直線與圓位置關系的化歸處理

黃天揚

由于圓的幾何性質比較明顯和突出，適時運用圓的幾何性質來解決解析幾何中的與圓的有關的題目，能使解題思路簡捷、明快，并減少計算量，在求解直線與圓的位置關系中，這種解題理念尤其突出.下面介紹將直線與圓的位置關系化歸處理的幾個例子，供參考.

一、直線與圓相切

若直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2相切，則圓心（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離d=|Aa+Bb+C|A2+B2與圓半徑相等，即d=r，這是解題的重要思路.

例1若直線2x-y+c=0按向量a=（1，-1）平移后與圓x2+y2=5相切，則c的值為

A. 8或-2B. 6或-4C. 4或-6D. 2或-8

分析將直線2x-y+c=0按向量a=（1，-1）平移得2（x+1）-（y-1）+c=0，即2x-y+3+c=0.又圓x2+y2=5的圓心為（0，0），半徑為5，由直線與圓相切知d=|3+c|5=5，即|3+c|=5，所以c=2或-8，即選D.

點評直線與圓相切問題還可以將直線方程與圓的方程聯立，利用判別式等于零來解決，但與此法比較，運算量要大得多.

二、直線與圓相離

若直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2相離，則圓心到直線的距離d>r，而在圓上找一點使該點到直線的距離最小，一般也是通過圓心到直線距離來解決.

例2在圓x2+y2=4上求一點P，使P與直線4x+3y-12=0的距離最小，求P點坐標及最小值.

解析由于點P是圓上動點，點到直線的距離是變動的，但圓的圓心是定的，圓心到直線的距離是不變的，故而可先求圓心到直線的距離，則d=|-12|32+42=125，所以圓上點P到直線 4x+3y-12=0距離的最小值為d-r=125-2=25.下面求P點坐標，由于過圓心且與直線4x+3y-12=0垂直的直線為y=34x，與圓的方程x2+y2=4聯立，解方程組得x=

±85，y=±65，考慮到P為最小值點，故點P應在第一象限，故而P（85，65）為所求.

點評圓心是確定圓位置的重要元素，與圓上的動點有關問題都可以轉化為與圓心及半徑相關的問題.本解法中充分抓住了這一點，使解題輕松流暢，干凈利落.

三、直線與圓相交

若直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2相交，則圓心（a，b）到直線的距離d

例3已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 （m∈R）.（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程.

解析（1）由直線l可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，由于m∈R，要使此等式成立，必有2x+y-7=0且x+y-4=0，解聯立的方程組得x=3，y=1，即直線l無論m取什么實數，都恒過定點D（3，1）.又圓心C（1，2）且有|CD|=（3-1）2+（1-2）2=5<5=r，即點D在圓C內，故而直線l與圓恒有兩個交點.

（2）由于點D在圓內，易知當過點D的弦與CD連線垂直時，所得的弦長最短，此時弦所在直線的斜率為k=-1kCD=2，所以此時直線l的方程為y-1=2（x-3），

即2x-y-5=0.由-2m+1m+1=2，得m=-34，

又弦長=252-|CD|2=220=45，

所以最短弦長為45，此時直線l為：2x-y-5=0，

取m=-34.

點評用幾何法判斷直線與圓是否相交，只需判定直線是否過圓內一點就行了，而用直線方程與圓的方程聯立，看判別式是否大于零，則問題會變得非常復雜.與弦長有關的問題，由垂徑定理，構造直角三角形來解決是簡單易行的方法.

令y=0，由于y0≠1，可得N（-x0y0-1，0）.

聯立y=12（x+2），

y=y0x0-2（x-2），

解得M（4y0+2x0-42y0-x0+2，4y02y0-x0+2），

因此MN的斜率為

m=4y02y0-x0+24y0+2x0-42y0-x0+2+x0y0-1=4y0（y0-1）4y20-8y0+4x0y0-x20+4

=4y0（y0-1）4y20-8y0+4x0y0-（4-4y20）+4=y0-12y0+x0-2.

所以2m-k=2（y0-1）2y0+x0-2-y0x0-2

=2（y0-1）（x0-2）-y0（2y0+x0-2）（2y0+x0-2）（x0-2）

=2（y0-1）（x0-2）-2y20-y0（x0-2）（2y0+x0-2）（x0-2）

=2（y0-1）（x0-2）-12（4-x20）-y0（x0-2）（2y0+x0-2）（x0-2）

=12（定值）.