特值引路先猜后證

張建虎

含參不等式恒成立問題是近年高考的一類熱點題型，因而是我們高考備考復習的重要內容.然而，縱觀這幾年的高考試題，筆者發現無論采用最值法，還是分離參數法都不能有效地解決問題.若采用分離參數法，由于分離后函數形式的復雜而無法求出函數的最值，往往結果是有始無終；若不分離，對動態問題中的參數又無法分類.面對這樣的兩難問題，考生對這類題得分往往很低.針對以上問題，筆者給出解決此類題的一個方法：“特值引路，先猜后證”.

例1設函數f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx，x>-1.曲線y=f（x）過點（e-1，e2-e+1）且在點（0，0）處的切線方程為y=0.（1）求a，b的值；（2）若x≥0時，f（x）≥mx2恒成立，求實數m的取值范圍.

解（1） f ′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+bx，

由題意得f ′（0）=a+b=0，

f（e-1）=ae2+b（e-1）=a（e2-e+1）=e2-e+1，

所以a=1，b=-1.

（2）依題意得（x+1）2ln（x+1）-x-mx2≥0在x∈[0，+∞）上恒成立.

當x=0時，0≥0成立，m∈R.

當x>0時，m≤（x+1）2ln（x+1）-xx2，

令h（x）=（x+1）2ln（x+1）-xx2，則m≤h（x）min.

由洛必達法則得

limx→0h（x）=limx→0+（x+1）2ln（x-1）-xx2

=limx→0+2（x+1）ln（x+1）+x2x=limx→0+2ln（x+1）+32=32，

所以，猜想得m≤32，下證（x+1）2ln（x+1）-xx2≥32.

上式化為（x+1）2ln（x+1）-x-32x2≥0.

令g（x）=（x+1）2ln（x+1）-x-32x2.

則g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-2x，

g″（x）=2ln（x+1）>0.

所以，g′（x）單調遞增且g′（x）>g′（0）=0，由此得g（x）單調遞增且g（x）>g（0）=0，

所以，（x+1）2ln（x+1）-x-32x2≥0成立，

即（x+1）2ln（x+1）-xx2≥32.綜上得，m≤32.

例2（2010年全國卷）設函數f（x）=1-ex，（1）證明：當x>-1時，f（x）≥xx+1；（2）設x≥0時，f（x）≤xax+1，求a的取值范圍.

解（1）略.

（2）當x≥0時，0≤f（x）=1-ex<1.

所以要使f（x）≤xax+1成立，必須ax+1>0在x≥0時恒成立，即必須a≥0.

當x=0時，不等式為f（0）=0≤0，所以a∈R.

當x>0時，由1-e-x≤xax+1得ax+1≤x1-e-x，

即a≤11-e-x-1x=x-1+e-xx-xe-x.

令h（x）=x-1+e-xx-xe-x，則由洛必達法則得

limx→0+h（x）=limx→0+x-1+e-xx-xe-x=limx→0+1-e-x1-e-x+xe-x

=limx→0+e-x2e-x-xe-x =limx→0+12-x=12，

所以，猜想得a≤12.

下證11-e-x-1x>1211-e-x>12+1x=x+22x

2-x2+xex<1.

令g（x）=2-x2+xex，則g（x）=-xx（2+x）2<0.

所以g（x）在（0，+∞）上是減函數.所以g（x）

例3（2014年全國）已知函數f（x）=ex-e-x-2x.（1）討論函數f（x）的單調性；（2）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x>0時，g（x）>0，求b的最大值.

解由（1）知x>0時，ex-e-x-2x>0.

從而4b

令h（x）=e2x-e-2x-4xex-e-x-2x，則由洛必達法則得

limx→0h（x）=limx→0e2x-e-2x-4xex-e-x-2x=limx→02e2x+2e-2x-4ex+e-x-2

=limx→04e2x-4e-2xex-e-x=4limx→0（ex+e-x）=8.

所以，猜想得e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8.

下證e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x）>0.

令t（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），

則t′（x）=2e2x+2e-2x-4-8（ex+e-x-2），

t″（x）=4e2x-4e-2x-8（ex-e-x）

=4（ex-e-x）（ex+e-x-2）>0，

所以，t′（x）在（0，+∞）上是增函數.所以，t′（x）>t′（0）=0，

所以，t（x）在（0，+∞）上是增函數，從而t（x）>t（0）=0成立，即不等式成立.由4b≤8得b≤2.

牛頓曾指出：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”因此在解題過程中要善于運用合情推理：“特值引路，先猜后證.”即通過特值猜想求出使問題成立的必要條件，再證明其具有充分性即可.“特值引路，先猜后證”，只有敢于猜想，大膽假設，才能從多層次，多角度地去思考問題，促使思維打破常規，產生新的思路，從而攻克導數難關.因此，考生應該大膽猜想再努力尋求論證方法.