例談雙參數問題解決策略

■浙江省奉化市第二中學　董　義

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例談雙參數問題解決策略

■浙江省奉化市第二中學董義

含參數的數學問題一直是高考中的重點和難點，其中有不少試題含有雙參數，對于這些問題，很多同學望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策.然而，對于此類題目，并非無規可尋.下面筆者結合平時的教學實踐談談處理雙參數問題的解決辦法，不當之處，歡迎批評指正.

一、活用基本不等式解決雙參數問題

均值不等式所反映的是兩個參數和、平方和與積兩兩之間的不等關系，當問題的目標是有關兩個參數和與積的形式，而條件命題又可以轉化為關于這兩個參數的和積問題時，我們就可以嘗試使用基本不等式求解.

例1設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，求m+n的取值范圍.

分析：從題設條件來看，已知直線方程含有雙參數m、n，另外直線與圓相切，從而我們可以利用直線與圓相切的充要條件得到兩參數m、n之間的等量關系d=化簡得mn=m+n+1，為此，我們可以找到m與n之間的關系，利用基本不等式進行求解.

解：由直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，知圓心（1，1）到直線的距離為=1，化簡得mn=m+n+1.（*）

根據化簡后式子的結構特征，充分利用基本不等式求得所求范圍，這其中要注意變量的范圍.

二、通過轉化成一個參數解決雙參數問題

不少含雙參數問題的題目中，經?？梢酝ㄟ^轉化為一個參數問題來解決，這樣無疑開闊了解題思路，發散了解題思維.

例2已知ex-（a+1）x-b≥0，求（a+1）b的最大值.

解析：令f（x）=ex-（a+1）x-b，則f（x）≥0恒成立，只需f（x）min≥0即可.

又f′（x）=ex-（a+1），

①若a+1＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，當x→-∞時，f（x）→-∞與f（x）≥0矛盾，不符題意；

②若a+1=0時，則（a+1）b=0；

③若a+1＞0時，由f′（x）=0得x=ln（a+1），

當x＜ln（a+1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ln（a+ 1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；故f（x）min=f（ln（a+1））=a+1-（a+1）ln（a+1）-b.

由f（x）min≥0得b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1），所以（a+ 1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）.

設F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1），則F′（a）=（a+1）（1-2ln（a+1））.

此時處理F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）亦可采取換元法：

令t=a+1＞0，g（t）=t2-t2lnt，則g′（t）=t（1-2lnt）.由g′（t）= 0，得

本題含有的兩個參數蘊含在不等式中，采用直接的恒等變形行不通，解法中體現了自然的思路，順勢推導，根據導數取零找分界點或按照導數符號尋分類標準，配以結論實行恒等變形，轉化成單參數構造函數求解，突出辯證思維，化歸雙參數為單參數，必須具備扎實的知識變通能力.

三、巧用線性規劃解決雙參數問題

線性規劃是專門用來解決線性約束條件下求線性（或具有幾何意義的非線性）目標函數的范圍或最值問題.對于一些含雙參數的數學問題，若目標式關于參數線性（或具有幾何意義的非線性）時，我們就可以考慮用線性規劃的知識求解.

例3已知函數f（x）=4ax3-2bx-a+b（a＞0，b∈R），若-1≤f（x）≤1對x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范圍.

（1）當b≤0時，f′（x）=12ax2-2b≥0在［0，1］上恒成立，f（x）單調遞增.

由（1）、（2）得，當x∈［0，1］時，f（x）max=max{f（0），f（1）}=

（3）當b≤2a時，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（3ab）=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）.

（4）當b＞2a時，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（ba）=4ax3+2b（1-x）-2a＞4ax3+4a（1-x）-2a=2a（2x3-2x+ 1）.令g（x）=2x3-2x+1（0≤x≤1），則g′（x）=6x2-2=當時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增.

即g（x）＞0.

由（3）、（4）得，f（x）+f（x）max≥0，即f（x）≥-f（x）max≥-1符合題意，?x∈［0，1］，則f（x）max≤1.

利用線性規劃知識，其可行域為三角形區域，注意邊界的虛實，目標函數為z=a+b.當目標函數z=a+b分別過P（1，2）、Q（0，-1）時，有zmax=3、zmin=-1，故所求z=a+b的取值范圍為（-1，3］.

本題含有的兩個參數相互關聯、制約，不能以靜態觀點研究，在沒任何預見性的情況下，采取“保守”的穩妥策略，看導數符號來找分類的臨界點，進行第一層分類，也是實現單調性的分類之法，繼之分別研究函數最值又產生新的分類分界點，進行第二層分類，正是關聯雙參數的整體結構分類，其中不等式聯立形成約束條件，活用線性規劃背景中的目標函數探尋結論，最后不能忘分類的整體性.

四、活用不等式性質解決雙參數問題

不等式具有很多基本的性質，關于不等式的變形與轉化都離不開它的性質.在有關以不等式為背景條件或可以轉化為不等式為背景條件的有關數學問題中，我們不妨利用不等式的性質來嘗試求解問題.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略.

五、巧用不等式恒成立的解決方法化解雙參數問題

含雙參數問題中，有時可以轉化為不等式的恒成立問題，進而可以運用其幾何意義，轉化為兩圖像的相交、相切問題，結合圖像易于求解.

例5已知函數f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2.

（Ⅰ）求f（x）的解析式及遞減區間；

（Ⅱ）若f（x）≤x2+ax+b，求的最小值.

分析：本題背景是以e為底的對數函數與二次函數的和，已知不等式小于等于二次函數恒成立，求最小值的問題.主要考查導數應用、函數單調性，以及由不等式恒成立求含有雙參數式子的最值等問題.第（Ⅰ）問可通過賦值求導求出待定系數的值，進而求出解析式，再用導數求出單調區間.第（Ⅱ）問可以通過分離函數，將不等式恒成立問題轉化為動直線與定曲線的位置關系問題，最后運用幾何意義求出最值.

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2，得f（0）= 2，求導得，所以f′（0）=1-f（0） =-1，故f（x）的解析式為f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2.可求得遞減區間為（過程略）

（Ⅱ）因為f（x）≤x2+ax+b，由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2，代入整理分離函數得ln（x+1）≤（a+2）x+b-2.此不等式恒成立的幾何意義是：當x＞-1時，曲線C：y=ln（x+1）恒在直線l：y=（a+2）x+b-2的下方或與直線只有一個公共點，圖像如圖1所示，由圖知直線斜率a+2＞0.

圖1

設直線l′是與直線l的斜率相同且與曲線C相切于點P（t，ln（t+1））的直線，因為，所以曲線在點P處切線的斜率為，所以切線l′的方程為，即y=

因為g′（t）=ln（t+1）-1，令g′（t）=0，得t=e-1，當-1＜t＜e-1時，g′（t）＜0；當t＞e-1時，g′（t）＞0.所以g（t）min=g（e-1）= 1-e，即g（t）≥1-e，所以故的最小值為1-e，此時，所以

分離函數，數形結合，平移直線與曲線相切，用不等式放縮將雙參數最值問題轉化為以切點橫坐標為單參數的最值問題，解法充分展示了化歸轉化思想和數形結合思想的無窮魅力.

總之，解決雙參數問題的方法遠不止以上幾種，只要我們抓住雙參數的相互關聯性，在教學中善于發現、總結，善于思考，以達到做一題，會一片，通一類的功效.F