從“動靜”角度看數學中的“動態”問題

■湖南省長沙市雅禮中學高三1318班　徐　戡

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從“動靜”角度看數學中的“動態”問題

■湖南省長沙市雅禮中學高三1318班徐戡

從辯證角度看，動與靜是相對存在的.數學中“動態”問題的解決需要一定的想象能力，若其依據一定規律運動變化，則能更加考查學生的想象能力與分析能力了.不過，按照“一定規律運動變化”，則背后可能隱藏著不變的性質，我們稱之為“靜”，這一“靜”便是我們解決問題的“題眼”，若能抓住這一“靜”的本質或利用“動”“靜”的相互轉換，常能幫助我們突破思維的屏障、找準切入點、明確解題方向.課堂教學中出現“動態”類問題學生都感覺難以下手，本文想結合具體案例談一談解決這類問題常見的兩種策略：動中覓靜、以靜制動，以及動靜轉換.下面讓我們來看幾個例子.

例1如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為EC（端點除外）上一動點，現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內過點D作 DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是________.

圖1

分析：這個題目背景中，“靜”的量是點運動軌跡所在的平面與直線垂直.那么能否作出這個平面呢？

解：如圖2，過點D作DH⊥AF于點H，又DK⊥平面ABC，所以DK⊥AF，所以AF⊥平面DHK.（平面DHK就是我們所找的垂面）

圖2

所以AF⊥HK.則點K相當于在原來長方形ABCD中，直線DH （DH⊥AF）與AB的交點，如圖3.

圖3

圖4

解析：該題背景中的不變量為：①AB中點M到O的距離；②點M到點C的距離.所以1（當且僅當O、M、C三點共線時取等號）.

圖5

例3如圖5，已知正四棱錐V-ABCD可繞著AB任意旋轉，AB?平面α.若點V在平面α上的射影為O，則|CO|的最大值為_________.

解析：如圖6，設線段CD的中點為F，線段AB的中點為E，VE的中點為M，則該題中“靜”的量為：；③棱錐側面與底面所成角為60°（∠VEF=60°）.所以我們可以采取以下策略.

圖6

評注：本題難點在于旋轉過程中，點O和C都不定，很難找到突破口.策略一從運動中找不變的量入手，動中覓靜，以靜制動，這是解決這類問題的常用手段.要留心錯解：|OC|≤|OM|+|MF|=3，此時等號取不到，因為O、M、E三點不可能不共線.策略二借助向量工具，活用向量分解，把已知向量分解為?；蛳蛄恐g夾角確定的向量，化動為靜，從而達到問題的輕松獲解.

例4如圖7，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E為邊AB的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動，同時點F在邊AD上運動時，的最大值是_________.

圖7

評注：該思路把所求的向量分解轉化為?；蛳蛄恐g夾角確定的向量，以相對確定的向量來表示變化向量，從而減少運算量、思維量，達到化變化為不變，化動為靜，以靜制動的效果，使問題變繁為簡.

運動和靜止是相對的，運動的A相對于靜止的B，也可看成B動A靜，利用動靜之間的這種相對性來解決“動態”數學問題常能收到出人意料的效果.

例5同例4.

解析：問題可看作正方形固定，原點O以M為圓心，以OM為半徑做圓周運動，那么的最大值可以運用數量積的幾何意義，借助圖形（圖8）易知，當O、M、 E三點共線，且點F在點A處時，向量在方向上投影最大，此時

圖8

評注：該問題按常規思維去解決會顯得復雜，甚至束手無策，但換個角度，把多點運動轉化為單點運動，脫掉復雜的外衣，使原問題難度大大降低，真是“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”.

例6同例3.

解析：問題可看作四棱錐不動，平面α繞著AB轉，則V在平面α上的射影為O的軌跡是以VE為直徑的圓弧，且垂直CD（如圖9），|OC|2=|OF|2+|CF|2≤

圖9

評注：該思路運用運動的相對性，突破常規，反客為主，進行動靜轉換，體現出思維的靈活性和廣闊性，把化歸與轉化及數形結合的思想運用得淋漓盡致，可謂妙哉！

數學問題因為變化而靈動，因為靈動而難以把握.所以在分析問題中，若能多考慮現象背后的本質，緊扣能支持這種變化的不變性，有意識地培養動中覓靜、動靜轉換的策略，那么問題的解決便成為可能.F