高三的復習課可以上得有效——以“等式的恒成立問題”的高三復習課教學設計為例

■浙江省寧波市鄞州區正始中學　胡乾彪

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高三的復習課可以上得有效——以“等式的恒成立問題”的高三復習課教學設計為例

■浙江省寧波市鄞州區正始中學胡乾彪

2015年11月在學校舉行“走進名優教師課堂”課例示范活動中，筆者作為一名名優教師的代表參與了上課活動，課型為高三復習課．由于在剛結束的本校高三年級期中考試中有一道等式恒成立的選擇題，從學生答分情況來看不很樂觀，學生反映不知該如何著手進行求解，因此筆者根據學生的這一實際情況，決定在這次示范課展示活動中把等式恒成立問題作為一個微專題進行復習，并把課例名稱定為“等式的恒成立問題”．

一、現狀分析

在現實世界和日常生活中，有大量的相等和不等關系，相等與不等關系既相互對立，又有一定的聯系，如三個“二次”．從學生學習數學以來，先學相等，再學不等（大于、小于），先學方程，后學不等式．但進入高中以后，相對來說對不等式方面的學習比較重視，而對等式或方程有些淡化，導致學生對等式恒成立問題的認識不到位，解決辦法不多，而在各地高三模擬考試、高考中時而有所出現，也需引起重視．

二、課堂實錄

1.引入課題

引例（2015學年第一學期高三期中第8題）已知函數y=f（x）（x∈R）的圖像是連續不斷的，如果存在常數t，使得f（x+t）=-tf（x）恒成立，那么稱f（x）是一個“t型函數”，則下列命題中為真命題的是（）.

A.f（x）=0是常值函數中唯一一個“t型函數”

D.f（x）=x2是一個“t型函數”

師：此題是剛剛結束的期中考試中的一道試題，是一道等式的恒成立問題．從同學們的答題來看不是很理想，這節課我們一起來學習等式的恒成立問題．

本節課主要解決兩個問題：（1）等式恒成立問題的表現形式有哪些？（2）解決等式恒成立問題的方法是什么？

生1：等式恒成立問題的表現形式是要有等式，且關于某個變量恒成立．解決的方法不清楚．

2.設疑解惑

師：我們先看看下面這個問題.

問題1：當實數m=________，n=_______時，f（x）= m（sin6x+cos6x）+n（sin4x+cos4x）+6sin2xcos2x的值恒等于1.

（參考公式：a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2））

師：此題是等式恒成立問題嗎？

生2：是的．有“恒等于”的詞語．

師：如何求解？

生2：用特殊值代入．當x=0時，f（0）=m+n=1，當時，哦，那不行！換成，當時，，解得m=4，n=－3．

師：為什么能用特殊值代？理由是什么？

生2：因為此式是對于任意實數x都成立，那么對任意具體給定的實數也一定成立．

師：求出m，n的值后需要驗證嗎？

生2：理論上是需要的．但現在不用，因為給出的是填空題而且求出的只有一組解，一定是正確的．（全班同學會心一笑）

如果不是填空題，改編成以下的問題呢？

編題1：是否存在實數m，n，使得f（x）=m（sin6x+cos6x）+n（sin4x+cos4x）+6sin2xcos2x的值恒等于1？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

師：（歸納）解決等式恒成立問題的方法1：特殊化思想（先用特殊值探路，再證明一般性成立）

師：在我們高中數學學習過程中，屬于“等式恒成立問題”除了以“等式”、“恒成立”等字眼給出，是否還有其他的表現形式呢？

練習2：若函數f（x）=log2|ax-1|的圖像的對稱軸是x= 2，則非零實數a的值是_________.

生5：函數f（x）=log2|ax-1|的圖像的對稱軸是x=2，所以f（1）=f（3），解得

生6：對定義域內的任意x，有f（2-x）=f（2+x）恒成立，則|a（2-x）-1|=|a（2+x）-1|恒成立，因為a≠0，所以

師：從上面的練習可以得到，若已知函數為奇函數或已知函數的對稱軸等，也可以認定為是等式恒成立的問題.為什么可以這樣認定呢？大家一起回歸教材，看奇函數是如何定義的.

奇函數的定義：一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數.

師：此定義中有等式f（-x）=-f（x），有“都有”兩字，因此可以轉化為等式恒成立的問題.教材中是否還有其他的“形非神似”的內容可以轉化為等式恒成立問題呢？

生7：周期函數.其定義：對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數f（x）叫做周期函數.

生8：等差數列和等比數列.定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差（比）等于同一個常數，那么這個數列叫做等差（比）數列.

（大家一起鼓掌）

師：大家都總結得很好！學習數學不能單單只做題，更應熟讀教材，理解其核心本質.

問題2：已知f（x）是二次函數，且f（0）=0，f（x+1）= f（2x）+x2+2x-3，求f（x）的解析式.

生9：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=0，得c=0，所以f（x）=ax2+bx.由f（x+1）=f（2x）+x2+2x-3，得a（x+1）2+b（x+1） =4ax2+2bx+x2+2x-3.比較對應項系數得解得所以

師：（歸納）等式恒成立問題的處理方法2：恒成立思想.問題轉化為對某一變量恒成立，利用多項式恒成立條件，即a0+a1x+a2x2+…+anxn=0對一切x∈R恒成立，等價于a0=a1=a2=…=an=0.

圖1

3.考題真練

問題3：（2009年江蘇高考第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+ （y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+ （y-5）2=4.

（1）略；

（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標.

師：此題如何轉化？

生10：直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，因為圓C1、C2的半徑相等，所以它們的弦心距也相等.即圓心C1到l1的距離與圓心C2到l2的距離相等.

師：如何表示直線l1、l2的方程？

生10：設P（x0，y0），直線l1的方程為y-y0=k（x-x0）（k≠0），因為直線l1和l2互相垂直，所以直線l2的方程為y-y0=

師：往下如何求解？

師：漂亮！關于某個變量的方程有無數多個解的問題也可以等價轉化為等式的恒成立問題.

問題4：（2000年全國高考第20題）（1）已知數列{cn}，其中cn=2n+3n，且數列{cn+1-pcn}為等比數列，求常數p的值；（2）設{an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn=an+ bn，證明：數列{cn}不是等比數列．

師：哪位同學來解答第（1）問？

生11：因為數列{cn+1－pcn}為等比數列，所以（cn+1－pcn）2= （cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），然后把cn=2n+3n代入，可以計算出p的值，不過運算很繁，感覺算不出來．

師：學習除學知識之外，更應學習勇于面對困難、堅忍不拔的品質．我們一起來解．

生12：因為數列{cn+1－pcn}為等比數列，所以（cn+1－pcn）2= （cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）.把cn=2n+3n代入，得［（2n+1+3n+1）－p（2n+ 3n）］2=［（2n+2+3n+2）－p（2n+1+3n+1）］·［（2n+3n）－p（2n－1+3n－1）］，即［2n（2－p）+3n（3－p）］2=［2n+1（2－p）+3n+1（3－p）］·［2n－1（2－p）+ 3n－1（3－p）］，即，解得p=2或p=3．

生12：可以用解等式恒成立的方法1來解，因為{cn+1－pcn}為等比數列，所以它的前三項成等比數列，可以求出p的值，再加以驗證．由{cn+1－pcn}為等比數列，所以（c3－pc2）2=（c4－pc3）（c2－pc1）.因為cn=2n+3n，所以（35－13p）2= （97－35p）（13－5p），整理得p2－5p+6=0，解得p=2或p=3．當p=2時，cn+1－pcn=（2n+1+3n+1）－p（2n+3n）=3n為等比數列；當p= 3時，cn+1－pcn=（2n+1+3n+1）－p（2n+3n）=－2n為等比數列.所以p= 2或p=3．

（學生鼓掌）

師：回答得很漂亮！等式恒成立問題的解決一般有上述兩種方法，需靈活運用.那么，如果是等式不恒成立問題應如何解決？

學生齊聲回答：舉反例．

師：誰來解答第（2）問？

生13：要證明數列{cn}不是等比數列，只要舉個反例，如證明前三項不成等比數列就行了．設{an}，{bn}的公比分別為q1，q2（q1≠q2），則c1c3-c22=（a1+b1）（a1q21+b1q22）-（a1q1+b1q2）2=a1b1（q1-q2）2≠0，所以c1c3≠c22，所以數列{cn}不是等比數列．

師：很好！大家課后自己訂正期中考試的第8題．

4.課堂小結

（1）等式恒成立問題表現形式通常有：①等式在R上恒成立；②f（x）為奇（偶）函數；③f（x）為周期函數；④f（x）有對稱軸（或對稱中心）；⑤數列{an}為等差（比）數列；⑥方程有無窮多個解；⑦定點、定值等．

（2）等式恒成立問題的解決方法：①特殊化思想（取特殊值，特殊到一般）；②恒成立思想：問題轉化為對某一變量恒成立，利用多項式恒成立條件，即a0+a1x+a2x2+ …+anxn=0對一切x∈R恒成立，等價于a0=a1=a2=…=an=0．

（3）處理等式不恒成立的方法：舉反例．

三、教學體會

本節課從一個期中考題出發引出主題——等式恒成立問題，因為從學生的認知沖突出發，一下就吸引了學生的注意力.引出主題后，順勢拋出兩個問題：（1）等式恒成立問題的表現形式有哪些？（2）解決等式恒成立問題的方法是什么？通過與學生的探討，激發思維的碰撞，引發學生的思考，教會學生用辯證的思想看待問題．在學生對等式恒成立問題有所回顧之后，給出了第一個問題，先給學生一定時間思考，當學生有了充分的思考后，通過提問的方式，不停地與學生互動，最終引導學生解決了問題，讓學生參與到知識探索的過程中來．這體現了教師不僅僅是知識的傳授者，也是學生學習的組織者、引導者、合作者．在解決問題之后及時作了歸納，引導學生從不同角度進行變式來得到解決等式恒成立問題的方法.當然，數學的學習，離不開解題，當同學們的思維發生碰撞后，又給出了第二個問題，對于這個問題的解決，讓學生獨立思考，獨立計算，并最終通過學生板演、講解的方式解決了這個問題，讓學生參與到知識點發現的過程中來，并最終歸納出另一類等式恒成立問題的解決方案，即將問題轉化為對某一變量恒成立，利用多項式恒成立條件．同時還提出了等式不恒成立問題的解決方案——舉反例．最后根據歸納的等式恒成立的兩種方法，學以致用，解決了高考中的問題，拓寬了思路，提高了學生的認知水平和解決問題的能力．

同時在高三復習時，回歸教材是數學復習的有效教學．章建躍博士說過：“課本是使學生學做人做事的基本載體，脫離課本的教學不是好的數學教學．”這節課從第一個問題解決并歸納了等式恒成立問題之后，接下來從兩個習題出發，探索教材中的等式恒成立問題，發現教材中有許多等式恒成立的影子，如奇（偶）函數的定義、周期性的定義、對稱性的性質及等差（等比）數列的定義等，真正做到了教材是“源”，教材是“根”，體現了數學教學是從教材中來，最終回歸到教材中去這一教學理念，激發學生思維的火花，讓學生體會到等式恒成立問題貫穿了我們整個高中數學體系．因此，在高三復習教學中一定要熟悉教材、用活教材、拓展教材，深入鉆研教材與高考真題之間的結合點，做好高三復習的有效設計，提高高三復習教學的效率.

總之，只要我們的教學不是主要依靠教師的經驗，而是從學生的問題出發，從學生的實際出發，時時關注學生的表現，尊重學生的想法，滿足學生的需求，為學生的思維發展創設條件，那么，我們的課堂就會煥發生命的活力，使教者愛教，學者樂學，達到有效、高效．

參考文獻：

1.楊云．回歸課本是高考數學復習的有效途徑［J］．中學數學（上），2015（11）．F