也談“RMI原理”與仿射變換下有關圓與橢圓的若干問題*

■重慶育才中學　王歷權■重慶育才中學　黨忠良■重慶育才中學　郭曉俊

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也談“RMI原理”與仿射變換下有關圓與橢圓的若干問題*

■重慶育才中學王歷權
■重慶育才中學黨忠良
■重慶育才中學郭曉俊

文［1］中，俞建英、蔣亮兩位老師給出了“RMI原理”的工作機制，如圖1，證明了映射的若干性質，還給出了映射φ的若干應用實例.本人深受啟發，結合日常教學中的一些思考，再談談“RMI原理”下有關圓與橢圓的若干問題，請同行斧正.

*本文系重慶市教育科學“十二五”規劃課題（課題批準號：2014-00-021）《基于促進學生理解數學本質的中學數學核心概念及思想方法的教學實踐與評價研究》的部分研究成果.

圖1

一、仿射變換與“RMI原理”

解析幾何中的仿射變換即是RMI原理的具體應用.事實上，文［1］中的映射是最簡易的仿射變換，這里先給出一般情形下的二維仿射變換，其相關性質詳見文獻［1］.

圖像的壓縮、平移、旋轉都是常見的仿射變換，比如，反比例函數的圖像是雙曲線，在直角坐標系中，函數的圖像上任取一點P（x，y），設x軸正向逆時針旋轉至與OP重合時所轉過的最小正角為θ，令現將OP順時針旋轉得到P′（x′，y′），則有因此得到

又xy=1，所以有x2′-y2′=2，其圖像等軸雙曲線，由于旋轉不改變曲線形狀，故函數的圖像是雙曲線.

圖形經過任何仿射變換后都不變的性質（量）稱為圖形的仿射性質（仿射不變量）.

性質1兩個三角形面積之比是仿射不變量.

證明：在笛卡爾坐標系下，不共線三點P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）經過仿射變換后，對應點為P1′（x1′，y1′），P2′（x2′，y2′），P3′（x3′，y3′），于是因此（定值）.

性質2兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量，且其面積的比例仍為|a11a22-a21a12|.證明此處略.

二、從仿射變換看圓與橢圓的互相變換

圖2

問題1中學教材上有一道經典例題，如圖2，已知點A是圓x2+y2= 4上一動點，AB⊥x軸，垂足為B，求線段AB中點M的軌跡方程.

問題2學生學習完圓錐曲線一章后都知道平面斜著切割圓柱得到截面痕跡為橢圓，針對這個問題，無論教材還是各類教輔都直接告知結論，思維嚴謹的學生馬上就會想到這個結論是觀察得到的還是理論證明的？如果說是直觀感受得到的結果，那么他們會說直觀上得到的認識是感性認識，而感性認識未必可靠；如果說是理論上推導出來的，那么他們會問這個問題該如何推導？本文采用仿射變換的方法證明這個結論.

如圖3，設圓柱底面β半徑為r，一平面α與圓柱相交，與圓柱中軸線交于點O，與圓柱底面交于點A，設α與β所形成的二面角的平面角大小為建立如圖3所示直角坐標系x1-O1-y1，使得y1軸與平面α垂直，在平面α中以點O為坐標原點，AO所在直線為x軸建立直角坐標系x-O-y，則y軸與y1軸平行.

圖3

在截面痕跡上任取點P（x，y），過P作圓柱的母線，與底面圓交于點P1（x1，y1），則有x21+y21=r2，如圖可知，因此在仿射變換φ的作用下，圓的方程變為x2cos2θ+y2=r2，即其中顯然有這是一個橢圓的標準方程，并且還得到一個美妙的結論：

三、仿射變換下圓與橢圓的面積

由性質2和圓、橢圓的封閉型可知，圓與橢圓的面積間存在著某種強烈的關聯，我們也可以用積分等辦法求出橢圓的面積，這里談談仿射不變量性質在證明相關橢圓面積時的簡單應用.

問題3求橢圓的面積.

問題4如圖4，從橢圓外一點P引橢圓兩條切線PA，PB，O為坐標原點，設OP交橢圓于點C，求證：S△AOC= S△BOC，S△AOP=S△BOP.

圖4

圖5

證明：如圖5，S△A′O′C′=S△B′O′C′，S△A′O′P′=S△B′O′P″是顯然的，因此由性質1知，原命題成立.

事實上，由此還可以得到上述三角形的另一個性質：

性質3圖4橢圓中，PO平分弦AB.

有了性質3，事實上就又產生了一種證明問題4的方法.

四、仿射變換下圓與橢圓的阿基米德三角形

如圖6，過圓錐曲線的弦兩端的切線與弦所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，類似可以定義圓的阿基米德三角形：過圓的弦（非直徑）兩端的切線與弦所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.

圖6

橢圓的阿基米德三角形擁有眾多大家所熟知的性質，比如：

特別地，當m=c（-c）時，點P（m，0）即為橢圓的右（左）焦點，直線即為橢圓的右（左）準線.

圖7

上述兩個性質的證明在很多文獻中可以看到，本文略.我們知道，橢圓可以經過仿射變換得到對應圖形圓：x′2+y′2=a2，因此可以猜想圓的阿基米德三角形也擁有兩個與橢圓類似的有趣性質.本文用一般方法和仿射變換的方法證明之.

性質4′：圓C′：x′2+y′2=a2的阿基米德三角形中，弦A′B′繞著圓內定點P′（m′，0）轉動時，阿基米德三角形另一個頂點Q′在一條垂直于x軸的直線上運動.

證明（證法1）：設圓的方程是C′：x′2+y′2=a2，弦A′B′的方程為x′=ty′ +m′，聯立消去x′，得（t2+1）y′2+2m′ty′+m′2-a2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），

圖8

（定值，此處假設點弦A′B′不關于y軸對稱）.

證明（證法2）：由文［1］可知，仿射變換φ不改變直線與直線、曲線間的相交、相切、相離等位置關系，因此，A′Q′，B′Q′仍與圓C′相切，且A′Q′∩B′Q′=Q′.顯然，在φ：的作用下，有m′=m，直線因此，xQ′=，即點Q′仍在直線上運動，定理4′得證.

性質5′：圓C′：x′2+y′2=a2的阿基米德三角形為A′B′Q′，弦A′B′繞著圓內定點P′（m′，0）轉動時，直線A′Q′，P′Q′，B′Q′的斜率成等差數列.

證明（證法2）：由文［1］知，若在仿射變換下直線l對應于直線l′，則有即

因此直線A′Q′，P′Q′，B′Q′的斜率成等差數列.

參考文獻：

1.俞建英，蔣亮.“RMI原理”下的橢圓研究［J］.中學數學教學參考（上），2014（12）.

2.林呂根，許子道.解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，2001.

3.梅向明.高等幾何［M］.北京：高等教育出版社，2004.

4.陳光明.把握核心本質，萬變不離其宗——菱形視角下圓錐曲線問題的解答［J］.中學數學（上），2015（6）.