基礎自然得　能力天然成——對一次聯考試卷講評課的思考

■安徽省靈璧第一中學　鄭　良　謝　超

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基礎自然得能力天然成——對一次聯考試卷講評課的思考

■安徽省靈璧第一中學鄭良謝超

一、問題提出

2016年安徽省高考將進入全國卷統考模式.學校為使教師與學生盡快適應新的考試形式，組織高三學生（于2015年11月14、15日）參加安徽省“江淮十?！?016屆第二次聯考（試卷由一直使用全國卷的地區負責命制，內容包括集合與簡易邏輯、函數、導數、三角函數、解三角形、平面向量、復數、數列），還安排學科組進行“試卷講評”等教研活動.筆者認真觀摩并詳盡記錄，分析領悟受益匪淺，下面針對試卷講評給出自己的教學思考，不足之處求教于同仁.

二、試題講評過程呈現

限于篇幅，本文不再以師生對話的形式展示課堂教學，同時對命題組提供的答案以思路方法形式呈現，以便讀者能通曉教學全貌.

針對學生按部就班采用“直譯法”（先化簡復數z，確定復數z后求|z|），教師給出另解后指出：準確理解識記的結論能為解題確定直覺方向，通過對比分析確定解題的切入點、理性思考選取合理的解題思路與方法.本題從“大處著眼”準確地利用復數的運算性質優化了解題的過程.

例2（第9題）已知平面向量a、b（a≠0、b≠0），滿足|a|=3，且b與b-a的夾角為30°，則|b|的最大值為（）.

A.2B.4C.6D.8

針對少數學生利用代數法（記|b|=x＞0，θ=〈a，b〉，則0°＜θ＜180°，得，當且僅當θ=60°等號成立，平方后開方易增解x=3cosθ-求解，引導學生從幾何角度解決.

圖1

教師引導學生審視條件與結論：已知三角形的一邊及對角（確定三角形外接圓的半徑），求另一邊.從運動的觀點看，當OB為三角形外接圓的直徑時，|b|取得最大值6.學生自覺構建一個微專題：

鏈接1（第6題）已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別是，則△ABC的面積的最大值為（）.

鏈接2（第18題）已知f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在上的最大值為，當把f（x）的圖像上所有點向右平移個單位后，得到的函數g（x）的圖像關于直線π對稱.

（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；

（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知函數g（x）在y軸右側第一個零點為C，c=4，求△ABC的面積S的最大值.

圖2

以第18題為例，通過對三種方法（正弦定理構建目標S的函數、余弦定理建立關于a與b的方程利用不等式放縮得ab的范圍、幾何背景解釋）的比較，使學生透過現象看本質，明晰各種解法的優點與缺點，深切體會審題的重要性.教師強調解題要抓住變與不變的辯證與統一的關系，巧妙實施“以靜制動”、“動靜結合”等解題策略，并給出各種變式：如條件不變，求△ABC的面積、周長的范圍等.

變式（第16題）已知直角△ABC的兩直角邊AB、 AC的邊長分別為方程的兩根，且AB＜AC，斜邊BC上有異于端點B、C的兩點E、F，且EF= 1，設∠EAF=θ，則tanθ的取值范圍為___________.

圖3

很多學生反映想不出命題組提供的解題思路（以A為坐標原點，分別以AB，AC為x，y軸建立坐標系，利用合理建立坐標系并確立目標函數，不僅對接學生認知，而且使解法更簡潔.

例3（第12題）設點P在曲線y=ex上，點Q在曲線y=上，則|PQ|的最小值為（）.

解：在同一坐標下畫出函數f（x）=ex與函數的圖像，如圖4中的曲線C1與C2，其中曲線y=ex在點A（0，1）處的切線方程為l1：y=x+1，可證ex≥x+ 1，當且僅當x=0等號成立；曲線在點B（1，0）處的切線方程為l2：y=x-1，可證，當且僅當x=1等號成立；而直線AB與平行線l1，l2均垂直，故曲線C1與C2的距離為

圖4

由y=ex聯想其反函數y=lnx（其圖像為曲線C3），能否用y=lnx作為y=x-1與的“隔離”函數呢？可以證明，對于任意x＞0時，均為，當且僅當x=1時等號成立，故有C1與C2的距離不小于C1與C3的距離，而C1與C3的距離即為|AB|，而A，B分別在曲線C1與C2上，所以

對于教材中的結論（x-1≥lnx）的變式x-1≥lnx≥1-，你見過與它相關的題目嗎？你能利用它嗎？

綜上所述，實數k的取值范圍為（－∞，2］.

方法2：上同解法1，故存在x0＞1使得h（x0）=0，即函數g（x）在［1，x0］上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，而g（1）=2－k＜0與x≥1時g（x）≥0恒成立矛盾.

綜上所述，實數k的取值范圍為（－∞，2］.

方法3：記g（x）=xlnx+x+lnx+1－kx（x≥1），即當x≥1時，g（x）≥0恒成立.

當k≤3時，h（1）=3－k≥0，則g′（x）=h（x）≥0，故函數g（x）在［1，+∞）上單調遞增，當x≥1時，g（x）≥0恒成立，只需g（1）=2－k≥0，解得k≤2，所以k≤2；

當k＞3時，h（1）=3－k＜0，函數h（x）在［1，+∞）上單調遞增，且h（ek）=e－k+2＞0（當x趨于正無窮大時，h（x）趨于正無窮大），故存在x0∈（1，ek）使得h（x0）=0，即函數g（x）在［1，x0］上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，所以函數g（x）在［1，+∞）上存在唯一的極小值，也是函數g（x）的最小值，因為x≥1，g′（x）＞0，即函數g（x）在［1，+∞）上單調遞增，又g（1）≥0，滿足題意.

綜上所述，實數k的取值范圍為（－∞，2］.

含參數的（不）等式的“恒成立”或“存在”問題，常用“分離參數法”或“函數最值法”求解.命題組提供的答案為分離參數法，由，記m（x），問題轉化為求函數m（x）的最小值，這要求函數m（x）的最小值易求；若用最值法求解，直接作差構造函數較為困難，而將化分式為整式，有利于求導計算.方法1對參數k分類討論，對于k＞3通過“設而不求”確定函數g（x）的最小值g（x0），通過結論“lnx≤x－1（當且僅當x=1時等號成立）”估算g（x0）；方法2利用數形結合，從函數g（x）的端點值（必要條件，否定一個命題只需一個反例）進行排除，彰顯解法的靈活性；方法3通過必要性解題策略方法，通過特殊值（結論成立的必要條件）來壓縮結論的取值空間，只需在相對（于條件）小的范圍內確定參數k的取值范圍，進而減少或避免對參數的分類討論，提高了解題效率.

將①的左邊、右邊分別看成數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn，只需對任意的k∈N*都有ak≥bk（k從1到n，ak不恒等于bk）即可將ln［n（n+（此為①成立的充分條件）抽象成lnx＞，此命題已在第（Ⅱ）問證實，也可由第12題的結論得到

（Ⅰ）若f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，求實數m的取值范圍；

先證明當x＞1時，有（lnx+1）（x+1）＞2x?xlnx+lnx－x+ 1＞0.記故g（x）在［1，+∞）上單調遞增，因此，對任意x＞1，有g（x）＞g（1）=0，故有

若不分離ex與lnx，難以求導確定其極值點（最終目的是確定函數單調性），嘗試將ex與lnx分離成g（x）＞h（x）形式，利用其加強命題［g（x）］min≥［h（x）］max（其中g（x）的最小值點與h（x）的最大值點不相同）.通過觀察發現，當x=1（起點）時，g（x）=h（x）=2（第21題第（Ⅱ）問邊界值），猜測函數g（x）與h（x）單調性相反（函數值大（?。┑暮瘮祮握{遞增（減）），通過單調性判斷證實猜想.對于形式復雜的函數往往需要合理地拆分變形，然后利用導數判斷單調性，通過中間變量傳遞過渡.如2014年高考全國卷Ⅰ理科第21題：設函數曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）證明：f（x）＞1.

通過“題在書外，根在書中”的壓軸題的求解，給學生心靈以震撼.教師繼續強化教材中基本結論的威力.

例4（第20題）已知O是△ABC所在平面內一點.

圖5

圖6

問題的本質是確定點O的位置，方法1根據向量的系數關系利用三角形中線定理，方法2、參考答案分別兩次使用三點共線的向量式，利用數乘向量的定義及重心的性質.推廣更為一般的問題：已知△ABC，點O滿足，求△BOC，△OCA與△OAB的面積之比.

方法1：記f（a）=t，在同一坐標系下畫出函數y=f（t）與y=|2t－1|的圖像如圖7所示，分別用粗線與細線表示，由圖可知t≤1或t=2.畫出函數t=f（x）的圖像，如圖8所示，由t≤ 1或t=2，可得

圖7

圖8

當0≤f（a）≤1時，2f（a）－1=2f（a）－1恒成立，即0≤f（a）≤1；

當f（a）＜0時，1－2f（a）=1－2f（a）恒成立，即f（a）＜0.

所以f（a）≤1或f（a）=2，以下同方法1.

方法1利用數形結合思想，從形的直觀全局視角入手鎖定目標，然后通過數的精準從局部角度解出結果，借助目標與條件的結構鏈及圖中變量的“首尾相接”傳遞實現轉化與化歸；方法2根據分段函數的定義聚焦中間量f（a），靈活處理，巧妙過渡.本題若建構關于a的方程直接求解，過程相對繁雜.

例6（第19題）已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1·a6=21，a2+a5=22.

（Ⅰ）若數列{bn}滿足，求數列{bn}的通項公式；

（Ⅱ）證明：對一切正整數n，有b1+b2+…+bn＜1.

第（Ⅰ）問為已知數列{n2bn}的前n項和求通項公式，利用公式法求出通項公式要分類討論，第（Ⅱ）問等價于，其放縮方式不唯一，如當n≥2時放縮幅度稍小，有放縮幅度再小一點，當n≥2時有也可由其幾何意義（1·b1+1·b2+…+1·bn表示面積），利用積分求解：b1+眾所周知，對于c（c為常數）的證明（少數情況為先求和再放縮）要保證同向可加性與和的有界性.本題的典型錯誤：b1+b2+…+，因為數列的前n項和是無界的（不收斂），又如，因為只對n=2，3，4有限項成立，盡管無窮遞縮等比數列的前n項和有界，但指數函數的增長速度遠遠大于冪函數，無法保證加式的同向性.

三、教學感悟

試卷講評課是一種重要的課型，尤其是復習階段的主要課型.試卷講評能對學生已學的知識起著矯正、鞏固、充實、完善和深化的作用，是知識的再整理、再綜合、再運用的過程，是師生共同探討解題方法、尋找規律、提高解題能力的有效途徑，還能促進師生反思教與學的不足，通過改進教與學的方法，提高教與學的效果.

當前試卷講評的基本模式是“流水賬”式就題論題地改錯，教師不斷講，學生不停記，學生記完后反復瀏覽或識記正確答案甚至將筆記束之高閣，下次考試錯誤依舊.高耗低效現象的背后的深層原因是教師備課不到位，教師設計未能從學情（基礎知識、基本經驗、心理認知）出發做好“講什么”與“怎么講”.

1.試卷講評內容要以學生基本經驗為基礎

柏拉圖說：“天下本無新事.”我們要從舊中找出新，從新中辨出舊，只有如此才能學得深、理解得透.數學教學不能無視學生已有的知識經驗，應當把學生原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中，生長新的知識經驗.

（1）教師要對試卷進行細致分析.

試卷是講評的載體，教學的基本素材，對試卷的理解與把握關乎教學的成敗.教師要細致準確分析試卷類型（如單元測試、期中（末）考試、高三月考等）、考試范圍（班級考試、全市統考等）、考試目的（檢測、選拔等）、試卷特點（試卷結構、命題特點等）、內容結構（知識點分布與要求）、目標水平結構（考試要求水平通常為了解、理解、應用等）.只有做到知己知彼才能百戰不殆.如任課教師對試卷進行雙向細目分析，（讓學生）明晰高考對該內容的要求，避免學生不知深淺浪費寶貴的學習時間（提倡學有余力的學生拓展數學素養另當別論）；試卷重視數學思想（尤其是數形結合、化歸與轉化）、數學思維（用數學邏輯引導思考方向）的考查等.同時教師還要對近年來高考題做到胸有成竹，將試卷試題與高考真題進行比對分析，豐富其內涵.如第21題與2014年高考陜西卷理科第21題的區別與聯系.

（2）教師要對學生錯誤給予正確分析.

學情是教學的基點，“講什么”取決于教師對學生真實情況的診斷.通過對學生答卷的統計，如每道題學生的錯誤情況，每個學生的錯誤情況，產生錯誤的原因（審題錯誤、計算錯誤、邏輯錯誤等），發現學生對哪部分知識掌握較好（差），針對學生錯誤對癥下藥，切實做好查漏補缺、深化知識理解、體會數學思想方法、發展數學認知及元認知水平.如第2題學生采用的“直譯法”更能對接教材對學生的要求，而靈活運用復數性質則需要學生在學習時加強探究；學生在第12題、第20題第（Ⅱ）問等題目出現對教材結論識記與理解不到位情況，導致無法找到解題的起點或行之不遠.很多學生在第15題出現了用充分條件（由f（f（a））=|2f（a）－1|得f（a）≤1）代替充要條件的邏輯錯誤.教師要對學生的錯誤建立“錯題本”，反思教師的原因，力爭后面教學避免，同時給學生積極客觀的評價（教師盡可能與學生同時獨立完成試卷，比對自己與學生答卷的情況）.

2.試卷講評方式要順應學生心理發展需求

試卷的內容及處理方式等為學生所熟悉，若教師的教學方式依舊自然難以激起學生的興趣，效果可想而知.反之，教師利用“不憤不啟，不悱不發”，把話說到學生心坎里，根據學生的困惑與需求，實施針對性的教學，學生的興趣與能力在不知不覺中得以提升.

（1）聚焦共性現象，關注個性發展.

課堂教學面對全體學生，因此教師選取問題勢必具有共性.教師找到學生的通病和典型錯誤，找準其思維的薄弱點，有針對性地引導學生辨析，找準錯因、錯源，探究正確思路，力爭糾正一例，預防一類，舉一反三，觸類旁通.對于個別學生的特殊錯誤，通過專門談話給予個別輔導.

（2）追求通性通法，兼顧特殊技巧.

試卷講評課應重視通性通法，加強數學知識的落實和數學思想方法的教學.通過通性通法，加深學生對知識、技能的理解和記憶，強化公式、法則的運用.注重通性通法的同時，不忘特殊情況下的（變形、設元等）技巧，讓學生心中有模式而不囿于模式.通過關聯，提高學生審題能力的同時有效規避學生處理問題的思維定式，初步實現“既見樹木又見森林”.

（3）貴在體驗過程，重在引導思考.

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說過：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的.”“學之道在于悟”，只有學生親身體驗過的，才能獲得屬于他們自身的經驗，才能實現遷移應用.蘇聯教育家巴班斯基認為：“教學效率不是決定于教師打算教給學生什么東西，而是決定于學生本身在課堂教學時間里掌握了什么東西.”［1］真正的教育應該是以學生的發展為本，這應該是最核心的教育理念［2］.試卷講評不能因為時間緊，容量大就壓縮學生體驗、思考的空間，應盡可能發揮學生的主體作用.學生在試卷講評前獨立糾錯，相互（糾）查錯，課堂上學生匯報出錯的原因、反思矯正策略方法及新的收獲，教師相機而動，查缺補漏，引導學生構建知識網絡，完善認知結構.通過學生之間的思維展示、相互補充、不斷完善，使其思維的嚴密性、批判性、靈活性、深刻性和創造性得到大幅度的提升.

（4）適時適度拓展，歸納演練鞏固.

試卷講評往往安排在階段復習檢測之后，通過對新授課的反芻、章節的回顧、主線的梳理、試卷的診斷等，學生對知識、思想方法的理解不斷向縱深發展，教師幫學生解惑、釋疑、補缺的同時對相關內容進行拓展，對于出錯率高的問題要及時變換角度出題，通過一題多變、一題多解、多題一解等方式使學生澄清錯誤認識，消除思維障礙，透過現象看本質.

教師對試卷的講評具有針對性、層次性、新穎性、激勵性，最大限度地暴露自己的思維過程，發揮教師的示范作用.但教學是一門科學，也是一門永無止境的藝術.授課教師試圖通過一張“包羅萬象”的試卷來包治百病是不現實的，多個看似到位的微專題致使試卷講評的內容過多，占線過長（整張試卷評講用三個課時），壓迫式的課堂教學讓“多重點”淪為“無重點”，導致后進生消化不良.

“教學活動要能撥動學生的心弦，調動學生的情感，激發學生學習的積極性．不是我教你學，也不是我啟你發，而是教與學雙方在教學活動中做到融洽的交流.教師引著學生走，學生反推著教師走，教師得心應手，學生如沐春風，雙方都欲罷不能，其樂融融.”（劉國正語）通過優質高效的試卷講評，定能使學生學會自主學習、合作交流、養成良好的反思習慣、發展思維能力、樹立學好數學的信心，基礎（知識、經驗）自然獲得，能力天然形成.

參考文獻：

1.［蘇］巴班斯基.論教學過程最優化［M］.吳文侃，等，譯.北京：教育科學出版社，2001.

2．史寧中.數學教育的未來發展［J］.數學教學，2014 （1）.

3．鄭良.探析命題特點明晰教學方向——2015年高考數學全國卷I試題評析及高三復習建議［J］.中學數學教學參考（上），2015（12）.

4.吳衛東.數學思維在“碰壁”中“自然成長”——一節高三復習課的啟示［J］.中學數學（上），2015（11）.