一道奧林匹克競賽題的簡證及其類似推廣

■貴州省都勻一中　夏開平

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一道奧林匹克競賽題的簡證及其類似推廣

■貴州省都勻一中夏開平

在2009年韓國數學奧林匹克競賽中，有這樣一道分式不等式競賽試題：

本文先利用基本不等式給出賽題的簡單證明，然后提出與該賽題類似的兩個不等式，并對它們進行多元推廣.

證明：因為a，b，c＞0，由基本不等式x2+y2≥2xy的變形（當且僅當x=y時取等號），得

注意觀察賽題不難發現，在不等式左邊，各項分母有這樣的特點：括號內是二次式，括號外是一次式.我們自然會想，如果調換括號內外的次數，是否會有類似的結果呢？筆者通過探究，得到如下的類似題.

由柯西不等式和常見不等式（x+y+z）2≥3（xy+yz+ zx），得：

用同樣的方法，可以證明賽題及其類似題的多元推廣.

推廣設a1，a2，a3，…，an是正數，則：

證明從略.有興趣的讀者不妨一試.F