一題多解尋求多種解題方法

■江西省萍鄉市湘東中學　池　旭

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一題多解尋求多種解題方法

■江西省萍鄉市湘東中學池旭

大部分的高中生對數學的印象就是枯燥、乏味、不好學、沒興趣.但由于高考中必考數學，又只能硬著頭皮學.如何才能學好數學？俗話說“熟能生巧”，很多人認為要學好數學就是要多做.固然，多做題目可以使學生提高成績，但長期如此，恐怕也會使學生覺得數學越來越枯燥.而一題多解有助于培養學生的發散思維能力，脫離枯燥，使學生在解題中回憶、聯系所學內容，同時鞏固新學的知識；有助于鍛煉學生的基本技能，同時抑制教學的模型化，促進學生發展自動化；還有助于學生形成良好的科學素質.本文通過對一題多解的例題剖析，指出了學生應用一題多解的妙處.現從下面二個案例中略談一題多解，以拋磚引玉.

案例一（中學代數中的一題多解）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_________.

這是一道很值得深入探究的高考題，筆者在某次課堂上講解后，總覺得意猶未盡，故行之成文.

解法1：設2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1，得4x2+ （t-2x）2+x（t-2x）=1，即6x2-3tx+t2-1=0，故Δ=9t2-24（t2-1）≥0，

∴t2≤，故，故2x+y的最大值是，當且僅當時取得最大值.

評注：本解法先將所求變量整體換元，然后代入已知條件消元，利用判別式法構造不等式，最終使問題解決，按照這個思路，也可以采用下面的解法.

解法2：設2x+y=t，則（2x+y）2=t2=t2（4x2+y2+xy），

∴（4t2-4）x2+（t2-4）xy+（t2-1）y2=0.

則15t4-24t2≤0，即.故即2x+y的最大值是此時時，等號成立.

評注：本解法與解法1有類似之處，不同之處是巧用“1”和獨特的消元，構造出了含參一元二次方程，再利用判別式法構造不等式，最終使問題得到解決.

解法3：先對所求變量平方得（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+ 3xy，而4x2+y2≥4xy且1=4x2+y2+xy，得

評注：本解法也有解法1類似之處，不同之處是通過觀察已知與結果的特征，采用平方法，再利用重要不等式構造不等式，最終也使問題得到解決.

解法4：由4x2+y2+xy=1，得

評注：通過觀察式子結構特征，利用三角換元也是數學解題中一種常見方法，按照這個思路又可以采用以下的解法.

解法5：由4x2+y2+xy=1，得

評注：本解法與解法4有異曲同工之妙，也是通過觀察結構特征，利用柯西不等式，體現了數學思維的靈活性.

解法6：根據題設結構猜測：y=2x時，2x+y取得最大值.

由于4x2+y2+xy=1，

評注：根據由特殊到一般的數學思想，大膽猜測，然后證明正確性，這是數學研究的基本方法之一，它對培養探究意識、創新精神有著重要的作用.

數學是思維的體操，數學教學的任務之一就是培養學生的思維品質.那么如何在數學教學中提高學生的思維品質？數學家奧加涅相說過：“必須重視，很多習題潛在著進一步擴展其數學功能和教育功能的可行性.”筆者認為高考題凝聚了許多專家學者的心血和經驗，故對高考題的探究，進行一題多解是培養學生數學思維重要途徑.

案例二（中學幾何中的一題多解）已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率.求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式等基礎知識.下面就該題的解法進行探究，并對命題背景及啟示有個新的認識.

2.1.試題解法

解法1：如圖1，易知直線AF1和 AF2的方程分別為設∠F1AF2的角平分線交F1F2于B（x0， 0）且x0＞-2，得得由兩點得直線方程為：y=2x-1.

圖1

評注：運用角平分線上的點到角的兩邊距離相等及點到直線的距離公式，解方程求得點坐標后，兩點確定角平分線所在直線方程.

解法2：設P（x，y）是所求直線上任意一點，直線AF1的方程，直線AF2的方程：x=2，則2-x，得x+2y-8=0（舍）或2x-y-1=0.

故2x-y-1=0即為所求直線方程.

評注：通過設所求直線上任意一點，巧用方程的思想，簡化計算.巧妙運用“算兩次”的技巧，對三角形面積計算兩次，并在計算過程中運用角平分線性質對高進行轉化.

解法3：如圖2，設F1關于角平分線的對稱點為P，則P必在直線AF2上，|AP|=|AF1|=2a-|AF2|=5.結合直角三角形AF1F2易得P（2，-2），故，故所求角平分線的斜率k=2.（下略）

圖2

解法4：如圖3，以AF1為直徑且過點F2的圓的方程為x2+記圓與y軸負半軸交于點Q（0，-1）.由|F1Q|= |F2Q|，得∠F1AQ=∠F2AQ，即AQ為所求角平分線.（下略）

圖3

評注：解法2，3，4分別構造點與圓來尋找等量關系.

圖4

評注：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點.

解法6：如圖5，易得Rt△AF1F2內切圓圓心為I（1，1）.由內切圓圓心的特征，得直線AI是∠F1AF2的角平線，且斜率k=2.（下略）

圖5

題貴在一題多解，感興趣的讀者不妨從兩直線夾角公式等角度試試看.以上各種解法都在追求精簡，當然并不是每道題都能一題多解，那么這道題在我們平時教學中也可以這樣進行一題多變.

2.2試題演變

將該試題的題設及結論進行變換可得如下變式（其解答過程可仿上述解法，留給讀者完成，這里不再贅述）：

變式1已知F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=_________.

變式2橢圓E以坐標軸為對稱軸，焦點F1，F2在x軸上，焦距為4，并且橢圓上有一點A，∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為：y=2x－1，求橢圓E的方程.

在解題教學中進行一題多解，教師首先應明確其目的之所在，不要盲目地追求一題多解，尤其應防止純粹為追求一題多解的“作秀”味，為體現另一種解法的巧妙而故先設置一種繁解，這樣不僅不利于學生的學習反而會使他們的數學信心受到打擊.此外教師在進行解題教學時首先應注意常規解法的講授，做好正常的雙基教學，讓學生卻是掌握一種基本的方法以后再發散他們的思維適當引導他們尋求其他巧解、秒解等，但不應由教師將所有解法一一向學生介紹，這樣反而導致多而亂讓學生感到不知所措.在實際的教學過程中進行這種訓練，讓學生在比較討論爭論中找出最簡便的解法和獨特的富有新意的解題思路而有利于加深學生對多種解題方法的認識，真正培養學生對多種解題方法的認識，真正培養學生的數學學習能力，促進學生的數學學習.