有關高考坐標系與參數方程常見題型和解法

張漢宇

坐標系與參數方程是解析幾何初步，平面向量、三角函數等內容的綜合應用和進一步深化.它是代數與幾何相結合的橋梁.《普通高等學校招生全國統一考試大綱（新課標版）》對坐標系與參數方程的要求：①理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；② 了解極坐標的基本概念，會在極坐標中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化；③能在極坐標中給出簡單圖形表示的極坐標方程；④了解參數方程，了解參數的意義；⑤能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程.

坐標系與參數方程是近幾年高考的選做題之一.主要以填空題，解答題的形式出現，有時也會以選擇題的形式出現.筆者以研究高考試題來認識教學內容，把握重點和教學要求是一線教師提高教學水平的關鍵.本文對高考坐標系與參數方程的常見題型進行分類，并對各類試題的解法進行總結，為現行的高中數學教學提供參考.

題型1參數方程與直角坐標方程的轉化

例1（2011年江蘇）在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓x=5cosφ，

y=3sinφ （φ為參數）的右焦點，且與直線x=4-2t，

y=3-t （t為參數）平行的直線的普通方程.

解析由題設知，橢圓的長半軸長a=5，短半軸長b=3，從而c=a2-b2=4，所以右焦點為（4，0）.將已知直線的參數方程化為普通方程：x-2y+2=0.故所求直線的斜率為12，因此其方程為y=12（x-4），即x-2y-4=0.

點評此題為獨立的參數方程轉化為直角坐標方程的試題，消去參數方程中的參數即可，但應注意直角坐標方程中變量x，y，t的取值范圍應結合參數方程的特點來考慮.消去參數的方法有：①代入消去法，由其中一個方程解出t，代入另一個方程；②由兩個方程相加減（平方加或減）或乘除消去參數t；③換元法，通過三角或代數換元消去t.

題型2極坐標方程與直角坐標方程的相互轉化

例2（2011年北京）在極坐標系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標是

A.（1，π2）B.（1，-π2）C.（1，0）D.（1，π）

解析把圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2+y2+2y=0，得圓心的直角坐標為（0，-1），故極坐標為（1，-π2）.

點評極坐標方程與直角坐標方程的互化，首先應掌握互化的條件：極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸正方向重合；其次是掌握互化公式；最后，應該熟悉簡單曲線的極坐標方程.

題型3動點軌跡的參數方程

例3（2013年課標全國Ⅱ）已知動點P、Q都在曲線x=2cost，

y=2sint （t為參數）上，對應參數分別為t=α與t=2α（0<α<2π），M為PQ的中點.

（1）求M的軌跡的參數方程；

（2）將M到坐標原點的距離d表示為α的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點.

解析（1）依題意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）.M的軌跡的參數方程為x=cosα+cos2α，

y=sinα+sin2α （α為參數，0<α<2π）.

（2）M點到坐標原點的距離d=x2+y2=2+2cosα （0<α<2π）.當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點.

點評解決這類問題可以利用以下幾種方法，方法一，按照動點軌跡的一般步驟建系設點，列出幾何等式，坐標代換，化簡整理；若動點的運動規律滿足某種曲線的定義，則可利用曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；方法三，若動點M（x，y）依賴于已知曲線上的動點P而運動，則可將轉化后的動點P的坐標代入已知曲線方程式滿足的幾何條件，進而求出動點P的軌跡方程.

題型4根據軌跡的參數方程求坐標

例4（2011年廣東）已知兩曲線參數方程分別為x=5cosθ，

y=sinθ （0≤θ<π）和x=54t2，

y=t （t∈R），它們的交點坐標為.

解析消去參數θ得曲線方程x25+y2=1 （0≤y≤1），表示橢圓的一部分.消去參數t得曲線方程y2=45x，表示拋物線，可得兩曲線有一個交點，聯立兩方程，解得交點坐標為（1，255）.

點評根據軌跡的參數方程求點的坐標問題，可以分為兩種方法，方法一，將參數方程化為直角坐標方程，在直角坐標系下描繪圖形，最終得到點的坐標；方法二，將軌跡的參數方程在極坐標系上表示出來，然后就能得到點的坐標.

題型5由極坐標方程或參數方程求兩點的距離

例5（2013年北京）在極坐標系中，點（2，π6）到直線ρsinθ=2的距離等于.

解析由極坐標方程與直角坐標方程的互化關系可知，在極坐標系中，點（2，π6）對應的直角坐標為（3，1），直線ρsinθ=2對應的直角坐標方程為y=2，所以點到直線的距離為1.

點評此題的方法是將極坐標方程化為直角坐標方程，確定點的直角坐標后即可求兩點間的距離.在極坐標方程中求兩點間距離的方法，通常還采用余弦定理，相當于知道三角形兩邊的長度和其所夾的角，求第三邊.

題型6求未知參數

例6（2013年湖南）在平面直角坐標系xOy中，若直線l：x=t，

y=t-a （t為參數）過橢圓C：x=3cosφ，

y=2sinφ （t為參數）的

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