由淺入深，自然形成——活動單導學模式下的以橢圓為例的性質探究

■江蘇省白蒲高級中學　潘丹丹

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由淺入深，自然形成——活動單導學模式下的以橢圓為例的性質探究

■江蘇省白蒲高級中學潘丹丹

圓錐曲線是解析幾何的重要內容之一，近幾年圓錐曲線的綜合問題涉及面廣、運算量大，既考查了學生的思維能力，又考查了學生的運算能力.很多學生對這塊的得分并不抱太大希望，其實這正是學生們能取得進步的一個突破口.

圓錐曲線有很多豐富精彩、生動有趣的性質，其定點、定值問題是諸多性質中的一條主線，而如何讓學生從根本上記住這些結論以及運用這些結論是關鍵.事實上，仔細分析后我們發現，處理好圓錐曲線的這些問題的根本在于處理好與之相關的點.本文就以橢圓為例，如何由淺入深，一步一步引入并理解其性質及運用做一個思考.

活動一、基礎自測

1.已知t∈R，圓C：x2+y2－2tx－2t2y+4t－4=0，若圓C過定點M，則定點M的坐標為_________.

2.圓O中，AB是它的一條直徑，C是圓上異于A，B的任一點，則kCA·kCB=_________.

基礎自測的目標是能夠讓所有學生都能去操作，明確學習目標，并體會到本節課所研究的內容.事實上，很多學生在做活動單的時候第一想法就是不管會與不會，拿到手就做，做之前和做完后也沒有什么反思與總結.基礎自測是預習內容中強調主干核心的知識，對知識的主干進行精確的梳理和科學的整合，加強知識與知識的內在聯系，便于學生能有充分的主觀認識.其形式以填空題的方式呈現，幫助學生進行知識的回顧.

基礎自測第一題通過對無數個圓都過相同的點，特殊到兩個圓的交點，然后驗證這個交點就是研究的定點，以及通過無數個圓的認識體會到與變量無關，從而初步體現求定點問題的兩種常見方法：

（1）利用曲線系（直線系）特征確定點或由特殊值確定一定點，再進行一般性證明；

（2）直接推理計算，并在計算推理過程中消去變量（與變量無關），利用方程組思想，從而得到定值.

事實上，這道題目也可以通過配方從形式上直接得到結論.

通過第三題，第四題對a2，b2及結論的關系，初步感受它們之間的內在聯系，在授課過程中，從而提出疑問是巧合還是必然？明確研究目標，以橢圓為例，進而進行研究.

活動二、要點梳理

要點梳理是每張活動單知識核心的展現，是通過老師的傳授，在學生理解的基礎上展現出的知識核心，其過程展現方式有：

1.學生自我梳理.

通過對基礎自測的完成以及學生對本節知識的自我回顧，借助于書本或者參考資料對知識體系加以梳理，其作用在于可激發學生自主的去學習，提升自我的歸納總結的能力.

2.老師與學生的共同提煉.

通過對題目的思路的分析，方法的總結，在學生理解的基礎上，提煉出考查的相關知識點和結論.

對于本節課的知識梳理是：

（1）求定點及定值問題的常見方法：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

（2）結論：

活動三、典型例題

典型例題是基礎自測中題目的升華，通過經典例題能更深層次地展現本節課的知識核心，是學生能力展現，思維升華的展現.

例1已知橢圓C：，B為橢圓的上頂點，過點B的直線l1，l2與橢圓C分別交于點R，S（不同于B點），設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若，求證：直線RS過定點，并求出此定點的坐標.

思路分析：本題研究直線RS過定點，只要求出直線的方程即可，關鍵在于通過聯立方程組求出直線上R，S的兩點坐標.

處理方式：在思路分析后，學生獨立自主完成，小組討論交流后，讓學生通過黑板展示自我的成果.

解：由題可知，BR的直線方程為y=k1x+2，將直線與橢圓聯立方程組

因為R，S關于原點對稱，所以直線恒過定點（0，0）

注：本題在證明RS過定點（0，0）時，也可通過證明OR，OS的斜率相等.

教學過程中發現學生的思路清晰，方法明確，但在計算轉化方面存在問題，由于圓錐曲線對于計算要求較高，筆者認為此題過程中在學生板書后應跟學生一起分析怎樣求解，并鼓勵學生加強學生的計算信心，為以后更復雜的計算打下基礎.

為了進一步探究圓錐曲線中定點、定值的性質，筆者對此題做了一些變式：

思路分析：本題研究直線的斜率乘積，只要分別求出相對應的點即可，通過與學生共同分析分析可以發現，本題有兩種不同的思路，思路一：可以選擇設出直線方程后聯立方程組求出點的坐標；思路二：可以根據點的對稱性選擇設而不求.

處理方式：在思路分析后，學生獨立自主完成，通過投影展示，對比不同的思路.

方法2：設R（x，y），由橢圓的對稱性可得S（-x，-y）.

通過對方法1和方法2的對比，讓學生在掌握基本方法的同時能靈活運用一些解題的技巧將解題過程進行優化，進而提高解題的能力.很顯然，若R，S為橢圓的左、右頂點，結論亦成立.

在變式1的基礎上引導學生觀察基礎自測第三題，發現若R，S是左、右頂點，B是任意一點，探究一般性的結論，進而得到下面的變式：

學生通過自主探究得出一般性結論：

在授課過程中發現當學生在充分認識了結論1之后，有不少同學帶有疑問，有同學就及時提出：如果在前面例題設而不求，利用對稱性的基礎上，如果保證R，S始終關于原點對稱，B為異于R，S上任意一點，那結論還是否成立呢？此時，筆者自然而然提出下面的變式：

學生思考，獨立自主完成，小組適當交流后，然后通過投影將成果展示.

顯然結論1是結論2的特殊情況，在上述變式過程逐層遞進，通過逆向思維引入變式1，通過變式1發現特殊情況，從特殊情況到一般情況，再研究一般情況.通過數形結合、歸納類比、設而不求的數學方法得到一般性的結論，并通過結論解決橢圓中與過原點弦的有關問題，以此來解決例2和變式.

圖1

證明：設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），所以kPA=，即，所以-1，即PA⊥PB.

建立在本節課所研究的基礎上大大簡化了這道題目的復雜性.事實上，不少同學在沒有認知這個結論的時候，利用的方法就是將直線與橢圓聯立方程組，通過方程組解出點的坐標，進而求出斜率，證明kPA·kPB=-1，對學生的運算能力和推理證明的能力較高，不少學生因為計算能力做到一半甚至就會打退堂鼓，當然上述結論在解答題中不能直接運用，需有證明的過程.

圖2

解：由題意可知，直線AD的斜率存在且大于0，設kAD=k1＞0，則lAD：y=k1（x-2）.令x=3，得E（3，k1），由結論可得，所以令x=3，得F因為k1＞0，所以，當且僅當即時等號成立，所以|EF|的最小值為

活動四、課堂小結

活動單導學不僅重視學生獲得知識的對與錯，多與少，完成作業的優與劣，更關注學生的態度、情感、能力、責任心及合作精神等個性品質的培養，注重學生對過程的主體性體驗，注重活動過程本身對學生的教育價值.事實上，在以橢圓為例的基礎上探究了橢圓中與過原點弦的有關問題，通過類比的思想，可引導學生通過自主探究，自主學習，合作討論去研究雙曲線，拋物線中的類似結論.

在活動單導學的模式下，本節課中以“合作學習小組”為基本學習單位，以“自主、合作、探究”為主要學習方式，以“課堂反饋與評價機制”為保障，充分體現了“教為主導、學為主體、學會與會學、個性發展與全面發展”相統一的教學理念，以此培養學生的自主學習能力，探究問題的意識和合作學習的精神.