢？

生：沒必要.

設計意圖：讓學生體會一個任意不夠，三個任意沒必要，兩個剛剛好．

問題3：如何用準確的數學符號語言刻畫函數y=f（x）（定義域為I）在區間D上遞增？

師生活動：學生在學案上自主嘗試概括定義，投影學生概括的定義，學生點評，教師補充，板書增函數的定義，同組討論指出定義中的關鍵之處．

問題4：類比增函數的定義，我們應當如何給減函數下定義？

設計意圖：得出減函數的定義，從而培養學生的類比能力．

師生活動：小組討論，代表發言交流．教師引導學生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數定義，并給出單調區間的概念.

3.鞏固提高，應用新知

師生活動：引導學生分析例題，將物理問題轉化為數學問題，解題過程由學生在學案上書寫，然后投影，師生共同點評、總結用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．

設計意圖：利用單調性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數單調性的初步應用；在教師引導下，學生熟悉用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．

師生活動：學生討論，代表發言．

設計意圖：通過數形結合思想的運用，加深對單調性定義的理解，強調：（1）單調性是對定義域內某個區間而言的，因此談單調性離不開區間；（2）定義中的“任意”是關鍵；（3）函數在定義域內的兩個區間A、B上都是增（或減）函數，不能武斷認為函數在A∪B上也是增（或減）函數．

A.1B.2C.3D.4

師：非常好.如果f（x）在區間［1，+∞）上是單調遞增的，那么f（2）＞f（1）肯定成立，可以縮小k的范圍，這也是我們解決選擇題很有效的方法，可以提高準確率.

師（追問）：反過來對嗎？如果f（2）＞f（1），能否說f（x）在區間［1，+∞）上是單調遞增的？

生：不行.

師：還有沒其他的方法解決這個問題？

生：利用單調性的定義.（略）

設計意圖：進一步加深對函數單調性定義的理解和熟悉用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．

4.回顧反思，深化新知

問題5：通過本節課學習，你有哪些收獲？

師生活動：學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，教師梳理、概括本節課主要的學習內容，并揭示蘊含的數學思想方法．

設計意圖：使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法．

二、教學反思

中學數學對單調性的認識是“螺旋式上升”的：圖像直觀（直觀化定義）——文字描述（描述性定義）——符號表達（形式化定義）——精準刻畫（導函數定義）.本節課處在最關鍵環節，其難點是如何突破用靜態的數學符號刻畫動態的函數變化趨勢，其中“任意”一詞是最大的難點.我們思考以下幾個問題：

（1）為什么要學習函數單調性的形式定義？（回答學習的必要性）

（2）為什么非要從左向右看？（遵循x軸正方向）

（3）怎樣用數學符號語言描述自變量x逐漸增大？（抽象出x1＜x2）

（4）能否檢驗幾個具體數值甚至無數個數值判斷函數單調遞增？（幾何畫板驗證）

（5）如何做到取遍所有的x值？（逼出任意性）

（6）怎么用數學符號描述因變量y隨x的增大而增大？（當x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2））

圍繞上述問題，我們采取遞進式問題串的形式組織學習材料，分散難點，并尋找已有的認知經驗，使得函數單調性的形式化定義水到渠成.

數學的本質是思維對話，即師生對話（引導）、生生對話（討論）、生本對話（自學）.對話教學的關鍵是既關注預設的問題，又重視生成的問題.從預設與生成的角度看，本節課做得較好的地方有：（1）在學生回答了f（x）=x2的單調性后，筆者課前的預設是借助雙鉤函數的圖像使學生產生認知沖突，讓學生意識到僅僅從形上認識單調性還是不夠的，還得從數的角度進一步去認識它，即學習符號化定義的必要性.沒想到學生會回答“同學畫的是區間［－3，3］上的圖像，只能看出［－3，3］上的單調性”，這完全出乎筆者的意料，這時筆者只能將他的話重復一遍給自己留思考的時間.怎么保證x＞3時圖像是一直上升的，不會下降呢？得從數的角度去分析，筆者突然意識到這不就是自己想要的嗎？讓學生產生認知沖突，從形上認識單調性還是不夠的，還得從數的角度進一步去認識它，進而意識到學習符號化定義的必要性，于是筆者也就沒必要請出雙鉤函數了.（2）在變式2中，筆者的預設是學生利用定義去完成，從而得到進一步加深對函數單調性定義的理解效果.令筆者始料未及的是學生利用即k＜2就得到選項，筆者意識到這不就是解決選擇題，提高準確率的常用手段嗎？于是很肯定地表揚了他.在教學中，教師應根據學生所答、所問及時改變預設的程序，創造性地組織教學，這既是對學生發現的肯定，更是尊重學生的表現.這樣的教學真正使學生成為了學習的主人，反映了課堂教學的真實、自然.

李邦河院士曾告誡我們“數學根本上是玩概念的”.那么，如何在教學實踐中“玩概念”？可謂見仁見智.章建躍先生認為，數學中“玩概念”包含兩個方面：一是定義概念，二是利用概念研究數學規律.在數學概念的教學中，最忌諱的是“重結果，輕過程”，忽視學生在探索過程中的主體地位，匆忙地拋出概念，緊接著講解各種題型及大量訓練，學生不知其所以然，更談不上發展思維了.教師應該讓學生弄清概念的來龍去脈，理解概念的內涵和外延，掌握概念的應用，并且在概念的生成中，體驗過程，學習方法，領悟思維，發展思維.

參考文獻：

1.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）數學（必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.匡宗春.關于高中數學概念的生成過程的探索［J］.數學通訊，2011（10）.

3.董入興.對數學“構建自己的理解”的實踐與思考［J］.數學通訊，2013（1）.F