阿基米德折弦定理的補證與三角學意義

■浙江省寧波市北侖明港中學　甘大旺

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阿基米德折弦定理的補證與三角學意義

■浙江省寧波市北侖明港中學甘大旺

在關于古希臘數學發現與進展的浩瀚史料中，記載著平面幾何的一個有趣結論——阿基米德折弦定理.

定理若圓O的兩弦AB與BC構成一條折弦，其中AB≥BC，A（BC的中點是D，作DE⊥AB于E，如圖1，則垂足E是折弦ABC的中點.

圖1

圖2

筆者只看到此定理的證明思路，但沒有看到證明過程，有必要補遺之.

證明：如圖2，延長AB至F使E是線段AF的中點，連接AD，FD，CD，CF.由于DE⊥AB，則Rt△DEA≌Rt△DEF，則AD=FD，∠EAD=∠EFD，∠BCD=∠BAD=∠EAD= ∠EFD=∠BFD，又AD=DC，故DC=DF，則∠DCF=∠DFC，∠BCF=∠BFC，故BF=BC，則EA=EF=EB+BF=EB+BC.

所以，垂足E是折弦ABC的中點.（證畢）.

此定理后來被阿拉伯學者歸結到古希臘數學家、力學家阿基米德（Archimedes，公元前287~212）的名下，稱之為阿基米德折弦定理.

在阿基米德所處的年代，三角學只處于萌芽狀態，還沒有形成框架，“不知道阿基米德是否在這個定理中看出了任何三角學的意義”.為了煥發阿基米德折弦定理的三角學色彩，發揮沉睡史料在課程建設中的借鑒作用，下面推導三角變換的一個根基公式.

例當α、β都為銳角時，運用阿基米德折弦定理證明公式：sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ.

證法1：不妨設0°＜β≤α＜90°.如圖3，先作單位圓O的內接△ACD使得∠ACD=α，∠CAD=β，則∠AOD=2α，∠COD=2β.

圖3

在單位圓O上取點B使∠BOD=∠AOD=2α，且圓O上四點A、B、C、D逆時針放置，那么∠BOC=2α－2β.作DE⊥AC于E，則運用阿基米德折弦定理，得BC+CE=EA.（※）

運用等腰三角形性質、正弦定義、余弦定義得到BC=2sin（α－β），CE=CDcosα=2sinβcosα，EA=ADcosβ= 2sinαcosβ.代入（※）式、除以2、移項得到sin（α－β）= sinαcosβ－cosαsinβ.

證法2：0°＜β≤α＜90°.如圖4，先作單位圓O的內接△ACD使得∠ODC=α，∠ODA=β，則2∠CAD=∠COD=180°－2α，2∠ACD=∠AOD=180°－2β.

圖4

在單位圓O上取點B使∠BOD=∠AOD=2π－2α，且圓O上四點A、B、C、D順時針放置，那么∠BOC=∠AOD－∠COD=（2π－2β）－（2π－2α）=2α－2β.

作DE⊥AC于E，則運用阿基米德折弦定理得，BC+ CE=EA.（※）

運用等腰三角形性質、正弦定義、余弦定義、誘導公式得到BC=2sin（α－β），

CE=CDcos（90°－β）=2cosαsinβ，

EA=ADcos（90°－2α）=2cosβsinα.

代入（※）式、除以2、移項得到sin（α－β）=sinαcosβcosαsinβ.

補注：①對于α、β不都為銳角的情形，運用誘導公式可以化歸到上述情形，有時用到特值檢驗；②讀者翻新繪制示意圖，可以嘗試著運用阿基米德折弦定理證明此公式或其他三角函數變換式.

因為以sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ為源頭，也能夠逐次推導出其他的和差公式、倍角公式、半角公式、和差化積、積化和差、萬能公式等三角函數恒等變換公式，所以阿基米德折弦定理具有三角學的意義.

參考文獻：

1.［美］卡爾·B．博耶，著.［美］尤塔·C.梅茲巴赫，修訂.數學史［M］.秦傳安，譯.北京：中國編譯出版社，2013.