“問題串”教學模式的實踐與思考——基于“正切函數的圖像及性質”的案例研究

■江蘇省溧水高級中學　李寬珍

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“問題串”教學模式的實踐與思考——基于“正切函數的圖像及性質”的案例研究

■江蘇省溧水高級中學李寬珍

一、背景

問題是學生思維的中心，是數學的心臟.有效的問題設計是數學教學的難點之一，有效“問題串”的設計與運用，可以激發學生的求知欲望，啟發學生的思維，引導學生在合理的“思”、“想”過程中發現、探索、研究，感受概念形成過程中的歸納、抽象、概括等自我感悟、合作交流的建構過程，從而提高數學課堂教學的有效性.以教學內容設計問題為載體的“問題串”教學法，充分體現以學生為主體、教師為主導的教學理念.

前段時間，筆者開設了一節區級公開課，本節課通過一系列的問題串，采用教師點撥啟發，引導歸納總結的教學方式，學生在自己設計的問題串中，主動觀察、積極思考、自主探究、同伴互助、合作交流，從而提升學生的數學素養.下面筆者整理出本節課的教學設計，歡迎指正.

二、教材分析

正切函數的圖像與性質是在研究了正弦函數、余弦函數的圖像與性質之后，研究的另一個三角函數.學生完全可以應用對比、類比的研究方法將已有經驗遷移到對正切函數的性質和圖像的研究中去，同時，學生已經掌握了正切函數的定義、單位圓中正切線和與正切有關的誘導公式等知識，這也為本節課的學習提供了知識的保障.在此基礎上，進一步研究其性質與圖像，體會研究函數的一般方法，為解析幾何中直線的斜率與傾斜角的關系等后續內容的學習作好知識的鋪墊，本節內容具有承前啟后的作用.

三、教學流程

環節一——回顧知識，類比引入

問題1我們是怎樣作出正弦函數的圖像的？

生1：通過單位圓，畫出正弦線，將正弦線平移到相應的坐標系中得到.

問題2你能簡單說出作正弦函數圖像的過程嗎？

生2：先作出［0，2π］上的圖像，再平移得到整個定義域上的圖像.大致可用等分角，作正弦線，平移，連線，再根據周期平移［0，2π］上的圖像.

問題3為何先作這個區間上的圖像？

生3：由于正弦函數周期是2π，而且在這個區間上圖像是連續的，選取靠近坐標軸的部分，便于研究其性質.

設計意圖：通過這一組問題串，回顧剛學過的正弦函數的圖像的作圖過程，為作正切函數的圖像作好鋪墊.由于受認知能力的影響，正切函數與正弦函數的差異，如作圖區間的選擇等學生理解運用有一定困難，讓學生帶著懸念、帶著認知沖突學習新的知識，這樣有利于激發學生的學習欲望.問題3不僅復習鞏固已學的知識，也為后面突破作正切函數圖像的難點——為何選取埋下伏筆，讓學生養成達到運用類比，由此及彼的思維習慣，培養學生思維的嚴謹性.

環節二——動手操作，作出圖像

師：類比正弦函數圖像的作法，你能作出正切函數的圖像嗎？

問題1你覺得作出正切函數的圖像要分幾步完成？

生4：類比正弦函數，可以分兩步完成：先作出一個周期上的圖像，再利用周期性平移.

問題2與正弦函數相比哪些地方需要修改？

生5：由于周期不同，所以區間應改為［0，π］.

師：我們來運用幾何畫板作出［0，π］上的圖像看看.（教師用幾何畫板直接作出圖像）

設計意圖：此處學生回答這個區間也是意料之中，讓學生能更加直觀、形象地理解正切函數的值域和周期性變化.教學中筆者先采用幾何畫板直接作出此區間上的圖像，一是節省時間，二是便于學生觀察圖像，總結確定最終研究圖像選擇的區間，以提高了學生的學習興趣，使之能達到良好的教學效果.

問題3大家觀察此區間上的圖像，與正弦函數圖像相比，有什么不妥的地方？為何會出現這樣的圖像？（引導學生通過正切線在這兩個區間里的變化分析）

生（七嘴八舌）：這段區間上圖像不連續！寫單調區間時也要分開寫，不方便！不便于研究性質！

師：那怎樣修改比較好？

（學生陷入沉思，教師引導學生觀察整個周期上圖像）

師：我們利用正切函數的周期性將其圖像平移，看看整個定義域上的圖像.

（教師用幾何畫板作出整個定義域上的圖像）

生（眾）：（大家一片贊嘆聲）哇！好美！

生6：（禁不住說出一句詩）退一步海闊天空，進一步萬丈深淵！

大家一片掌聲！教室里一片歡騰！

師：不錯??！會借助數學圖像吟詩了嘛！這就是我們數學美的所在！以后大家只要有心，會發現數學美無處不在！那生6你來說說怎么改比較合理？

學生利用正切線畫正切函數y=tanx的圖像.

（做完后利用電子白板投影學生作品，分析講解作圖時的注意點）

設計意圖：借助幾何畫板強大的作圖功能，使學生能更方便地觀察函數圖像的形狀、位置的變化，達到突破難點與提高學習效率的目的.本課難點是為何先選取區間研究正切函數的圖像.學生已明確了正切函數的最小正周期是π，原則上我們可以任意選擇一個長度為π的區間作為一個基本周期區間，在此區間內完成對正切函數單調性的認識.從學生認知角度，這個基本周期區間很自然地取教學中順應學生的思維，再引導學生觀察、對比.由于正弦函數圖像呈現給學生的印象是一條連續不斷的曲線，顯然與此處的斷續圖像不協調.再通過觀察整個定義域上的圖像，自然可以將這兩個區間優化為一個區間，就自然得到了的區間，這樣的分析有助于學生厘清知識發生的本源，了解知識的來龍去脈.

環節三——合作交流，探究性質

問題1結合正切函數的圖像，你能總結出其性質嗎？

分以下幾個步驟完成：

（1）根據正切函數的圖像，小組內討論從哪些方面研究性質？

（2）各小組派代表分享自己小組的成果.

（3）師生共同梳理小組發現的正切函數的性質.

（4）學生獨立完成下列表格.

y=tanx定義域值域周期奇偶性單調性對稱性

設計意圖：通過獨立思考，小組討論得出性質，能加深學生對正切函數圖像的理解.學生在學習三角函數、誘導公式時，已經知曉部分正切函數的性質，如定義域、奇偶性等.現在通過正切函數圖像再進一步理解性質的本質，更加深刻理解選取區間體現圖像在研究性質中的價值.在性質探究教學過程中，堅持以學生為主體，學生思維為主線，體現了學生學習的主體性，有利于學生養成自主、合作、探究的學習習慣.

問題2你能從正切函數圖像出發，討論它的性質嗎？

學生結合圖像，直觀檢驗正切函數的定義域、值域、周期性、奇偶性.

設計意圖：此處為何再次討論性質？作圖之前不是利用已有知識，對正切函數的性質做過研究了嗎？很顯然這里不是對前面性質的簡單重復，應該是完善性質、升華認識.利用正切函數圖像，重點完善單調性：將單調區間整合優化為進而得出正切函數在定義域內的單調區間為利用正切函數圖像，拓展正切函數的對稱性：正切函數圖像沒有對稱軸，但有對稱中心，對稱中心坐標為Z，通過本環節，數形結合思想得到無形的滲透.

環節四——例題精講，夯實雙基

師：利用剛學的圖像與性質完成下面各題吧！

例1觀察正切函數的圖像，完成下列各題：

（1）分別寫出滿足下列條件的x的集合：

①tanx=0____________；②tanx＞0____________；

③tanx=-1____________；④tanx≥-1____________.

師：能具體說明怎么解決嗎？根據函數的什么性質？這組結果有什么特點？

設計意圖：對正切函數圖像的正反辨析，加深對正切函數周期性的理解，生生補充，及時評價，給予鼓勵.

設計意圖：學生在經歷獨立思考、合作探究后，講解結合圖像如何解決，讓學生總結歸納出解決比較兩個正切函數值大小的方法，不僅進一步加深對正切函數圖像的理解，更是培養學生數形結合的能力.

設計意圖：教師適時、適當地予以引導學生觀察正切函數圖像在一定定義域內的圖像，培養學生分析問題和提取信息的能力．

問題：通過這三個小題，你能否總結解決這類問題關鍵要做什么？

生：抓住正切函數圖像.

設計意圖：通過一組題，強化以圖解題的方法，滲透數形結合的思想.引導學生養成“觀察、分析、比較、歸納、概括”的習慣，培養學生抽象思維的能力，同時也培養了學生的創新意識．

師：剛才例1解決得不錯，下面看看例2，你能解決嗎？

設計意圖：整體思想是三角學習以及高中數學教學的一種重要思想，這里利用正切函數圖像加強理解，滲透思想，引發學生的思考，激發學習動機與探究欲望.

環節五——師生交流，總結升華

問題你能否從知識和思想方法上談談本節課的收獲？

（學生總結，教師完善補充）

從知識層面看：（1）正切函數圖像的幾何作圖法.

（2）利用正切函數的圖像得到正切函數的相關性質.

（3）利用正切函數的有關性質解決有關問題.

從思想層面看：解決問題的方法運用了類比、整體的思想方法.

設計意圖：培養學生及時復習和善于總結、歸納、反思的習慣.

四、評價與反思

本課例教學，以教師引導下的“問題串”為載體，從類比入手，設計貼近學生“最近發展區”的問題為支點，引導學生展開了對正切函數圖像作法的研究，學生在問題串中，注重引導學生對學習方法的總結，不斷滲透數學思想的學習，從而深化學生的數學思維，提升學生的思維能力.

1.問題串教學

問題是數學思維活動的載體，而課堂的重要構成因素就是問題.孤立的問題對思維發展幾乎沒有什么作用，只有讓問題以問題串的形式出現，在問題串的引領下，讓學生進行系統的，連續的思維活動，學生的思維才能不斷攀升到新的高度.所以問題串不是幾個問題簡單的組合，而是指在一定的學習范圍和主題之內，按學情、教學目標、對一節課的教學內容或主題設計一組具有較強邏輯關聯的問題.問題串的教學是一種符合當前新課程改革要求的教學模式，在問題串教學模式下，教師將一組問題有效串聯，從而解決教學目標.

本節課教法上采用“問題串”教學模式，圍繞正切函數的圖像與性質這一核心問題，設計了有邏輯關聯、有層次梯度的問題串，作為數學活動的出發點.通過問題串的形式引導學生自主建立正切函數作圖的步驟.引導學生帶著問題（任務）進行積極的自主學習，由表及里，由淺入深地自我建構知識，有效的突破難點.

2.基于“問題串”的教學模式的反思

（1）問題忌簡單化，體現針對性和啟發性

課堂教學中倡導的學習方式是自主、合作、探究，倡導的教學方式是啟發、討論、參與，但是實際教學中，不少教師為了問題而問題，不能有針對性的設計問題，將學生的注意力集中到某一個點.因此要設計問題要注重由淺入深，層層遞進，并能循序漸進的引導學生思考問題，逐步提高學生解決問題的能力.

例如，案例中環節一中的三個問題就是為了更好的滲透類比的思想，從作圖的步驟，到兩者的不同辨別，最后針對難點的突破，三個問題層層深入，讓學生很好地將正弦圖像中的思想類比到正切函數中，使學生的思維一直處在自我否定、自我完善的過程.思維永遠是始于問題，因此好的問題就能啟發學生思考，挖掘學生的內在潛能，激發學生學習的興趣.因此清晰了解學生現有的知識水平，注重學生的“最近發展區”，有啟發性地設置問題，就能誘導學生進行思考，調動學生學習的興趣和欲望.

（2）問題忌形式化，注重突破重、難點

在“問題串”教學模式研究實踐中，不少教師只注重問題的多少，而不注重問題的質量.設置問題的目的是為了突出重點，突破難點，提高“問題串”教學模式的功效.因此，在疑難處、重點處設置問題，能有效培養學生解決問題的能力.

例如，案例中的難點就是為何選取作為作圖并研究的區間，通過設置三個問題，學生由類比正弦定理得到一定的結論，進而發現不同，引發相應的思考，進而優化區間，研究性質.這樣通過問題串的引入，順應學生的思維，逐步讓學生自己接受這個結果，而不是強加給他.

總之，教材作為數學家的智慧結晶，以學術的形態呈現出來，展現在我們面前的是冰冷的美麗，作為一線教師必須運用自己的教育智慧和火熱思考，將冰冷的學術結論轉化為動態的數學教育.而“問題串”教學無疑是一種有效的方式，將教材的內容活潑的展示在學生面前，易于學生接受，從而提高學生的積極性和學習興趣，最大限度地發揮教學效果.