讓學生的思維在課堂中自然流淌——以高三一輪復習“圓錐曲線中的轉化問題”教學為例

■浙江省鎮海中學　朱寒杰■江蘇省天一中學　何志奇

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讓學生的思維在課堂中自然流淌——以高三一輪復習“圓錐曲線中的轉化問題”教學為例

■浙江省鎮海中學朱寒杰
■江蘇省天一中學何志奇

2015年12月11日，江蘇省海門中學舉辦了第31屆教學“百花獎”全國展示活動.作為邀請嘉賓，筆者很榮幸站在海門中學的講臺上展示了一節高三圓錐曲線的復習課，課后，受到了江蘇省天一中學數學特級教師、教授級高級教師——何志奇教授和其他與會教師的一致好評.現將本節課的教學設計、自己的點滴感悟和何教授的專家點評分享如下，供同行參考.

一、教學設計

筆者拿到的課題是高三一輪復習——直線與圓錐曲線的位置關系，翻閱蘇教版選修2-1教材和2015年江蘇高考數學考試說明，均未找到這一知識點.于是筆者準備將本課的題目定為“圓錐曲線中的轉化問題”，任何圓錐曲線解答題只有進行了合理的轉化才能有準確的計算.故探討這一問題，顯得很有意義.

1.五年高考切入課題

本課以江蘇省2011~2015年五年高考的圓錐曲線大題為切入點，分析各題中的關鍵條件的轉化，從而讓學生感受到條件轉化在圓錐曲線問題中的重要性.從學生最感興趣的高考題入手，快速吸引學生的注意力，提升本節課的學習興趣.

2.典型例題展開課題

在學生求知欲最強的時候，立即給出如下例題：

圖1

本題設計思路清晰，題目簡潔明了，解題策略豐富多樣，能夠充分體現“圓錐曲線中的轉化問題”這一主題.根據學生對條件的不同轉化方式，本題給出如下三種解題策略.

策略1：

解答：設MN方程為x=my+1，代入8x2+9y2-72=0，消去x，得（8m2+9）y2+16my-64=0，

策略2：

解答：設AM方程為x=ty-3（t≠0），代入8x2+9y2-72= 0，得（8t2+9）y2-48ty=0，

又右焦點坐標F2（1，0），所以MN方程為代入8x2+9y2-72=0，

由MA⊥NF1，故kAM·kNF1=-1，即

策略3：

又因為MA⊥NF1，所以直線NF1方程為

化簡得16t4-33t2-45=0，即（t2-3）（16t2+15）=0，

從課堂的教學情況來看，課前預設的這三種策略正是學生上課時依次想到的.這也讓學生的思維在課堂中自然地流淌.

通過這道例題的講解，告訴學生：“圓錐曲線問題一旦轉化不得力，就會遇到計算的麻煩.所以，大家在遇到計算中的困難時，除了暴力求解，也請多思考最優的解法.畢竟只有改革創新，社會才能進步！”

3.經典練習深化課題

正當學生的思維處在最興奮的時候，給出如下練習，讓學生體會在計算過程中轉化問題.

圖2

本題可以視為例1的變式，學生在解答過程中可以利用例1解答中的部分過程.本題給出如下四種解題策略.

策略1：利用求根公式，代入化簡，得

策略2：利用“消元”思想，代入化簡，得

策略4：尋找出現問題的“根源”：

4.探究發現拓展課題

高中數學學習不應僅僅學習知識，還應主動提出問題，發現問題，培養自身的探究能力，于是本教學環節引導學生從特殊到一般的角度對練習題進行拓展延伸.“從特殊到一般”和“從一般到特殊”，是認識問題的普遍規律，按照梅森的觀點，特殊化與一般化正是數學思維的核心，同時也是怎樣解題的關鍵所在.

人教版選修2-1第77頁中的“閱讀材料”給出了圓錐曲線在直角坐標系中的統一方程.于是，結合學生的討論，我順勢給出如下命題，供學生課后思考.

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，A，B為曲線C與x軸的兩個交點，過定點D（n，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點.設直線AM，BN的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．

二、點滴感悟

1.圓錐曲線復習什么

圓錐曲線是全國各地高考的重點考查對象.歷年各地高考題中均會出現圓錐曲線解答題，此題往往會成為各位考生的噩夢.那么圓錐曲線試題的難到底難在哪里呢？筆者認為，就是轉化和運算.轉化是指“合理拆分圓錐曲線的幾何特征與代數表示”；運算是指“分析運算條件、探究運算方向、確定運算程序、檢驗運算結果”.所以我們在復習中要從這兩方面幫助學生克服心理障礙.這也正是我們在圓錐曲線復習中要著重強調的兩個方面.在分析每一道圓錐曲線試題時，都要從這兩個方面幫助學生突破難點.

2.圓錐曲線復習課怎么上

經過這次展示活動，筆者認為要備好一節圓錐曲線復習課，需從以下四個方面重點突破：（1）精選例題.要在一節45分鐘的課堂上教給學生更多的知識，一道簡潔明了的例題是必不可少的，不在題意上給學生設置障礙.同時，此題還必須具有“開放性”，學生無論用“通性通法”還是“獨門絕技”都能解決的例題才是好的例題. （2）變式訓練.筆者認為，例題是教師在課堂上通過自己的講解，幫助學生達到預設的教學目標.而練習則是教師希望學生通過自己的努力鞏固剛剛學到的知識與方法.所以要達到一節課的教學目標，除了例題的講解還必須配有相應的練習.而此練習要盡可能地對例題進行變式拓展，這樣就能充分利用例題中的解答過程，最大程度地利用45分鐘的寶貴時間.（3）留有思考的空間.一節完整的課并不意味著要解決所有問題，筆者認為要將課堂內容適當地延伸到課堂外，給學生留有思考的空間，使得學生上完本節課仍然意猶未盡.（4）留有總結的時間.海門中學的做法是：在一節課結束前3分鐘會有一個鈴聲，用來提醒上課教師一節課的總結時間到了.筆者認為這是一個很好的做法.很多時候，不在于你教給學生多少，而是學生自己總結了多少.不僅如此，筆者認為還應將總結的時間交給學生，讓學生自己談談一節課的收獲.

三、專家點評

點評專家：何志奇（江蘇省特級教師、江蘇省首批教授級高級教師）

（1）能緊扣教學重點與學生在解析幾何中最容易出現的困難進行分析.解析幾何的本質是幾何問題代數化，而本課的教學目標是學會對解析幾何問題進行合理轉化，目標定位準確具體、全面且適當.其中當學生的思路與教師的思路發生偏差時，朱老師能順應學生的思路，給學生恰當的指導來幫助學生獲取成功，而不是強行將學生的思維納入教師思維的軌道，課堂上學生沒有感到很失敗，沒有沉默不語，教師也沒有一個人在唱獨角戲，學生嘗到的是解法成功的喜悅.從學生的角度來看，例1的策略1和策略2，學生是很自然想到而獲得成功的.

（2）本課一大亮點是抓住一道題進行展示.就像拍照，同一個人以不同的姿勢拍出各式各樣的照片.圓錐曲線復習不在于題目的多少，而在于對同一道題能否從某個方法上或者某個知識點角度進行深入的挖掘.本節課對例1進行了非常深入的挖掘，將題目的演繹發揮得淋漓盡致.高三復習，一節課需要多少題目？貴在精，不在于灌.朱老師用一道題目一個課堂練習圍繞解析幾何的“轉化”核心演繹了精湛的教學藝術.

（3）在課堂演繹過程中，以最快的速度切入主題，迅速吸引學生的眼球.這在圓錐曲線復習課中非常重要，為后續騰出更多的時間進行題目的剖析與演繹.本課的教學完全順著學生之意進行展示，尊重學生的個體思維差異，學生回答什么，就講什么方法，并未刻意地向學生灌輸相關知識與方法.真正做到老師的一桶水，準備充分，為不同層次的學生在數學知識與數學技能等方面提出不同思維層次的要求.

（4）本課的另一亮點則是將解題過程寫成框架圖，顯得非常清晰，邏輯意識潤物細無聲地滲透到學生的心里，學生印象深刻.

（5）本課的一大遺憾則是未讓學生提出問題，哪怕是一個問題也好的呀！李政道先生曾說過：“求學問，需學問；只學答，非學問.”我們現在的學生“只會答，不會問”.在實際的教學中，我們應該把更多的時間留給學生，讓其能夠“于無疑處有疑”.

感謝江蘇省海門中學給了筆者這樣一次展示教學的機會.從備課、磨課到上課，筆者收獲良多，尤其是何教授的精彩點評，筆者一定會謹記于心.在今后的課堂教學中，努力做到把“更多的時間留給學生”，讓其能夠“于無疑處有疑”.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.