高中數學教材“推廣型”內容的教學策略

■江蘇省栟茶中學　繆瑞紅

?

高中數學教材“推廣型”內容的教學策略

■江蘇省栟茶中學繆瑞紅

一、“推廣型”內容的教學面臨的問題

1.推廣的重要性

要認識到推廣的重要性問題，就是要回答“數學推廣的原因是什么”.在教學過程中，教師需要立足于學生的實際認知能力，并糅合數學發展及邏輯規律，使學生深入意識到推廣的重要性.舉個例子，在講述大于360°的角及負角時，就能列出學生在實際生活中常見到的大于360°的角和負角，比如翻單杠時的轉體動作、跳水時翻騰的動作、鐘表內的指針轉動、車輪的轉動等形成的各種角度，以期表現出創新推廣的必要性和重要性，同時也讓學生更好地感受到數學的魅力和價值.

2.推廣的策略性

面對推廣的策略性問題，就是要回答“怎樣更好地做到推廣”.綜合數學的學習思考、探究研討的過程，往往應用如圖1所示的思維模式.

圖1

在推廣過程中，為了明顯展示相聯系的概念，可以用類比、歸納、轉化及化歸等思維方式，能夠有效地推動學生進行數學思考，讓他們更快速地了解到自己的興趣所在，并能在學習過程中得到探究方法的道理.比如，在講解平面幾何中的向量方法時，教師可以用這樣的“關系圖”，如圖2所示.

圖2

3.推廣的應用性

面對此問題時，就是要回答“實施推廣后的作用是什么”.教師應該立足于舊概念推廣獲取新概念的根本上，看重新概念或知識的實踐，使推廣的意義更好地體現出來.此意義，不單單顯示在新知識對舊知識的革新上，更能使學生體驗到數學概念的推廣會創造更優質繁多的性質.舉例來說，我們把勾股定理推廣到余弦定理后，就能提出此類問題：在解決三角形問題中，如果∠C是銳角的話，那么可以得出a2+b2＞c2；如果∠C是鈍角的話，那么a2+b2＜c2.按這樣的方式，不僅使學生充分了解到余弦定理與勾股定理的聯系，還可以使學生體驗到新概念創造的意義.

二、“推廣型”內容的教學的有效策略

1.籌建具備認知沖突的實際情境，展現推廣的重要性

通過一定的認知沖突可以激發學生的好奇心理，來吸引學生進行關注和思考.認知沖突是進行數學教學的高效時機.在推廣教學的過程中，籌建具備認知沖突的實際情境，可以更好地展現推廣的重要性.

（1）使教學情境貼近生活，提高推廣的必要性.在處理實踐生活和生產實際等相關問題時，實施數學推廣一般是最為科學有效的手段.因此教師糅合生產生活的實際實例來籌建教學場景，讓新概念的產生更有說服力.

案例1在對“拋物線”這堂課進行講解時，老師可以先根據拋物線的定義，對同學提出問題，接下來推廣其解題技巧.

例1過拋物焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A1、B1，則∠A1FB1的度數是多少？

如圖3，拋物線的定義是：在平面內，到一個定點O和一條直線l的距離相等的點的軌跡，叫做拋物線.老師在引導學生對拋物線學習的同時，還可以將其類比推廣，A1、B兩點之間的連線是否經過點O或∠A1OB1的度數是多少？

圖3

（2）讓事物之間的關系變得普遍，展示推廣必要性.在推廣中，一般方法是將變量或物體之間的特殊關系變成普通關系，以此來得到具備普遍意義的概念和公式.在教學過程中，通常先回顧涵蓋范圍小或概括能力弱的知識，然后以此為前提籌建有認知沖突的教學情境.舉例來說，在把函數的圖形對稱推廣到如何判斷函數的奇偶性，在認知系統發展的基礎上說，應歸為“下、上位關系學習”一類，“先行組織者”表示函數奇偶性的判定.在課堂教學中，教師能夠設立下面的情境.

案例2教師在進行講解“函數的奇偶性”一課時，其中書本是這樣定義函數的奇偶性：一般地，先設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）= f（x），那么稱y=f（x）是偶函數；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數為奇函數.教師可以先要求學生進行自學，結合一些具體形象的函數畫出圖像，從而總結出奇函數與偶函數的概念.

其實老師可以對函數奇偶性這個概念做進一步的推廣，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），實際上就說明有x就有-x存在，這個其實是相對的，也就是定義域是關于原點對稱的.所以，通過對定義的推廣，我們能夠從三個方面來對函數的性質進行判斷：首先，判斷定義域，看函數的定義域是否是關于原點對稱的；其次，判斷f（-x）與f（x）之間的關系；最后，若f（-x）=f（x），則可以判斷函數y=f（x）是偶函數，若f（-x）=-f（x），則判斷函數y= f（x）為奇函數.

2.對已學的知識進行推廣探索，加深理解

教育的方法在逐年地隨著思想的進步而改變，例如，新提倡的四個方面——知識體系、技能體系、方法體系和經驗體系，就已經很大程度上突破了傳統的限制，這些方面上的要求，是對普通教育方法的延伸，要求學生不僅能夠掌握知識本身，還要能夠學以致用，學會自我思考總結，自我提升，并且要能夠將所學的知識應用到實際的生活當中，在應用知識的同時，同樣能夠溫故而知新，有新的感悟和收獲.下面將簡單的介紹幾種分析的常規方法：

（1）類比的方法.在數學學習的學業生涯當中，很多的同學都應該對這種方法有比較深的感悟，即從已知到未知的一種探索，很多的知識都是我們已經學習過的，他們往往具有一定的規律和常規性的思維方法，我們受到啟迪，從這些已知的東西和思考的角度去解決未知的問題，往往也是十分容易的.

（2）化歸的方法.簡單的說便是從一個很小的問題得出結論的基礎之上，總結得出類似于這個小問題的解決大問題的方法，首先便需要我們能夠大膽地去假設，再運用所學的知識對這些假設的思想和結論進行證明演示，假如我們能夠證實這些推論是有效的，則能夠下定最終的結論了.數學的海洋中，也需要我們敢于假設，往往能夠去開辟出新的天地.

3.結論的實用性，掌握類似的方法

我們通過已知的知識進行轉化，能夠延伸出許許多多新的結論，而這些結論，也能夠被我們當成新的定理運用，但是這些定理往往也會具有自身的約束，因此要求我們在得到新的知識之后，還要進行深入的分析和學習，這樣不僅能夠加深我們對知識的理解程度，也能夠讓我們養成深入思考的好習慣.

同時在另一個層面上，也要求了老師必須正確地引導學生進行分析.比如說運用辨析的方法，來加深學生理解問題的深度也是十分必要的.

案例3高中數學課本“基本不等式的證明”一節中，對該知識點進行推廣.

在訓練中可以培養學生多角度思考問題的能力，從而能夠靈活多變，不再是死做題，做死題.教育的目標便是培養應變性的人才，懂得思考和會思考才是我們的最終目的，而不是死記硬背，這也是數學學習與其他科目學習的最本質上的區別所在.

三、結束語

類似于這種教學的方法還有很多，幫助學生更加全面地理解知識的無局限性，多樣化和運用的廣泛性.從小就培養他們在自己有限的知識體系下，能夠獨立地探究未知的知識，并且加以證實和探討.不僅要學會思考，還要懂得應用.同時我們也相信，在探索前進的道路上，能夠激發學生對于數學奧秘的探索興趣，以便于更好地學習.

參考文獻：

1.曾榮.高中數學教材“推廣型”內容的教學策略［J］.教學與管理，2015（7）.

2.晏玲友.高中“數學文化”內容的教學策略研究［D］.重慶：西南大學，2011.

3.符白陵.高中數學函數的教學策略研究［D］.?？冢汉Ｄ蠋煼洞髮W，2014.F