以退為進柳暗花明

章貴平

含參不等式恒成立與函數零點問題是近幾年高考的熱點問題，解決含參不等式恒成立問題的思路一：將不等式問題轉化為求最值問題.但有時會遇到最大值最小值點不好求的情況，導致無法求出最值或極值.思路二：分離參數，再求函數的最值.有時也會遇到參數不好分離或者最值不好求的情況.解決函數零點問題通常是直接求函數圖象與x軸的交點或者轉化為求方程的根，往往無法直接求出.如何解決此類問題，筆者以2015山東文科卷第20題為線索，展開對此類問題的探究，談談解決此類問題的策略——以退為進.

策略一：以退為進設而不求

例1[K]（2015年山東）設函數f（x）=（x+a）lnx，g（x）=[SX（]x2ex[SX）]，已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x-y=0平行.

（1）求a的值；

（2）是否存在自然數k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；

（3）設函數m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值.

分析第三問，求函數m（x）的最大值，首先要求出分段函數m（x）的解析式，再求出分段函數每段的最大值.求分段函數的解析式，前提要求出f（x）=g（x）的解，用高中知識很難求出此解.至此，解題遇到阻力.退一步，是不是一定要求出方程的根？能否將此根設出而不求出來，確定其范圍，從而問題得以解決.

解（1）a=1.（2） 解略.

（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）內存在唯一的根x0，

且x∈（0，x0）時，f（x）g（x）.

m（x）=[JB（{]（x+1）lnx，x∈（0，x0），[SX（]x2ex[SX）]，x∈（x0，+∞）.[JB）]

當x∈（0，x0）時，若x∈（0，1]，m（x）≤0；

若x∈（1，x0），由m′（x）=lnx+[SX（]1x[SX）]+1>0，

可知0

x∈（x0，+∞）時，m′（x）=[SX（]x（2-x）ex[SX）]，

可得x∈（x0，2）時，m′（x）>0，m（x）單調遞增；

x∈（2，+∞）時，m′（x）<0，m（x）單調遞減.

可知m（x）≤m（2）=[SX（]4e2[SX）]，m（x0）

綜上可得函數m（x）的最大值為[SX（]4e2[SX）].

策略二：以退為進曲徑通幽

例2[K]（2015年全國卷Ⅰ文科）設函數f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f（x）的導函數f ′（x）的零點的個數；

（Ⅱ）證明：當a>0時f（x）≥2a+aln[SX（]2a[SX）].

分析f（x）≥2a+aln[SX（]2a[SX）]恒成立可以轉化成求函數f（x）最小值.方程f ′（x）=2e2x-[SX（]ax[SX）]=0的根無法求，導致函數f（x）的最小值無法求出，解題受阻.退一步，是否一定要求出最小值？能否通過說明最小值大于零進而得到函數f（x）>0恒成立呢？曲徑通幽，解決問題.

解析（Ⅰ）略.

（Ⅱ）設2e2x-[SX（]ax[SX）]=0的解為x0，即e2x0-[SX（]ax0[SX）]=0.

x∈（0，x0），f ′（x）<0，f（x）單調遞減；

x∈（x0，+∞），f ′（x）>0，f（x）單調遞增.

故f（x0）為函數f（x）的最小值.

f（x0）=e2x0-alnx0=[SX（]ax0[SX）]+2a0+aln[SX（]2a[SX）]

=2a+2aln[SX（]2a[SX）].

故當a>0，f（x）>2a+aln[SX（]2a[SX）].

策略三：以退為進回歸本質

例3[K]（2012年全國文科）已知函數f（x）=[SX（]13[SX）]x3+x2+ax.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值.

分析此題第二問常規思路：先求出兩個極值點，再求出直線l的方程從而求出直線l與x軸的交點.f ′（x）=x2+2x+a，兩個極值點x1，x2=-1±[KF（]1-a[KF）]，最大值和最小值點的坐標將非常復雜，根據兩點坐標求得直線l的方程將更加復雜，學生很難有信心再繼續進行，解題受挫，無法繼續進行.退一步，回歸問題本質，此題關鍵是求出直線l的方程，能否找到不求極值點直接求出直線方程的方法？

解析（1）略.

（2）f ′（x）=x2+2x+a，

x21+2x1+a=0，x22+2x2+a=0.

f（x1）[WB]=[SX（]13[SX）]x31+x21+ax1

=[SX（]13[SX）]x1（-2x1-a）+x21+ax1

[DW]=[SX（]13[SX）]x21+[SX（]23[SX）]ax1

=[SX（]23[SX）]（a-1）x1-[SX（]13[SX）]a，

同理f（x2）=[SX（]23[SX）]（a-1）x2-[SX（]13[SX）]a.

所以直線l過點（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），

得直線l的方程為y=[SX（]23[SX）]（a-1）x-[SX（]13[SX）]a，

直線與x軸的交點為（[SX（]a2（a-1）[SX）]，0）得

[SX（]13[SX）][[SX（]a2（a-1）[SX）]]3+[[SX（]a2（a-1）[SX）]]2+a[[SX（]a2（a-1）[SX）]]=0，

得a=0，[SX（]23[SX）]，[SX（]34[SX）].

策略四：以退為進另辟蹊徑

例4[K]（2014年廣東省韶關市二模）已知函數f（x）=ln（x+[SX（]1a[SX）]）-ax，其中a∈[WZ]R[WBX]，a≠0.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若不等式f（x）

（3）若方程f（x）=0存在兩個異號實根x1，x2，求證：x1+x2>0.

分析（1）（2）略.

（3）欲證明x1+x2>0，首先想到韋達定理，但函數不是二次函數，無法使用.也可以通過求出方程的根，超越方程且含參數，求方程的根顯然難度太大.能否退一步，另辟蹊徑？

解析（3）方程f（x）=0存在兩個異號實根x1，x2，

f ′（x）=[SX（]1x+[SX（]1a[SX）][SX）]-a=-[SX（]axax+1[SX）].

當a<0時，f ′（x）>0，函數f（x）單調遞增，方程不可能有[J1.45mm]兩個實根.所以a>0.

不妨設-[SX（]1a[SX）]

構造函數g（x）=ln（x+[SX（]1a[SX）]）-ln（x-[SX（]1a[SX）]）-2ax，

g ′（x）=[SX（]1x+[SX（]1a[SX）][SX）]-[SX（]1x-[SX（]1a[SX）][SX）]=[SX（]2a3x21-a2x2[SX）]>0，

函數g（x）在（0，[SX（]1a[SX）]）上為增函數，所以g（x）>g（0）=0，即f（x）>f（-x）在（0，[SX（]1a[SX）]）上恒成立.

所以f（x2）>f（-x2）<0，即f（x1）

得x1>-x2，即x1+x2>0.

策略五：以退為進化歸前行

例5[K]（2015年湖北省七市聯考試卷）已知函數f（x）=2lnx-x2+ax （a∈[WZ]R[WBX]）.

（1）當a=2時，求f（x）的圖象在x=1的處的切線方程；

（2）若函數f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x1，0）B（x2，0） （0

求證：f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）<0 （其中f ′（x）為f（x）的導函數）.

分析（1）略.

（2）證明f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）<0，先求出[SX（]x1+x22[SX）]，需要求出函數f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x1，0），B（x2，0）.利用高中知識求方程2lnx-x2+ax=0的根無法進行，解題受阻.退一步，能否不求方程的根，將問題轉化，化歸前行？

解析2lnx1-x21+ax1=0，2lnx2-x22+ax2=0，

兩式相減得a=（x1+x2）-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）].

f ′（x）=[SX（]2x[SX）]-2x+a

f ′（[SX（]x1+x22[SX）]）=[SX（]4x1+x2[SX）]-（x1+x2）+（x1+x2）-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）]

=[SX（]4x1+x2[SX）]-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）].

只需要證[SX（]4x1+x2[SX）]-[SX（]2（lnx1-lnx2）x1-x2[SX）]<0

[SX（]4（x1-x2）x1+x2[SX）]-（lnx1-lnx2）<0

[SX（]4（[SX（]x1x2[SX）]-1）[SX（]x1x2[SX）]+1[SX）]-ln[SX（]x1x2[SX）]<0.

令[SX（]x1x2[SX）]=t （0

設u（t）=[SX（]4（t-1）t+1[SX）]-lnt，

u′（t）=[SX（]（t-1）2t（t+1）2[SX）]>0，

所以函數u（t）在（0，1）上為增函數，u（t）

古代兵書中的三十六計最后一計“走為上計”即欲進先退，數學解題中“走”有時也不失為“上策”.不少數學題若強行推進“則舉步維艱”，但若“后退一步”，可能就是海闊天空.給思維留下廣闊的回旋空間，對問題的思考?？煞寤芈忿D，讓思維活動能左右逢源，打開了解題的通道.所以我們在解題中如果遇到困難，不妨主動地心平氣和地先退回來，退到哪里去？退到基礎的地方去，推導問題的本質上去.如退到定義、公式或簡單情況等處去，改變自己的思維方向，以退為進，柳暗花明.

[BP（]相關練習

1（2013年全國新課標卷）已知函數 .

（1）設 是 的極值點，求 ，并討論 的單調性；

（2）當 時，證明 .

2（2015安徽明校沖刺卷）已知函數

（1）當 時，求 的單調區間；

（2）若函數 的圖像與 軸有兩個不同的交點 ，

求證：

3已知函數 的圖象在點 （e為自然對數的底數）處的切線斜率為3.

（1）求實數 的值；

（2）若 k∈Z，且 對任意 恒成立，求 的最大值.[BP）]