跨越導數誤區　實現高效學習——例析導數學習中的錯解

■江蘇省邗江中學　葛　光

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跨越導數誤區實現高效學習——例析導數學習中的錯解

■江蘇省邗江中學葛光

近幾年，高考對導數的運算、導數的幾何意義（切線）的考查力度增大，并在此基礎上，通過構建函數模型，發揮導數作為一種研究函數性質的工具的作用，綜合考查單調性、極值、最值，也經常結合不等式、數列等知識，解決一些實際生活中的應用問題.

在教學的過程中，筆者發現，由于學生概念模糊，處理問題的基本步驟不清晰，以及處理綜合性問題的知識面狹隘，稍有疏忽便很容易進入下述的幾個誤區，特整理如下，以期改正錯誤，加深對知識點的理解和熟練運用.

一、跨越對導數的概念理解的誤區

理解導數的基本概念，謹記解決問題的基本步驟，是使用導數解決問題的根本，才能真正發揮導數的工具性作用，培養從新角度觀察問題的能力，讓導數成為解決數學問題的又一利器.

例1已知f′（x0）=4，求

錯解：由k→0時，f（x0-k）→f（x0），2k→0，

剖析：沒有充分理解導數定義的形式：f′（x0）=

形式中不僅要求Δx→0，f（x0+Δx）→f（x0），而且要求分母為分子中兩變量之差.在公式中Δx形式變化，f′（x0）還可以寫成或或或等.

剖析：許多同學都會認為本題與例1是同一類型，因而誤選C.其實本題與例1是有區別的，例1在x0處一定有定義且連續，而本題極限存在，在x0處f′（x）可能沒有意義，有定義f（x）在x0處可能不連續，這樣f（x）在x0處都不可導.例如f（x）=x（x≠0），，但f（x）在0處不可導.

二、跨越導數的幾何意義理解的誤區

導數的幾何意義是學生理解并運用導數的必要條件，對導數的幾何意義和導數與切線的關系掌握不深刻，將會在解題中遇到障礙.

例3下面說法正確的是（）.

A.若f′（x0）不存在，則曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處就沒有切線

B.若曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處有切線，則f′（x0）必存在

D.若y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率不存在，則曲線在該點處沒有切線.

錯解：選A、B、C、D.

剖析：對導數的幾何意義和導數與切線的關系掌握不全面，y=f（x）在x=x0處可導，f′（x0）為y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率；在x=x0處導數存在，y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線一定存在；在x=x0處導數不存在，若Δx→0時，在x=x0處切線仍存在.例如函數在x=0處導數不存在，但存在切線x=0；同樣函數y=f（x）在x=x0處存在切線，在點（x0，f（x0））處導數可能存在，也可能不存在.

正解：通過上述剖析知，本題應選C.

三、跨越函數單調性和導數符號判斷條件的誤區

導數作為一種工具，可以解決函數的最值和單調性等問題，通過導數符號的判斷，可以得到函數的單調性.然而學生在解決問題時卻忽視了結論成立的等價性，從而出錯.

錯解：由y=f（x）在（-∞，+∞）上是單調遞增函數，對任意x∈R都有f′（x）＞0恒成立，即f′（x）=x2-2（4m-1）x+ 15m2-2m-7＞0，對一切x∈R恒成立，則有Δ=4（4m-1）2-4（15m2-2m-7）＜0恒成立，解得2＜m＜4，此即為m的取值范圍.

剖析：f′（x）＞0是在（-∞，+∞）上y=f（x）為增函數的充分條件，而不是充要條件，y=f（x）為增函數，f′（x）有限個值可能為零.例如y=x3在（-∞，+∞）上為增函數，f′（x）= 3x2＞0，只有在x=0處f′（x0）=0.其充要條件應是：y=f（x）在區間（a，b）內可導，則f（x）在區間（a，b）內單調遞增（遞減）?對任意的x∈（a，b）都有f′（x0）≥0（f′（x0）≤0）且在（a，b）內的任一非空子區間上f′（x0）≠0.

正解：由f（x）在R上是增函數，所以對任意x∈R都有f′（x0）≥0恒成立，即x2-2（4m-1）x+15m2-2m-7≥0對一切x∈R恒成立，Δ=4（4m-1）x2-4（15m2-2m-7）≤0即可，解得2≤m≤4.由于m=2或m=4時，使f′（x）=0的僅是孤立的點，故m的取值范圍是［2，4］.

對于考慮數學問題一定要完整，這是解題的關鍵．然而用如此方法解題也會出錯.

因為x＞-2，所以（x+2）2＞0，所以2a-1≥0，即故實數a的取值范圍為

剖析：可導函數f（x）在區間I上單調的充要條件是f′（x）≥0或f′（x）≤0在區間I上恒成立，且f′（x）在區間I上不恒為零.此例錯在沒有檢驗由此求得的參數取值范圍的端點值是否會使f′（x）恒為零而導致出錯.

因此，在運用導數探求由含參數的函數f（x）在區間D上具有單調性，求其參數的取值范圍這一類問題時，將問題轉化為f′（x）≥0或f′（x）≤0在區間D上恒成立，由此求得的參數的取值范圍，必須要檢驗參數的取值范圍的端點值是否使f′（x）恒為零，若不恒為零，則取端點值，若恒為零，則不能取端點值.

四、跨越極值存在判斷條件的誤區

極值存在的條件是在極值點處附近兩側的導數值應異號．“f′（x0）=0是函數f（x）在x0處有極值的必要不充分條件”，例如：f（x）=x3在x=0處f′（0）=0，但f（x）在R上是遞增的，無極值.

例6函數f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值10，則a、b的值為_______.

剖析：函數可導，導數值為零只是該處取得極值的必要條件，要使在x=x0處取得極值，還要求y=f′（x）在x=x0處左右兩側符號相反（充分條件）.上述錯解錯在把必要條件當作充要條件.

由此可知，涉及極值問題，一定要判斷極值點兩端的符號是否異號，進而判斷是極大值還是極小值.函數y=f（x）在x=x0處取得極值的充要條件是f′（x0）=0且f′（x）在x=x0兩側符號相反.

五、跨越曲線在某點處的切線與過某點的切線問題的誤區

曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線是指一點P為切點的切線，若存在，只有一條，其方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；而曲線y=f（x）過點P的切線，其切點不一定是點P，且切線也不一定只有一條，此時無論點P是否在曲線y=f（x）上，一般解法是：先設切點為Q（x1，f（x1）），切線方程為yf（x1）=f′（x1）（x-x1）①，再把點P的坐標代入方程①解得x1，最后把解得的x1（可能不止一個）代入方程①化簡即得所求的切線方程.

分析：本題是求曲線過點P（2，4）的切線方程，因而不能把曲線過點P的切線錯誤理解成曲線在點P處的切線來求解，所以應先求切點坐標.

總之，“曲線y=f（x）在（x0，y0）處的切線”有兩層含義：一是點（x0，y0）在曲線上，即y0=f（x0）；二是點（x0，y0）為切點.而求曲線y=f（x）過點P（x0，f（x0））處的切線方程，則點P不一定為切點.

六、跨越恒成立問題與能成立問題的誤區

恒成立問題和能成立問題是高考中一類最常見的題型，幾乎每年都有所涉及.這類問題的解決，大都可以用函數的觀點來審視，用函數的有關性質來處理.而導數是研究函數性質的有力工具，因而用導數解決能成立、恒成立問題就順理成章了.

求證：有且僅有一個正實數x0，使得g8（x0）≥gt（x0）對任意正實數t成立.

剖析：解決這類問題時，首先把問題看成不等式恒成立問題，利用恒成立問題的解法，把問題轉化成為函數的最值問題，進一步證明滿足條件的x0有且僅有一個.

對于這類問題，首先將存在x0使f（x）≥g（x）成立，轉化成存在x0使F（x）=f（x）-g（x）≥0成立問題，再利用導數方法探究F（x）的單調性及最值.

導數作為一種重要的解題工具，在處理高中數學的函數問題中有著不可替代的作用.運用導數探求函數的單調性、極值、最值等問題時，只要注意對以上幾種誤區多加甄別，在平時的解題訓練中多思，多做，長期以往必然會取得長足的進步.F