小題小解事半功倍決勝高

考劉英

新課標《數學考試說明》指出：數學學科的命題將按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識，能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養.新課標數學高考對考生能力要求主要指：空間想象能力，抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，數據處理能力，實際應用意識和創新意識.這樣在高考中，數學科的考查更趨向于“難點多，技巧性強，規律覆蓋全面，題目類型廣闊，知識點密度大，探索性創新性強”.考生在解答高考數學題時，面臨著嚴峻的考驗.許多考生在考場上手忙腳亂，疲于奔命，對于小題（12個選擇4個填空）存在著小題當大題作，浪費許多時間，導致大題做不完或沒有時間做，幾多遺憾悔恨在考場??！

小題小作，在于平時總結規律，積累經驗，挖掘技巧，雖說“學無定法”，但一定有法可循.

筆者就近些年高考小題的解法作一些探討.

一、熟練運用“小結論” ——通式通法

高考中，學生除記住課本上的公式的條件結論之外，還應記住一些在習題，例題，通用的參考書中的一些“典型的具有統一規律”的“小結論”，運用它們解小題，常常一步到位，省時省力，準確率高.

例1（2012年河南卷第6題）設等差數列{an}前n項和為Sn，若Sm=9，S2m=36，則S3m=

A.63B.45C.81D.70

分析若由Sm=9，S2m=36，列方程求首項a1和公差d后再求S3m，解起來很麻煩，小題大做浪費時間.有“小結論”：等差數列{an}每相鄰m項的和仍然組成等差數列.于是Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數列.于是本題9，36-9，S3m-36成等差數列，得出S3m=81.

例2（2012年山東14題）定義在R上的函數f（x）滿足f（x） ·f（x+2）=13，f（1）=2，則f（99）=.

分析若x逐個取值從x=1到99相當耽誤時間，用“小結論”若f（x+a）=kf（x），則2a是f（x）的一個周期，很方便.

f（x+2）=13f（x），則4是f（x）周期，f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13f（1）=132，簡單巧妙.

例3（2x+3）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，

則（a0+a2+a4+…+a10）2-（a1+a3+a5+…+a9）2.

分析運用以下“小結論”：f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn的所以奇次項的系數和a1+a3+a5+…=f（1）-f（-1）2，所有偶次項系數和a0+a2+a4+…=f（1）+f（-1）2.

故所求值[f（1）+f（-1）2]2-[f（1）-f（-1）2]2

=f（1）f（-1）=（2-3）10=（-1）10=1.

類似的“小結論”還有：等比數列每相鄰m項的和（不為零時），依次組成的數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等比數列.

若函數f（a+x）=f（a-x）或f（x）=f（2a-x），則其圖象關于直線x=a對稱.

奇函數在原點兩側具有相同的單調性，偶函數在原點兩側具有相反的單調性（常值函數除外）

冪函數y=xa，a>1時，曲線下凸；0

記函數f（x）定義域M，值域N，則a≥f（x）恒成立的充要條件是a≥[f（x）]最大值，a≤[f（x）]恒成立的充要條件是a≤[f（x）]最小值.

設z為復數，則z為實數z=，z為純虛數z+=0且z≠0.

點M（x0，y0）在圓或橢圓F（x，y）=0的內，上，外部 F（x0，y0）的值小于0，等于0，大于0.

雙曲線焦點到漸近線的距離為b，橢圓和雙曲線的通徑長2b2a.

拋物線過焦點的弦被焦點分成兩段長分別為m，n，

則1m+1n=2p.

f（x+a）=-f（x），f（x+a）=±kf（x），k≠0常數，則2a是f（x）的一個周期.通過細心探索和研究能挖掘出很多我們常說的“通式通法”，它們是有統一規律的，能解一類題，觸類旁通，平時多注意積累，發現規律并運用規律，從實踐中來，再到實踐中去.

二、求解小題（選擇和填空題）的基本方法

1.直接求解法

例1（2014年新課標1） （1+i）3（1-i）2=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

解（1+i）3（1-i）2=（2i）（1+i）-2i=-1-i，選D.

例2（2015年陜西）橢圓x22a2+y2b2=1 （a>b>0）和雙曲線x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）有相同的焦點F1，F2，則橢圓和雙曲線離心率平方和為.

解94.

2.圖象法

利用函數圖象或數學結果的幾何意義，將“數”的問題與某些圖形結合起來，利用幾何圖形的直觀性，再輔以簡單計算，確定正確答案.

例3（2014年山東）已知函數f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，若方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍

A.（0，12）B.（12，1）

C.（1，2）D.（12，1）

解先作f（x）=|x-2|+1的圖象，當直線g（x）=kx與AB平行時斜率為1，當g（x）=kx過A點時斜率為12，故f（x）=g（x）有兩個不相等的實根，k的范圍是（12，1）.

3.篩選法（排除法，淘汰法）

例4（2014年北京）下列函數中在區間（0，+∞）上為增函數的是

A.y=x+1B.y=（x-1）2

C.y=2-xD.y=log0.5（x+1）

解C，D為減函數，要排除，而B在（0，1）為減函數，排除，只選A.

4.特例法

例5（2014年四川）若a>b>0，c

A.ac>bdB.acbcD.ad>bc

解由a>b>0，cbd，A正確，排除B、C、D.

5.信息遷移法

例6（2015年山東）規定函數y=f（x）圖象上的點到坐標原點距離的最小值叫做函數y=f（x）的“中心距離”，給出以下四個命題：

（1）函數y=1x的“中心距離”大于1.

（2）函數y=-x2-4x+5的“中心距離”大于1.

（3）若函數y=f（x） （x∈R）與y=g（x） （x∈R）的“中心距離”相等，則h（x）=f（x）-g（x）至少有一個零點.以上命題是真命題的個數有

A. 0B. 1C. 2D. 3

解析命題（1）顯然正確；對于命題（2），令y=0，得x=-1或x=5，故（2）錯誤；對于命題（3）舉特例，如函數y（x）=-x+1與函數g（x）=-x-1的“中心距離”相等，但兩函數表示的直線平行，所以h（x）=f（x）-g（x）無零點，則（3）錯誤，故選項B正確.

6.驗證法（代入法）

將選擇支中給出的答案或特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題設條件，以判斷選擇支正誤的方法.在運用驗證法解題時，若能據題意確定代入順序，能較大提高解題速度.

例7（2014年新課標）設f（x），g（x）定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論正確的是

A.f（x）g（x）是偶函數B.|f（x）|g（x）是奇函數

C.f（x）|g（x）|是奇函數D.|f（x）g（x）|是奇函數

解析|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|，則|f（x）|是偶函數.|g（-x）|=|g（x）|，則|g（x）|是偶函數.

觀察分析得選項C正確.（奇函數×偶函數=奇函數）

在考場上，想要事半功倍，決勝高考，要從容鎮靜，恰當靈活選用解小題的特殊方法和小結論，快速準確答完小題，為大題的解答贏得充裕的時間.以上筆者所述，旨在拋磚引玉，愿同學們小題小解的功夫修煉成熟，在考場上決戰取勝，揚帆駛進自己理想的高等學府，大展宏圖之志，實現自己的中國夢，報效祖國，造福人民.