■廣西恭城縣恭城中學 韋興洲
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圓錐曲線切點弦中點的軌跡方程
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若自平面內一點引圓錐曲線的兩條切線,則連接切點的線段稱為切點弦.
設點M(x0,y0)為曲線Γ1:f(x,y)=0上的動點.
問題1:若過點M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線,則點M的位置如何?
問題2:若過點M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線,則切點弦中點的軌跡方程如何?
筆者通過對上述兩個問題的探究,獲得公式化結論如下表:
曲線類型 曲線方程 點M的位置切點弦所在直線的方程切點弦中點的軌跡方程橢圓(或圓)Ax2+Cy2=1 (A>0,C>0) Ax20+Cy20>1 Ax0x + Cy0y=1 fx Ax2+Cy2, y Ax2+Cy2(=0(Ax2+Cy2>1)雙曲線Ax2+Cy2=1 (AC<0)Ax20+Cy20≠0 Ax20+Cy20<{1Ax0x + Cy0y=1 fx Ax2+Cy2, y Ax2+Cy2(=0Ax2+Cy2≠0,Ax2+Cy2<{1()拋物線y2=2px(p≠0) y20>2px0y0y=p(x+ x0) fy2p-x,()y=0(y2<2px)拋物線x2=2py(p≠0) x20>2py0x0x=p(y+ y0) f x,x2p-()y=0(x2<2py)
以雙曲線的情形為例,證明如下.
設過點M作雙曲線Ax2+Cy2=1(AC<0)的兩條切線所得切點為G(x1,y1),H(x2,y2),根據隱函數求導法則,方程Ax2+Cy2=1兩邊同時對x求導,得Ax+Cyy′=0,從而故雙曲線在點G處的切線方程為,由于點G在雙曲線上,即代入切線方程并化簡得Ax1x+Cy1y=1.又因為點M(x0,y0)在切線上,所以Ax1x0+ Cy1y0=1①.同理得Ax2x0+Cy2y0=1②.比較①②得切點弦所在直線的方程為Ax0x+Cy0y=1.
當AC<0時,直線Ax0x+Cy0y=1與雙曲線Ax2+Cy2=1有兩個交點方程組有兩組解方程有兩個相異實根?
又設切點弦的中點為N(x3,y3).聯立Ax0x+Cy0y=1, Ax2+Cy2=1,得,可得即故④,代入③得計算得x0=代入④得結合點M(x0,y0)在曲線Γ1:f(x,y)=0上,可得點N在曲線上.又根據得
當圓錐曲線為橢圓(或圓)和拋物線時,可類似討論,不再贅述.
利用上述公式化結論,我們可重新求得文1中的軌跡1.
也可重新求得文1中的軌跡3、軌跡5和軌跡6,以及文2中的橢圓及其伴圓的性質6,雙曲線及其伴圓的性質6.感興趣的讀者可自行查閱.
我們還可以利用上述公式化結論研究2013年高考遼寧卷理(文)科數學第20題.
題目如圖1,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A、B(M為原點O時,A、B重合于O),,切線MA的斜率為
圖1
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)當點M在C2上運動時,求線段AB的中點N的軌跡方程.(A、B重合于O時,中點為O).
參考文獻:
1.玉云化.橢圓、雙曲線與相關圓生成的軌跡方程[J].數學通訊(下),2012(1).
2.林風.圓錐曲線伴圓性質的探究[J].中學數學研究(南昌),2012(3).F