第一部分：課堂實錄

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第一部分：課堂實錄

一、課堂引入：用問題激起相應的經驗，構建數學活動.

師：前面我們學習過任意角的三角函數，下面我們通過幾個問題來檢測一下大家的掌握情況.

這些問題零散地分布于上一節內容即任意角的三角函數教材的例習題之中，比如人教版必修4第12頁例1即求的正弦、余弦和正切值，但教材在處理過程中用了一句非常典型的話：易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為在這里集中呈現，并不是讓學生進行簡單地重復，而是讓學生交流這個“易知”背后的數學活動過程，這樣不僅有利于激起對已有經驗的回憶，更有利于新的經驗的產生.

于是在學生紛紛表明完成并進行簡單的組內交流后提出了問題：你是怎么求這些角與單位圓的交點坐標的？

看見學生還在邊說邊深思，老師決定幫他加上一把火：那它們的終邊與單位圓的交點之間是什么關系？它們的坐標之間是什么關系？

生1繼續：兩個交點也關于原點對稱，它們的坐標互為相反數.

（眾生皆點頭微笑）那么你們由此可以得出什么樣的關系式？

除了少數同學在得到正切的關系時出了點小問題但也在小組交流時順利得以解決，最后學生都得到了如下結果：

師：利用這樣的方法，你還可以求出什么角的三角函數值？

二、深入探討，將活動經驗推廣到一般化，通過歸納演繹，形成概念.

師：剛才的探討中我們用到了三個特殊的角，大家有沒有想一下，還有更多的角不可能這么特殊，我們能不能從更一般的角入手研究一下？

生2：剛才我發現任何一個銳角α將其終邊繞原點逆時針方向旋轉π弧度之后所得到的角，它的三角函數值與α之間都會有一定的關系.

在大家的鼓勵下他寫出了三個式子：

sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）=tanα.

大家的掌聲還未落，又一個學生舉起了手.

生3：我覺得這里的α不一定要是銳角，對任何一個角來說，這三個式子都成立.

眾生愕愕，但看到老師鼓勵的眼神，于是都表現出了探索的興趣，紛紛在各小組內進行熱烈地討論.

隨著討論的進行，同學們的見解逐漸統一，生3的臉上也露出了自信的笑容.這時卻還有一個同學還在低頭默默地在紙上畫著什么，于是老師示意：你還有什么不同的看法，能不能和大家一起分享一下？

生4：我覺得這個式子好像還可以強化一下.

以生3為代表的相當部分同學頓時都用一種驚訝的眼神看向了生4.

生4：既然是將角α將其終邊繞原點旋轉，那么不管按什么方向，旋轉多少弧度，只要能使得到的角的終邊和α的終邊關于原點對稱，那么這三個式子都應該成立！

老師看了一下頓時安靜下來陷入了思考的同學們：大家好像都不反對你的看法，可問題是這樣得到的角與α之間有什么樣的關系呢？

生4：可以寫為（2k＋1）π＋α，k∈Z（為方便敘述，下面的k都是整數）.

師：你能把你得到的關系用等式表達出來嗎？

生4在黑板上寫出了相應的關系式：

眾生沉思之時，生5站起來了：我覺得這幾個式子還可以結合我們前面學過的公式一來理解，（2k＋1）π＋α的終邊與π＋α的終邊相同，它們的三角函數值相等.

這一下其他學生也都表示了理解，紛紛點起頭并露出了笑容.

師：看來他們兩個人思考問題的出發點雖然不一樣，但得到的結論卻完全一樣.在這個過程中他們所用到的知識和方法其實并不新鮮，都是大家在前面學習時遇到并用過的.所以我們在探求新的知識時不要局限于一種固定的角度，要敢于大膽地去嘗試，很多有趣的東西在我們探索之初我們并不知道一定就會得到這么美的結果.

三、橫向聯系，嘗試運用經驗并進一步積累，強化概念的形成過程.

于是教室內在安靜了幾分鐘之后再次陷入熱烈的討論之中，最后兩個同學自告奮勇地上前代表他們所在組表述探究成果.

正在學生分享探索的喜悅時，老師又提出了問題：這些式子這么美，所以我們的前輩們就稱它們為誘導公式.大家能否結合我們剛才的探索再思考一下：它們可能會有哪些用途？

生8：我想對于一個數值上很大的角，我們可以利用這些公式來求它的三角函數值.

生9：我覺得這倒在其次，只是求三角函數值我們也可以通過三角函數的定義來求，過程未必會比這復雜，我覺得關鍵還在于可以把一個數值上很大的角與一個銳角的三角函數值之間產生聯系.

生10：我覺得這幾組公式還提示了兩個角的終邊如果關于原點對稱，關于x軸對稱，關于y軸對稱的話，就可以找到它們相應的三角函數值之間的關系.

同學們興奮地隨著他們的表述或沉思或輕聲附和，這時老師出示了兩組問題（教材上例題）：下面就請大家用你們的聰明才智來發揮這幾組公式的用武之地，看看到底在實際問題中是怎么運用的.

四、回顧活動過程，在經驗的運用過程中通過抽象概括，形成思想方法.

在各小組紛紛做完練習并交流之后，老師提問：在剛才的運用過程中，大家有什么感受？

生11：這些公式用起來確實很好，但是九個公式有點多，容易弄混淆，而且什么時候用哪個公式好像也有點麻煩.

師：那么我們有沒有什么辦法讓我們在用的過程中不那么容易混淆呢？

生12：我是通過畫圖來幫助我記憶運用這些公式的.

師：很好.當代數形式遇到困難時我們就用圖形來幫助，這就叫數形結合.

生13：我好像看到了一個規律，無論哪一組公式，它們對應的三角函數名稱都沒發生變化，只是符號上有很多不一樣的地方，好像有點麻煩，暫時還沒找到規律.

這時所有同學的臉上都露出了笑容，似乎在說，真的是這樣呢.

師：那我們能不能一起來努力看這些個不同的符號有什么樣的規律呢，如果想不清楚，就可以回到我們探索這些公式的過程中去再想一想.

又是一番激烈的交流討論.

生14：任何一個終邊不在坐標軸上的角，其三角函數值都可以和一個銳角取得聯系，它們對應的函數名稱不變，符號就是這個角所在象限對應的三角函數值的符號.

看到其他同學都有些疑惑，老師作了一下溝通：你能不能具體地說一下是什么聯系？

生14：當這個角是第一象限角時，它可以寫成2kπ＋α的形式，它的三角函數值就等于α的三角函數值；當這個角是第二象限角時，它可以寫成（2k＋1）π-α的形式，它的三角函數值在名稱上和α的三角函數相同，但符號取決于第二象限角的對應三角函數值的符號，比如正弦為正，余弦和正切都為負；當這個角是第三象限角時，它可以寫成（2k＋1）π＋α，它的三角函數值和α的三角函數相比名稱上沒變，符號取決于第三象限對應三角函數值的符號；當這個角是第四象限角時，這個角可以寫成2kπ-α的形式，它的三角函數值和α的三角函數相比名稱上沒變，符號取決于第四象限對應三角函數值的符號.

眾生都跟著點頭，并露出了會心的笑意.

師：很好.這樣具體問題具體分析，把枯燥的公式記憶連同其原理一起理解，形式上相得益彰，效果上事半功倍.可我卻有一個問題，這里的這個α一定要是銳角嗎？

同學們略微作了一下思考，都搖了搖頭：應該不一定.但臉上都有些茫然：那該怎么說呢？這時老師寫了一個問題：的三角函數值與的三角函數值之間有什么關系呢？

這時生3再次站了起來：只要一個角的終邊與α角有一種對稱關系，那么不管α角是不是銳角，這些式子都應該成立，這個α角都可以看成一個銳角，那么對應的三角函數值名稱上與α的三角函數值名稱上不變，符號取決于把α看成一個銳角時，2kπ＋α、（2k＋1）π＋α、（2k＋1）πα、2kπ-α所在象限角的三角函數值的符號.

沉默片刻，教室里爆發出一陣熱烈的掌聲.

師：讓我們用掌聲我們自己的努力和智慧喝彩！下面我們再回到教材第25頁例2，大家看一看能不能用剛才我們歸納的公式來快速解決問題？

第二部分：課后反思

一、數學基本活動經驗的形成需要操作過程，而概念課的教學，操作的重點在概念的形成、概念的理解和概念的運用上.具體到誘導公式來說，在探討誘導公式的過程中，運用不同的操作方式讓學生明白“誘從何來，導出什么”是重中之重，不然無論我們花多大力氣，學生也不會明白為什么要學習這些公式，這些公式因何而來，為何而用.本節課在處理這個操作過程時借用了任意角的三角函數特別是三角函數線的概念中出現的四個圖（參見人教版必修4第16頁圖1.2.7），發現任何一個象限角，它的三角函數都和一個銳角的三角函數有關這一已有經驗進行探索，很好地讓學生形成了利用誘導公式可以快速地確定一個角的三角函數值的應用經驗.

二、數學基本活動經驗的積累不可能一蹴而就，需要不斷的積累.一方面，要充分發揮它在學習新知識方面的積極作用，另一方面還要在相同的、類似的數學活動中再次積累，直至形成深刻的、豐富的數學活動經驗.本節課中，我們不斷地從特殊角到一般角，從銳角到看成銳角，借助這些角的終邊與這個銳角終邊的特殊關系這一規律，再到只要兩個角的終邊具有這樣的對稱關系，我們都會得到這樣的結構形式，從而得到一般化的公式及理解.

三、學生在概念的探索過程中，會自發地去運用一些已有的數學基本活動經驗，也能夠直接地獲得一些懵懂、模糊的數學基本活動經驗，我們有必要對學生所經歷的數學活動通過回顧、反思等內在的思考，通過一些邏輯性的檢驗，實現感性經驗向理性經驗的轉變，個人經驗向學科的科學經驗升級.本節課中，公式的探討到什么程度為止，課前并沒有預設，但隨著學生探討的不斷深入，經驗的不斷積累，最終探討到了在教材公式的基礎上加上2kπ的形式，一定程度上有些意外之喜.

四、數學基本活動經驗都會經歷一個以積累為目的，到積累和運用相輔相成，再到純熟的運用境界的過程.本節課中最終順應了學生的實際，將公式擴展到在教材的基礎上再加上2kπ的形式，一定程度上也是為后面再學習探討三角函數圖像性質特別是對稱性服務.例如函數y=sinx的對稱中心，學生根據周期性很容易接受可以是（2kπ，0），但為什么（2kπ＋π，0）也是其對稱中心就很不容易弄明白.如果學生能夠運用到本節課中公式的探索中所積累的數學基本活動經驗，那么在理解上就會順暢得多，自然得多.

五、在數學基本活動經驗下的教學對教師的教學也是一種挑戰.尊重學生數學基本活動經驗的積累與運用就意味著我們要對學生可能具有可能運用到的數學基本活動經驗有一個預判，也意味著課堂上將會有更多我們沒有設想到的場景和問題，也意味著我們的教學目標不能再那么固定和僵化，而要根據課堂上可能出現的問題進行不斷調整，更意味著我們今天所積累的數學基本活動經驗是為了今后的運用而要求我們的教學要有更好的前瞻性……所有這些問題，都將是擺在我們面前所要面對的挑戰.