小議試題講評多解性的重要性

■江蘇省如皋市搬經中學　何竹峰

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小議試題講評多解性的重要性

■江蘇省如皋市搬經中學何竹峰

眾所周知，數學解題教學立足于學生對于數學知識在具體問題中的使用熟練度，這與解題訓練密不可分．對于解題效果最直接的體現，是試卷中學生對于解決的問題所產生的一些誤區，這些錯誤往往千奇百怪、思維發散，因此筆者以為對于試卷中重要的數學問題要給出多樣性的回應，這正如解題教學泰斗羅增儒先生所說：解題教學要有效需要兩個方面，其一是給出較好的方法，引導學生解決問題中用較好的方式處理，但這還只是第一層境界；學生解題的方式比較多、思維比較開闊，恰是這種開闊性才能激發學生的創新精神，將不同的問題解決思路多種展示，是第二重境界．

從試題講評的多解性來看，筆者以為至少有下列兩個優點：

（1）思維發散性：思維培養是數學教學最重要的作用，試題講評多解性的滲透恰恰是培養學生思維的發散性，如代數問題既能給出一般性的代數解法，又能給出巧妙的幾何方式，自然對于學生思維啟發有著較大的作用.

（2）熟練整合度：多解性的使用，自然會使用到各種不同的知識，講評中多次使用不同知識既提高了知識的熟練度，也提高了知識的整合度．

下文筆者以兩大幾何問題為例，小議在幾何問題講評中多解性的分析．

一、立體幾何中的多解性滲透

案例1如圖1，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD= 120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分別是PD、CD的中點，求二面角AMN-C的余弦值．

圖1

分析：二面角問題始終是我們學生的一大弱點，所以此題大部分學生都沒能用傳統方法找出二面角的平面角，而用空間直角坐標系的也有很多的問題：有建錯系的，有寫錯點坐標的，有計算錯誤的，還有最后不會判斷銳角鈍角的.最后在和同學們的共同探討中，主要形成了以下三種方法：

方法一：如圖1所示，在等邊△AND中取DN中點E，連AE，PE，在直角△PAE中作AH⊥PE于點H，則AE⊥CD，PA⊥CD，所以CD⊥平面PAE.于是CD⊥AH，又AH⊥PE，所以AH⊥平面CMN.在△AMN中，過A點作AF⊥MN于點F.因為AH⊥平面CMN，所以AH⊥MN.故MN⊥平面AFH，于是有FH⊥MN，結合AH⊥MN，所以∠AFH為二面角A-MN-C的平面角.

方法二：直接找二面角有點困難，所以可以轉化為先求二面角A-MN-D，易知AN=MN=ND=1，AM=MD=，所以△AMN和△DMN全等，則只要作DO⊥MN，交MN于O，連接AO，則AO⊥MN，則∠AOD即為所求二面角的平面角.易求得，則二面角A-MN-C平面角的余弦值為

方法三：以A為坐標原點，AC、AD、AP所在直線為坐標軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則設n=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，可得

圖2

說明：空間幾何問題筆者以為要教會學生“兩條腿”走路，其一是傳統法，即如何求解二面角，這里往往涉及到定義法等，這些方法的使用較好地厘清了學生的立體幾何公理化體系，尤其對于立體幾何小題中的稍難問題更有獨到的作用；其二是空間向量法的使用，吳文俊大師提出了數學問題“代數化”的方式，這種機械化的方式被認為是解決空間幾何最為一般化的方式.教學中對兩種不同方法的引導，有助于學生在問題解決中合理地使用方法.

二、解析幾何中的多解性簡化

案例2已知正六邊形ABCDEF的邊長是2，一條拋物線恰好經過該六邊形的四個頂點，則拋物線的焦點到準線的距離是____________.

分析：首先本題部分學生不會做的原因是覺得這個六邊形怎么放置有疑問，從而覺得此題因存在不確定因素而難以下手.而靈活的同學則發現不管正六邊形怎么放置，只要是拋物線過四個頂點，則拋物線的形狀是不變的，那么p的值也是不變的，因此在優秀學生中主要有以下解法：

方法一：學生發現本質是待定系數法求二次函數的解析式，屬初中內容，所以設二次函數y=ax2+b，如圖3，建立直角坐標系代入易求得a=，所以

圖3

方法二：如圖4，設x2=2py，設A（1，h），，則計算得

圖4

通過本題的講評，筆者還讓同學們嘗試編了同類型試題如下：

（1）已知正六邊形ABCDEF的邊長是2，一個橢圓恰好經過該六邊形的四個頂點，并且另外兩個頂點為該橢圓的焦點，則橢圓的離心率為_______________.

（2）已知正六邊形ABCDEF的邊長是2，某雙曲線恰好經過該六邊形的四個頂點，并且另外兩個頂點為該雙曲線的焦點，則雙曲線的離心率為_______________.

（Ⅰ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于l1，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅱ）若AC，BD是經過橢圓C1右焦點F2的兩條互相垂直的弦，求四邊形ABCD面積的最小值.

分析：（Ⅰ）考查求軌跡方程的問題.求軌跡方程的方法有很多：直接法、轉移代入法（相關點法）、參數法、定義法等.在講評過程中發現很多學生是采用參數法求得的，但是運算上正確率較低.

方法一：設直線l2：y=y0，則線段PF0的垂直平分線為，與y=y0的交點M設為（x，y），得消參即可得到y2=4x，即為所求點的軌跡方程.

方法二（定義法）：發現符合定義的同學較少，說明對此類問題學生在綜合分析能力及化歸轉化思想的應用上有所欠缺.解法如下：由題意得|MP|=|MF2|，故動點M到定直線l1：x=-1的距離等于它到定點F2（1，0）的距離，所以動點M的軌跡C2是以l1為準線，F2為焦點的拋物線.因此所求點M的軌跡方程C2為y2=4x，抓住問題的本質后，解題過程簡潔明了.

（Ⅱ）在講評過程中，學生反映出的問題主要有兩個：計算問題和求函數最值方法問題.通過和同學們的一起探討，最后筆者主要用了三種方法求最值：易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積S=4，其他情況四邊形ABCD的面積為

方法一：基本不等式求最值，由于（2k2+3）（2+3k2）≤，所以，當2k2+3=2+ 3k2，即k=±1時取等號.

方法三（換元法）：本題到最后學生對求最值感到困難的一大原因是因為式子復雜、次數又高而產生懼怕心里，從而失去了正常的分析能力，所以筆者對這樣的問題在教學時一直是以復雜問題簡單化，如何先轉化為我們熟悉的問題為重點教學的，所以本題筆者又通過設t= 1+k2，

所以當t=1+k2=2，即k=±1時，S有最小值

說明：解析幾何問題的處理主要集中在兩個方面的引導：其一是題中條件轉換是否合理？如：我們知道以AB為直徑的圓經過F點之類的條件，最合理、最簡潔、最高效的方式是利用向量條件而多數學生卻在求解圓方程，利用距離求解，令人費解；其二是如案例3中所述，解析幾何中的最值如何求解？即函數模型的處理.筆者以為，這是多解性方法可以優化的地方，優化合理的函數模型更有利于學生感悟函數最值求解的重要性，也對解析幾何問題不再恐懼.

總之，試題講評多解性對于學生思路的開拓性、知識的整合性以及錯誤的糾正性上都有較為有效的作用，筆者建議在合理的、重要的試題中引入講評的多解性，有助于解題教學展開得更為高效、有效.

參考文獻：

1.姚連省.讓學生自己寫試卷分析［J］.考試周刊，2010（12）.

2.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學數學，2013（7-8）.

3.朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和應用［J］.中學數學（上），2008（2）.