“空間向量的數量積運算”教學設計與反思

■浙江省杭州市余杭高級中學　曹良華

?

“空間向量的數量積運算”教學設計與反思

■浙江省杭州市余杭高級中學曹良華

筆者有幸參加了2015年浙江省高中數學課堂教學評比活動，并得到了與會專家和老師的一致認同，獲得了課堂教學評比一等獎.以下是本節課的教學設計和課后的教學反思，以此拋磚引玉，供同行參考.

一、教學內容解析

向量兼具“數”和“形”的雙重形態，是溝通代數和幾何的橋梁.空間向量為處理立體幾何問題提供了一個新的視角，是解決三維空間中圖形位置關系與度量問題的有效工具.

空間向量的數量積運算，是人教社A版《數學2-1》中繼空間向量的加減運算、數乘運算之后的又一種運算，是平面向量運算向空間推廣的一個實例.在平面向量的夾角、長度概念和數量積定義的基礎上，通過類比的方式，得出空間向量數量積的相關概念、運算律，并舉例說明了空間向量數量積運算在處理立體幾何中垂直關系中的重要作用，充分體現了數學的應用價值.

做好“類比”、抓住“本質”、學會“方法”、奠定“基礎”是本節課的教學主線.通過類比發現“任意兩個空間向量都是共面的”，抓住本質確定“空間任意兩個向量的數量積本質上就是平面向量的數量積”；基于空間向量的數量積運算，學會用數量積解決垂直問題的方法，體會化歸轉化與數形結合思想.另外，本節課內容為后續學習坐標表示下的向量方法解決空間角、長度、垂直等問題奠定了重要基礎.

二、教學目標設置

教學指導意見對本節內容的要求是：理解空間向量的長度和夾角的意義；理解空間向量的數量積的意義及其運算律；能利用空間向量的運算解決直線和直線垂直、直線和平面垂直、兩點間距離或線段長度等相關問題.結合教學實際，制定教學目標如下：

（1）通過小組合作、自主探究、交流分享，在類比中歸納得出明確的認識：空間任意兩個向量都是共面的，空間任意兩個向量的數量積就是平面向量的數量積；學生能進一步理解和掌握空間向量數量積的相關概念及運算.

（2）經歷例1、2的分析、求解過程，學生能初步體驗空間向量在解決立體幾何有關問題中的重要價值，能基本掌握用數量積處理空間中線線、線面垂直問題.

（3）在解決具體問題的過程中，學生能強化數學應用意識，感悟數學思想（數形結合、化歸轉化等）的魅力.

三、學生學情分析

學生在經歷空間向量的概念及線性運算之后，已感受空間向量與平面向量之間的內在聯系，體會并運用類比的方法學習空間向量及其運算.由于空間任意兩個向量必共面，因此空間向量在本質上與平面向量是一致的.同時學生在平面向量的學習中，已經認識到平面向量的數量積在判定位置關系（垂直）、角與距離的計算中的應用價值，這為研究空間位置關系及相關度量提供了類比前提，即在平面向量的夾角和向量長度概念的基礎上，類比引入空間向量的夾角、長度的概念和表示方法，類比平面向量的數量積的運算得到空間兩個向量的數量積的概念和計算方法、運算律.

空間向量的投影以及數量積的分配律，代數形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學生在類比歸納中的一個難點，需要適時鋪墊引導，逐個突破.

數量積在解決立體幾何中直線和平面垂直、直線和直線垂直等問題的過程中，學生對幾何元素與空間向量之間的對應及如何用空間向量表示所涉及的幾何元素可能困難較大，這是將立體幾何問題轉化為空間向量問題的關鍵.

基于教學內容和學情分析，本節課的重點和難點確定如下：

重點：通過類比歸納得出空間向量數量積的概念及運算，能利用數量積運算解決空間垂直問題.

難點：理解空間向量的投影以及數量積的分配律；用空間向量表示線線、線面垂直，并深刻體會“沒有運算的向量只能起到路標作用，有了向量的運算力量無窮”.

四、教學策略分析

（一）本節課的框架設計

為了實現教學目標，我按照以下框架安排本節課的教學：

環節1：問題引入，提出概念；

環節2：自主探究，交流分享；

環節3：例題賞析，感悟“運算”；

環節4：歸納總結，作業鞏固.

（二）對教學方法和手段的分析

本節課的教學主線是：做好“類比”、抓住“本質”、學會“方法”、奠定“基礎”.教學過程中，充分發揮學生的主體作用，踐行“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學理念，凸顯“以學生為主體的教，在教師引導下的學”的授課模式.通過問題引入、閱讀理解、表格填寫、交流分享等途徑，讓學生“動起來”，讓課堂“活起來”.在概念、運算律的建構中，始終堅持讓學生主動進行類比與歸納；在例題賞析中，注重引導學生建立“已知”與“待求”間的“關聯”.借助向量工具適時轉化難點，設置問題串適時突破難點，注重滲透數形結合、化歸轉化的數學思想.通過課堂小結與感悟，讓學生能對課堂所學有持續的思考，激發學習的熱情，進一步增強教師引領的輻射作用.

另外，根據教學需要，對教材內容和呈現方式作了如下設計：

（1）設置“自主探究，交流分享”環節，并以表格的形式呈現空間與平面向量數量積的對比，增強對比的效果，突出兩者的共性，有利于空間向量數量積的知識構建.

（2）以表格形式呈現課本第90頁思考題中的3個問題，概括為“可約、可除、可結合”三個問題，增強學生對三種運算的直觀理解.

（3）以例1、例2為載體，強化學生對“數量積運算”價值的認識.通過“課堂感悟”，引導學生去體會“沒有運算的向量只能起到路標作用，有了運算的向量力量無窮”.

（4）制作實用的多媒體課件，設計合理的板書，輔助課堂教學的有效開展.

五、教學過程

（一）問題引入，提出概念

之前剛剛學習了空間向量的加減、數乘運算，通過學習發現：空間向量的加減、數乘運算與平面向量的加減、數乘運算是完全一樣的.必修4中已經學習了平面向量的數量積運算，從定義、幾何意義、運算律等方面認識了數量積運算，那么空間向量的數量積運算會是怎么樣的呢？

設計意圖：通過回顧加減、數乘運算學習經驗，讓學生體會空間向量與平面向量的內在聯系，暗示學生運用類比的方法學習空間向量的數量積運算等.借此，提出“空間向量的數量積”的概念，為后續自主探究、交流分享環節作好鋪墊.

（二）自主探究，交流分享

1.小組合作，自主探究

分組：4人小組，確定1名組長.組長負責組織討論、記錄、匯報討論結果.

引導：呈現研究平面向量數量積運算的幾個維度，暗示學生探究的方向.

向量的數量積平面　空間夾角定義、范圍對非零向量a，b，作O■→A=a，O■→B= b，則∠AOB叫做a與b的夾角，范圍：［0，π］定義　非零向量a·b=|a||b|cosθ，規定：0·a=0幾何意義a的長度|a|與|b|在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積運算律（λa）·b=λ（a·b），a·b=b·a，a·（b+c）=a·b+a·c

巡視、點撥：確認組長，對討論過程中個別疑難處進行指導.

提醒：對照表格進行填寫，梳理空間向量數量積運算的相關知識.

設計意圖：充分發揮學生的主體作用，踐行“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學理念，凸顯“以學生為主體的教，在教師引導下的學”的授課模式，讓學生“動起來”，讓課堂“活起來”.

2.概念辨析，交流分享

（1）空間向量的投影.

向量的投影

設計意圖：學生通過類比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、論證后得到空間向量的投影概念及作法.在此過程中，進一步體會空間向量和平面向量的內在聯系，領悟“空間任意兩個向量都是共面的，空間向量的投影可以轉化為平面向量的投影”，同時還學會了空間向量投影的直觀作法.

（2）空間向量數量積運算的分配律.

（b+c）在a方向上投影=b在a方向上投影+c在a方向上投影

設計意圖：學生在理解了“空間向量的投影”的概念之后，對投影的認識有進一步提升的需要.另外，從定義出發論證分配律也需要借助投影來實現.以長方體為背景的空間向量圖示，能直觀呈現空間位置和向量投影，達到“此時無聲勝有聲”的奇效，是本節課的一處亮點.

（3）課本第90頁思考題辨析.

若a，b，c都不為0　數量積運算誤區數量積運算可約嗎　a·b=a·c■b=c　不可以可除嗎　若a·b=k，則a=k b　不可以可結合嗎?。╝·b）c=a（b·c）　不可以

設計意圖：通過回答表格的問題，學生進一步理解了空間向量數量積的概念及相關運算律，有效地完善了空間向量數量積運算的知識建構，為后續使用空間向量工具解決立體幾何問題提供了運算支持.

3.例題賞析，感悟“運算”

例1在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

設計意圖：將文字敘述轉譯為數學語言表達是例1的難點，將幾何問題轉化為向量問題是又一個難點，解決問題的核心是數量積運算.因此設置如下步驟來突破難點：

第一步，用數學語言表示；（已知：PO⊥平面α，l在平面α內，OA是斜線PA在α內的射影，且l⊥OA.求證：l⊥PA）

第二步，構建“已知”與“求證”的關聯，引導學生將問題轉化為向量問題；

第三步，選擇合適的向量表示，利用數量積運算計算證明；

第四步，根據計算結果解釋幾何結論（三垂線定理）；

第五步，體驗數量積運算的價值：數量積運算可以刻畫空間線線垂直的位置關系.

例2如圖，m，n是平面α內的兩條相交直線.如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α.

設計意圖：例2呈現了數量積運算刻畫空間線面垂直關系的價值.證明l與α內任意一條直線g是關鍵，運用空間向量共面定理表示g=xm+yn是本題的難點.通過與例1的對比，促使學生深刻體會數量積運算在刻畫空間垂直關系中的應用價值.為此設置問題串來突破難點：

問題1如何判斷直線l⊥平面α？

問題2如何判斷l⊥g（g為平面α內任意一條直線）？

問題3如何判斷l⊥g？

問題4如何用m，n表示g？

4.歸納總結，作業鞏固

4.1知識

（1）空間向量數量積的定義、幾何意義、運算律；

（2）用數量積運算來刻畫空間中的垂直關系：線線垂直、線面垂直.

4.2方法

類比與歸納

4.3思想

（1）數形結合思想；（2）化歸轉化思想.

4.4學習感悟

沒有運算的向量只能起到路標作用，有了運算的向量力量無窮！

4.5課后作業

必做作業：書本第92頁練習1，書本第99頁B組第1題；選做作業：試證明三垂線定理的逆定理.

六、教學反思

從實際的教學反饋來看，本節課的總體架構是切實可行的，收效也非常好.本節課的亮點主要體現在以下三個方面：

1.教學思路的獨創性

教學設計中突出了“構建向量的代數系統”的思路，尋求達成“沒有運算的向量只能起到路標作用，有了運算的向量力量無窮”的共識，是本節課的第一大亮點.

教學設計合理地解讀了人教版教材的編寫意圖，為空間向量章節內容的教學提供了一個很好的范式.本節課介紹了又一種新的空間向量運算（數量積運算），從定義、幾何意義、運算律、應用等維度對這種運算進行研究.本節課的重心是數量積運算的認知以及價值體驗的過程，而不是解題應用.

2.教學定位的適切性

教學重、難點的確定是否適切，直接影響教學是否有效.本節課的定位和預設，符合學生認知水平.

高二學生在經歷空間向量的概念及線性運算之后，已初步感受空間向量與平面向量之間的內在聯系（空間任意兩個向量必共面），能體會運用類比的方法學習空間向量及其運算.基于平面向量數量積的學習經驗，學生已經認識到平面向量數量積在判定垂直關系中的應用價值，這為研究空間位置關系提供了類比前提，自然地確定了教學重點——通過類比歸納得出空間向量數量積的概念及運算，并能利用數量積運算解決空間垂直問題.

空間向量的投影以及數量積的分配律，代數形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學生在類比歸納中的一個難點，需要適時鋪墊引導，逐個突破.教學過程中，充分利用直觀的幾何圖示，幫助學生建立對空間向量投影和分配律的幾何內涵的認知，這是本節課的又一亮點.

3.教學過程的探索性

教學過程中，充分發揮學生的主體作用，踐行“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學理念，突顯“以學生為主體的教，在教師引導下的學”的授課模式.這是本節課的第三個亮點.

通過問題引入、閱讀理解、表格填寫、交流分享等途徑，讓學生“動起來”，讓課堂“活起來”，使課堂教學成為在教師指導下的探索學習過程.在概念、運算律的建構中，始終堅持讓學生主動進行類比與歸納，在探究中發現、理解數學概念；設置問題（串）引導學生主動發現“已知”與“待求”間的“關聯”，體驗數形結合、化歸轉化等數學思想.

當然，本節課也存在許多不足之處，需要在后續的教學中加以改進.

（1）小組合作的探究活動開放程度不夠，探究發現的層次不夠高，課堂生成“意外”不多.

（2）例題賞析環節中，學生的主動參與程度不高，氣氛調動和難點突破的設計還需優化.

（3）教學中用的都是靜態的圖示，動態圖示和現代教育技術手段運用不夠.